1、SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第四章 连续时间系统的复频域分析南京邮电大学南京邮电大学通信与信息工程学院通信与信息工程学院2015.11连续时间系统的复频域分析概述傅里叶变换（频域）分析法 在在信号信号分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、取样、滤波等率响应、波形失真、取样、滤波等 要求信号满足狄里赫勒条件要求信号满足狄里赫勒条件 只能求零状态响应只能求零状态响应 反变换有时不太容易反变换有时不太容易拉普拉斯变换（复频域）分析法 在连续、线性、时不变在连续、线性、时不变系统系统的分析方面十分有效
2、的分析方面十分有效 可以看作广义的傅里叶变换可以看作广义的傅里叶变换 变换式简单变换式简单 扩大了变换的范围扩大了变换的范围 为分析系统响应提供了规范的方法为分析系统响应提供了规范的方法第四章 连续时间系统的复频域分析连续信号与系统的复频域分析概述4.1 拉普拉斯变换4.2 拉普拉斯变换的性质4.3 拉普拉斯反变换4.4 连续系统的复频域分析4.5 系统函数4.6 连续系统的模拟4.1 拉普拉斯变换4.1.1 定义从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号不满足绝对可积条件的原因是：信号不满足绝对可积条件的原因是：不趋于零。时，或当)(tftt 只要只要 取得合适，很多函数取得合适，很多函数(几乎所有常用
3、的函数几乎所有常用的函数)都可以满足绝对可积的条件。都可以满足绝对可积的条件。一一. 引进广义函数引进广义函数(傅氏变换傅氏变换)二二. 拉氏变换拉氏变换(无需引进广义函数无需引进广义函数) 若若 f(t) 不满足狄里赫勒条件，我们为了能获得变换不满足狄里赫勒条件，我们为了能获得变换域中的函数，域中的函数，人为地人为地用一个用一个实指数实指数函数函数e- t 去乘去乘 f (t) 。称称 为为衰减因子衰减因子； e- t 为为收敛因子收敛因子。解决的方法解决的方法：取取 f(t)e- t 的傅里叶变换：的傅里叶变换：dteetfetftjtt)()(F Fdtetftj)()(的的函函数数，可
4、可以以表表示示成成它它是是jFjf t edtjt( )()dejFetftjt)(21)(其傅里叶反变换为其傅里叶反变换为dejFtftj)()(21)(故故( )( )1( )( )2stbjstbjsjF sf t edtf tF s e dsj 记为复频率，则变换式可以改写为双边拉普拉斯正变换双边拉普拉斯正变换双边拉普拉斯反变换双边拉普拉斯反变换上两式称为双边拉普拉斯变换对，可以表示为上两式称为双边拉普拉斯变换对，可以表示为( )( )bf tF s拉氏变换扩大了信号的变换范围。拉氏变换扩大了信号的变换范围。变换域的内在联系变换域的内在联系时域函数时域函数傅氏变换)(tf频域频域函数函
5、数)(F时域函数时域函数拉氏变换)(tf复频域复频域函数函数( )bF s单边拉普拉斯变换考虑到：考虑到：1. 实际信号都是有始信号，即实际信号都是有始信号，即0)(0tft时，2. 我们观察问题总有一个起点，或者说只需考虑我们观察问题总有一个起点，或者说只需考虑 的的部分部分 。此时拉普拉斯正变换可以改写为。此时拉普拉斯正变换可以改写为0t0)()(dtetfsFst)()(tftfL记作记作的单边拉普拉斯变换，的单边拉普拉斯变换，称为称为11( )( )0( )2-jstjf tF s e dstF sj 相应的反变换为记作L1( ) ( )( )( )( )( )-F sf tf tF
6、sF sf t即，和或称为一对（单边）拉普拉斯变换对LL 正变换的积分下限用正变换的积分下限用 0- 的目的是：把的目的是：把 t=0 时出现的时出现的冲激包含进去。这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可冲激包含进去。这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态以直接引用已知的初始状态 f(0-)。 但但反变换的积分限并不改变反变换的积分限并不改变。以后只讨论单边拉氏变换：以后只讨论单边拉氏变换： （1）f (t) 和和 f (t)u (t) 的拉氏正变换的拉氏正变换 F(s) 是一样的。是一样的。 （2）反之，当已知）反之，当已知 F(s) ，求原函数时，也无法得，求原函数时，
7、也无法得到到 t 0 时，时， f(t)e- t 绝对收敛。绝对收敛。(4) 任何可以进行拉氏变换的信号，其拉氏变换任何可以进行拉氏变换的信号，其拉氏变换 F(s) 中中一一定没有定没有冲激函数。冲激函数。 4.1.2 （单边）拉氏变换的收敛域 信号信号 f (t) 乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件。是否一定满足，还要看条件。是否一定满足，还要看 f (t) 的性质与的性质与 的相对关的相对关系。通常把使系。通常把使 f (t)e- t 满足绝对可积条件的满足绝对可积条件的 值的范围值的范围称为拉氏变换的称为拉氏变换的收敛域。收敛域。0则收敛条件为
8、满足上述条件的最低限度的满足上述条件的最低限度的 值，称为值，称为 0 (绝对收绝对收敛横坐标敛横坐标)。存在下列关系后乘以收敛因子若,)(tetf)(0)(lim0ttetf如：有始有终的能量信号如：有始有终的能量信号 0 = -功率信号功率信号 0 = 0按指数规律增长的信号：如按指数规律增长的信号：如 e t ，0 = 凡是增长速度不超过指数函数的函数，统称为凡是增长速度不超过指数函数的函数，统称为指数指数阶函数阶函数。指数阶函数均可以用乘以。指数阶函数均可以用乘以 e- t 的方法将其分散的方法将其分散性压下去。性压下去。结论：凡指数阶函数都有拉氏变换。结论：凡指数阶函数都有拉氏变换。
9、比指数信号增长的更快比指数信号增长的更快的信号：如的信号：如 找不到找不到0 ，则此类信号不存在拉氏变换。则此类信号不存在拉氏变换。ttte 或或2 单边拉氏变换的收敛域是：复平面单边拉氏变换的收敛域是：复平面( s 平面平面)内，内，Re(s) =0 的区域，比较容易确定。一般情况下，不的区域，比较容易确定。一般情况下，不再加注其收敛域。再加注其收敛域。1. 傅里叶级数：傅里叶级数：ftFTn( ) ftF eTnjntn( ) 0ejnt0 实际上是把周期信号分解为一系列等幅振荡的正弦实际上是把周期信号分解为一系列等幅振荡的正弦分量之和。分量之和。0n220)(1TTdtetfTFtjnn
10、 复振幅：复振幅： （可以用复平面虚轴上的（可以用复平面虚轴上的离散频谱离散频谱表示）表示） 变换域之间的内在联系单元信号单元信号:角频率角频率: （在虚轴上离散取值）（在虚轴上离散取值）j0j02. 傅里叶变换傅里叶变换f tFedjt( )( )12f tF( )( )ejttdFcos)(频谱密度：频谱密度： （可以用复平面虚轴上的（可以用复平面虚轴上的连续频谱连续频谱表示）表示）单元信号单元信号:角频率角频率: （在虚轴上连续取值）（在虚轴上连续取值） 复振幅：复振幅： （为无穷小量）（为无穷小量） 2)(dFdtetfFtj)()( 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正实际上
11、是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正弦分量弦分量 之和。之和。3. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换象函数：象函数： （可以用（可以用 s 右半平面上的右半平面上的连续频谱连续频谱表示）表示）单元信号单元信号:复频率复频率: （在（在 s 右半平面上连续取值）右半平面上连续取值） 复系数：复系数： （为无穷小量）（为无穷小量） jdssF2)( 实际上是把非周期信号分解为无穷多变幅（按指数规实际上是把非周期信号分解为无穷多变幅（按指数规律增长或衰减）或等幅振荡的正弦分量律增长或衰减）或等幅振荡的正弦分量 之和。之和。dsesFjtft s)(21)(f tF s( )( )es tjs0)()(dt
12、etfsFsttedssFtcos)(j001. 单位冲激信号单位冲激信号( ) t根据冲激函数作为广义函数的定义：根据冲激函数作为广义函数的定义：) 0()()(fdttft1)()(00tststedtettL故故1)(t即即4.1.3 常用信号的拉普拉斯变换()001( )ttsts teu teedtedtsL1( )teu ts即由此，可以导出一些常用函数的拉氏变换。由此，可以导出一些常用函数的拉氏变换。2. 指数信号指数信号 e- t u (t)(这里这里 无任何限制无任何限制)单位阶跃信号单位阶跃信号u(t)10 ( )1( )u tsu ts前式中，令，得即L拉普拉斯变换与傅里
13、叶变换的关系例如增长的指数信号例如增长的指数信号：( )(0)te u t：只有拉氏变换而无傅氏变换只有拉氏变换而无傅氏变换0. 10jsFsF)()(：拉氏变换、傅氏变换都存在，且拉氏变换、傅氏变换都存在，且0. 20Fj( )1F ss( ) 1例如衰减的指数信号：例如衰减的指数信号：( )(0)teu t例如单位阶跃信号：例如单位阶跃信号： u (t)Fj()() 1F ss( ) 10. 30：拉氏变换、傅氏变换都存在，但傅氏变换拉氏变换、傅氏变换都存在，但傅氏变换中中含有冲激函数含有冲激函数4.2 拉普拉斯变换的性质 在实际应用中，通常不是利用定义式计算拉氏变换，在实际应用中，通常不
14、是利用定义式计算拉氏变换，而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质来求取。而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质来求取。 拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相似拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相似 ，只，只要把傅氏变换中的要把傅氏变换中的 j 用用 s 替代即可。替代即可。 但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的拉氏变但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。换是单边的，所以某些性质又有差别。1. 线性线性),()()()()()()()()(21212211为为常常数数则则若若basbFsaFtbftafsFtfsFtf例：求例：求单边正弦信号单边正弦信号
15、 和单边余弦信号和单边余弦信号的拉氏变换。的拉氏变换。解：解： 0sin( )tu t0cos( )tu t0001sin( )() ( )2jtjttu teeu tjLL112100jsjsj2020s0001cos( )() ( )2jtjttu teeu tLL202001121ssjsjs0000( )( )() ()( )(0)stf tF sf tt u tteF st若若则则0000000000021( )( ) ( )0(1)()(2)() ( )() ( )(3)( ) ()()(4)() ()() ()f ttF sf ttsf ttttf tt u ttt u tf t
16、 u tttu ttf tt u tttt u tt例：设，则，若，试求的拉氏变换。L2. 时移性时移性0() ( )f tt u tt00tt00t)(0ttf0( ) ()f t u ttt00t00() ()f tt u ttt00t220000(1)(2)0() ( )11ttttt u ttstsss解：信号和时的波形相同，所以它们的拉氏变换也相同，即LL002000000220000(3) ()1111sttststststtttstststtu tttedttteedteesssststeeesss L002001(4) () ()( )ststtt u tteF sesL例例
17、求图示锯齿波求图示锯齿波 f (t) 的拉氏变换的拉氏变换解解：)()()()(tftftftfcba或或( )()() ()EEtu tEu tTtT u tTTT根据时移性，有根据时移性，有sEetfsTb)(21)(sTEtfat0)(tfTEt0)(tfaTEt0)(tfbTEt0)(tfcTT2E( ) ( )()( )() ()()Ef tt u tu tTTEEtu ttT u tTEu tTTTsTcesTEtf21)(所以：所以：)1(1)(2sTeTsTsEtf利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换111( )( )() ()(2 )
18、(2 )f tf tf tT u tTf tT u tT)(11)()1()(112sFesFeesFsTsTsT设设 f1(t) 表示第一个周期的函数，则表示第一个周期的函数，则 说明说明周期信号的拉氏变换周期信号的拉氏变换等于它第一个周期波形的等于它第一个周期波形的拉氏变换拉氏变换F1(s) 乘以因子乘以因子sTe11周期函数可以是广义的，例如台阶函数周期函数可以是广义的，例如台阶函数sTessF111)(t0)(tfTT2123例例 求半波正弦函数的拉氏变换求半波正弦函数的拉氏变换)()()(:1tftftfba解22sin() ( )sin() ()22TTEt u tEtu tTTT
19、tE)(tfT202TtE)(1tf02TTtE)(tfaT202TETtE)(tfbT202TE22222)2()2()2()2(TseTsTETsTE)1 ()2()2(222TseTsTE)1 ()2()2(11)()(222TssTeTsTEesFtf222)2()2(11TsTEesT3.尺度变换（比例性）尺度变换（比例性）0)(1)()()(aasFaatfsFtf则则若若000 () ()(0,0)f attu attat试求L，已已知知)()(sFtfL0001() ()()stasf attu atteFaaL再应用比例性，得再应用比例性，得000 () ()( )stf t
20、t u tteF sL解法一：先应用时移性，可得解法一：先应用时移性，可得例例解法二：先应用比例性，可得解法二：先应用比例性，可得1() ()()sf at u atFaaL0000 () () () ()f attu attttf a tu a taaLL)(10asFeatas0001() ()()stasf attu atteFaaL再应用时移性，得再应用时移性，得4. 频移性频移性00)()()(ssFetfsFtfts则则若若与傅氏变换比较：与傅氏变换比较：ef tFjt00( )()ef tFt( )()这里，这里，s0 可以是实数，也可以是虚数或复数。可以是实数，也可以是虚数或复
21、数。 00220sin()tetu ts 0220cos()tsetu ts例例5. 时域微分时域微分)0()()()()(fssFdttdfsFtfL则则若若)0()0()()()1(1nnnnnffssFsdttfdL主要用于研究具有初始条件的微分方程主要用于研究具有初始条件的微分方程证明：证明： 根据定义根据定义dtedttdfdttdfst0)()(Ldttfestfestst)()()(00)0()(fssF222( )( )(0 )(0 )df ts F ssffdtL例例的波形如图所示。解：)(),(21tftf1210( )( ),( )0tttf teu tftet设的的拉拉
22、氏氏变变换换。和和试试求求)( )( 21tftfssFsFtftf1)()(),()(2121LL)(1tft01)(2tft0111( )( )( )tdftteu tdt)(1)(11ssFsssdttdfL2( )2 ( )( )tdf tteu tdt)0()(12)(212fssFsssdttdfL由于由于f (0-)不同，所不同，所求导数的求导数的拉氏变换拉氏变换不同。不同。 6. 时域积分时域积分tssFdfsFtf0)()()()(则则若若sfssFdft)0()()()1(证明：由定义证明：由定义000)()(dtedfdfstttL00)(10)(dtetfsdfsest
23、tstssF)(若积分下限由若积分下限由 - - 开始开始ttdfdfdf00)()()(tdff0)()0()1(所以所以sfssFdft)0()()()1(L01( )( )( )tttu tuds已知u，而21 11( )( )tu ts ss所以例例1!( )nnnt u ts7. 复频域微分与积分复频域微分与积分)()(sFtf若dssdFttf)()(则( )( )sf tF s dst11sin:2st解sarctgsdsstts11sin2sarctgarctgs12sarctgsdxxxt11sin0的的拉拉氏氏变变换换。例例：试试求求dxxxt0sin*基本公式基本公式复频
24、域积分性质复频域积分性质时域积分性质时域积分性质8. 初值定理初值定理则则存存在在，且且，设设)(lim)()(ssFsFtfs证明：利用时域微分性质证明：利用时域微分性质dtedttdffssFdttdfst0)()0()()(Ldtedttdfdtedttdfstst000)()()(lim)(lim)0(0ssFtffst000)()(dtedttdfdtdttdfst10tstedtedttdftffssFst000)()()0()(即即dtedttdffssFst0)()0()(故故)(lim)0(ssFfs故故有有时，右边积分项消失当s注意：注意：(1)( )2( )( )F sF
25、 sF s当为有理真分式时，可以直接套用公式。（ ） 当不是真分式时，应当先用长除法将化成一个多项式与一个真分式之和，然后对真分式用初值定理。0(0 )tf 因为多项式部分所对应的原函数为冲激函数及其导数，它们在时全为零，不影响的值。例：已知例：已知 ，试求初值，试求初值 。111lim)0(ssfs实际上：实际上：1111)(:ssssF解解( )( )( )(0 )1tf tte u tf ，1)()(sstfsFL)0(f如果不加以分析而直接套用公式，将会得到如果不加以分析而直接套用公式，将会得到的错误结果。的错误结果。)0(f9. 终值定理终值定理的的终终值值存存在在，则则，且且设设)
26、()(lim)()(tftfsFtftL)(lim)(lim)(0ssFtffst00000( )( )limlim()(0 )lim( )(0 )stsssdf tdf tedtdtdtdtffsF sf 两边取两边取 s 趋于零的极限，得趋于零的极限，得证明证明:根据时域微分性质，有根据时域微分性质，有0( )( )( )(0 )stdf tdf tedtsF sfdtdtL0()lim( )lim( )tsff tsF s 即条件是：条件是： 存在存在)(limtft 这相当于这相当于 F(s) 的极点都在的极点都在 S 平面的左半平面，并且平面的左半平面，并且如果在虚轴上有极点的话，如
27、果在虚轴上有极点的话， 只能在原点处有单极点。只能在原点处有单极点。否则会得到否则会得到 的错误结果。的错误结果。0lim)(0ssfs)0(1)(sesFtL例例如如其极点其极点 s = 在在 s 平面的右半平面，不能平面的右半平面，不能用终值定理。用终值定理。25235lim)(lim)(200ssssFfss例：例：已知已知 ，试求，试求 f (t) 的终值。的终值。)23(5)(2ssssF解：解：因为因为 F(s) 的极点为的极点为 s1=0， s2 =-1 和和 s3 = -2，满足终，满足终值定理的条件。所以有值定理的条件。所以有其它性质：其它性质：)()()()(2121sFs
28、Ftftf)()(21)()(2121sFsFjtftf时域卷积定理时域卷积定理复频域卷积定理复频域卷积定理(无对称性无对称性)例例 求下列函数的拉氏变换求下列函数的拉氏变换1. (1) ( )tu t2.(1)tu t 2111.(1) ( )( )( )tu ttu tu tss解：22.(1)(1) (1)(1)11()stu ttu tu tess3. (1) (1)tu t213.(1) (1)stu tes4. (1) (1)tu ttt2cos.52)cos(. 6tt2114.(1) (1)(1) ( )tu ttu tssLL322.5stL322332)4()12(2)2(
29、2)2(2212cossssjsjsttL)()(21sin)()()(21cos)(000000jsFjsFjttfjsFjsFttfLL有下列公式有下列公式42cos2sst另解：)4(2cos2222ssdsdtt322)4()12(2 sss2222)(1)(12sin)(1)(12cosjsjsjjsjs22222222)(2sin)(cossssssinsincoscos)cos(. 6tttttt例：例：求图示函数求图示函数 f (t) 的拉氏变换。的拉氏变换。解法一：解法一： 按定义式求积分按定义式求积分dtetfsFst0)()(dtetdttestst 2110)2(dtt
30、edtedteseststststst2121102101)1(22)1(1ses)(tft2110解法二：解法二： 利用线性和时移定利用线性和时移定理理( ) ( )(1)(2) (1)(2)f tt u tu ttu tu t ( )2(1) (1)(2) (2)tu ttu ttu t222222)1 (1121)(ssesesesssFs)(tft2110解法三：解法三： 利用时域微分性质利用时域微分性质)2()1(2)()(22tttdttdfLL22)1 ()(, 0)0(, 0)0( sesFsff故故而而2)1 (se22)1(1)(sessFdttdf)(t211022)(d
31、ttfdt21)1(0)1()2(例例 求下列函数的单边拉氏变换：求下列函数的单边拉氏变换：cos( )(1)dtu ttdt2(1)cos( )1stu ts22cos( )1dtu tsdts2222cos( )2()1(1)dtu tdsstdtds ss 解：解：(2)sin()tu t(2)sin()sin() ()tu ttu t 21sin( )1tu ts21sin() ()1stu tes4.3 拉普拉斯反变换简单的拉普拉斯反变换：直接应用典型信号的拉氏变直接应用典型信号的拉氏变换对及拉氏变换的性质得到。换对及拉氏变换的性质得到。例例:121ses()( ) 2()tte u
32、 teu t sess1211例例:2)2( ss2)2(1ss21( )tu ts221( )(2)tteu ts2221( )12( )(2)ttdsteu tt eu tsdt 例例：22) 3(1)(ssF求求解解：221sin 3 ( )(3)2 3sttu tsdssst0223sin321) 3(11cos 3sin 3 ( )66 3ttt u t例例:的原函数求22) 3()(sssF解解：23sin 3 ( )3tu ts22232 3()sin3( )3(3)dsttu tds ss 221( )sin3( )(3)2 3sF sttu ts频域微分频域微分 部分分式展开
33、法)()()(01110111sDsNasasasabsbsbsbsFnnnnmmmm 常见的拉氏变换式是常见的拉氏变换式是 s 的多项式之比，一般形式为的多项式之比，一般形式为如果如果 N(s) 的阶次高于的阶次高于 D(s) 的阶次的阶次, ,可以用长除法将可以用长除法将 F(s) 化成多项式与真分式之和，例如化成多项式与真分式之和，例如145311723)()()(2223ssssssssssDsNsF多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数，可以直多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数，可以直接求得，例如接求得，例如)(5)( 353tts所以只需讨论真分式部分的拉氏反变换。所以只需
34、讨论真分式部分的拉氏反变换。1. D(s) = 0 的根都是实根且无重根的根都是实根且无重根)()()()()(21nnssssssasNsDsNnnssksskssk2211其中其中), 2 , 1()()()(nisDsNsskissii)(12211111nnssksskssksFLLLL此时，此时，1212 ( )ns ts ts tnk ek ek eu t例例:的的拉拉氏氏反反变变换换。求求23372)(22sssssF解解：)2)(1(12)(ssssF23122ss22 ( ) 2( ) 3( )ttte u te u t遮挡法遮挡法2. D(s) = 0 的根有复根且无重根的
35、根有复根且无重根)()()(2221cbssssssssasDnn)(21cbsssD24bc二次多项式中，若，则构成一对共轭复根。)()()()()(11221sDsNcbssksksDsNsFcbssksk221的反变换可以用配方法（或部分分式展开法的反变换可以用配方法（或部分分式展开法 . 略）略） 上式右边第二项仍用前述方法展开为部分分式，再上式右边第二项仍用前述方法展开为部分分式，再利用利用对应项系数相等对应项系数相等的方法即可求得的方法即可求得 k1 和和 k2 。例：例：的的原原函函数数。试试求求)42)(1(3)(2sssssF421132)42)(1(322ssCBsssss
36、s解解：432430Cs代代入入上上式式，得得令令Bss320，得得，令令两两边边乘乘以以31 C32B遮挡法遮挡法配方法配方法对应项对应项系数相系数相等法等法3) 1(3132132)(2ssssF22)3() 1(331) 1(32132sss221( ) cos 3sin 3 ( )333tttf teetet u t3. D(s) = 0 的根有重根的根有重根可可写写成成，则则重重根根只只有有一一个个若若)(0)(1sDspsD)()()()(11nppnssssssasD)()()()()()()(11111211211)1(111sDsNsskssksskssksFpppp k1p
37、 k11可以通过可以通过对应项系数相等对应项系数相等或或代数恒等式代数恒等式法得到。法得到。例：例：的的原原函函数数。求求2322132)(sssssF22132)(212211232sksksksssssF解：用遮挡法，得用遮挡法，得4321211kk，代代入入上上式式，得得令令1s2153() ( )244tteu t2434521)(2ssssF454121361212kk，代数恒等式法代数恒等式法例例: 求下列函数的拉氏反变换：求下列函数的拉氏反变换：)4(1)() 1 (22ssesFs解：解：ssesssssse22222)4(1)4(1)4(1)4(12ss4041412sss1
38、(1 cos2 ) ( )4t u t11( )(1 cos2 ) ( )1 cos2(2) (2)44F st u ttu tsess22)4(111 cos2(2) (2)4tu t根据时移性质，有根据时移性质，有111)(2ssssF1)()2(23ssssF解解：22)23()21(23321ss1223( )( )( )sin( )23tF sttetu t（配方法）（配方法）（长除法）（长除法）例例: 求下列函数的拉氏反变换：求下列函数的拉氏反变换：2) 1 ()2(2sesseess)1)(1 ()2(31(1)( )u ts解解：2(2)2(2)2steu tes21(2)se
39、u tsseeeseesssss4331)1)(1 () 2( )(1)(3)(4)u tu tu tu t 31( )(1)1( )(3)sseu tu tetts或， ( )(1) ( )(3)u tu ttt原式()( 1)(3)(4)utututut 例例:的原函数的原函数求求1)1(1 2)() 1(22) 1(ssesesF，则则的的特特点点，设设解解：根根据据) 1()()(1sFsFsFssssssesFeseeesesF222222111)(11212)1 ()1 (2)(2222( )(12)( )2 ( )4 (1)2 (2)ssF seesf tu tu tu t其中的
40、的有有始始方方波波，是是周周期期为为2)(1tf)(2tft0 1 222)(1tft01222345。根据频移特性可知根据频移特性可知)()(1tfetft)(tft012223454.4 连续系统的复频域分析 拉普拉斯变换分析法拉普拉斯变换分析法(复频域分析法复频域分析法)是分析线性连是分析线性连续系统的有力工具：续系统的有力工具： 1. 它将时域中描述系统的微分方程变换为它将时域中描述系统的微分方程变换为 s 域中的域中的代数方程，便于运算和求解；代数方程，便于运算和求解； 2. 由于变换时引入了初始状态，所以能够分别求解由于变换时引入了初始状态，所以能够分别求解零输入响应和零状态响应，
41、或者直接求解系统的全响应。零输入响应和零状态响应，或者直接求解系统的全响应。 3. 不仅可以分析稳定系统，也可以分析不稳定系统。不仅可以分析稳定系统，也可以分析不稳定系统。 4. 不仅可以从微分方程求解系统的全响应，也可以不仅可以从微分方程求解系统的全响应，也可以直接从电路求解。直接从电路求解。4.4.1 求解系统微分方程以二阶常系数线性微分方程为例：以二阶常系数线性微分方程为例：)()()()()(01012txbtxbtyatyatya 0)0()0( )0( , 0)0()1(nxxxx设激励设激励 为有始信号，即为有始信号，即)(tx对微分方程两边取拉氏变换，利用时域微分性质，有对微分
42、方程两边取拉氏变换，利用时域微分性质，有)()(01sXbssXb)()0 ()()0 ()0 ()(0122sYayssYaysysYsa)()(0122sYasasa)0()0()0()()(12201yayasyasXbsb整理成整理成0122122012201)0()0()0()()(asasayayasyasXasasabsbsY)()(sYsYzizs102210( )( )( )zsYsb sbH sX sa sa sa称为系统函数，则则记记)()()(sXsHsYzs111( )( )( )( )( )( )( )zszizsziY sy tY sYsYsytyt对进行反变换，
43、可得全响应的时域表达式：LLL例例 系统的微分方程为系统的微分方程为，激激励励)()()(8)(2)(6)(5)(tetxtxtxtytytyt 。，求求响响应应，初初始始状状态态)(2)0(3)0(tyyy解：对微分方程取拉氏变换，得解：对微分方程取拉氏变换，得)(6)0()( 5)0()0()(2sYyssYysysYs)(8)(2sXssX65)0(5)0()0()(6582)(22ssyysysXssssY1( )( )( )1tx te u tX ss38211) 3)(2(173)(ssssssYzi)0(811)(32teetyttzi( )u t此处不能加注)0(773)()(
44、)(32teeetytytytttzizs31241311) 3)(2(82)(ssssssssYzs23( )(34) ( )tttzsyteeeu t4.4.2 分析电路 已知电路时，可根据已知电路时，可根据复频域电路模型复频域电路模型，直接列写求，直接列写求解复频域响应的代数方程。解复频域响应的代数方程。1. 电阻元件电阻元件)()(tRitRR)()(sRIsVRR)(tvR)(tiR)(sVR)(sIR电路元件的复频域模型电路元件的复频域模型2. 电容元件电容元件)0()(1)(0CCCvdiCtt)0(1)(1)(CCCssIsCsV)0()()(CCCCvssCVsI或或C)(t
45、iC)(tvC)0(Cv)(sIC)0 (1CvssC1)(sVC)(sIC)0 (CCvsC1)(sVC3. 电感元件电感元件dttdiLtLL)()()0()()(LLLLissLIsVsisVsLsILLL)0()(1)(或或L)(tvL)0(Li)(tiLsL)(sVLsiL)0()(sIL)0(LLisL)(sVL)(sIL注意：注意：（1）内电源的方向；）内电源的方向；（2）串联模型中，元件上的电压为复频阻抗上的电压与）串联模型中，元件上的电压为复频阻抗上的电压与内电压源的电压之和。内电压源的电压之和。用电路的复频域模型求解响应的步骤 1. 电路中的每个元件都用其复频域模型代替（初
46、始电路中的每个元件都用其复频域模型代替（初始状态转换为相应的内电源）；状态转换为相应的内电源）； 2. 信号源及各变量用其拉氏变换式代替；信号源及各变量用其拉氏变换式代替； 3. 画出电路的画出电路的复频域模型；复频域模型； 4. 应用电路分析的各种方法和定理求解响应的变换应用电路分析的各种方法和定理求解响应的变换式。式。 5. 反变换得响应的时域表达式。反变换得响应的时域表达式。例：例：VvtetvCts1)0(),()1 ()(3已知)(tvC求求响响应应电电压压311)(sssVssCRsvsVsICs1)0()()(解：画出复频域模型如图所示，其中解：画出复频域模型如图所示，其中)(t
47、vsRC1F1)(tvC)(sVs)(sVCsvC)0(sC1R)(sI由由KVL得得ssIsCsVCC)0()(1)(svRsCsvsVCCs)0(1)0()(1)0(1)(RsCRCRsCsVCs零状态响应零状态响应13111)()(sssRsCsVsVszsC)3s)(1s ( s3s23s211s21s1311( )( )(1) ( )22CCttzszsvtVseeu tL- -1 1零输入响应零输入响应111)0()(sRsCRCsVCCzi)0()()(tesVtvtziziCC- -1 1L)0(21211)()()(3teetvtvtvttCziCzsC全响应全响应例：例：，
48、如如图图所所示示电电路路，已已知知311121RFCHLVVs闭闭合合。时时，开开关关当当。电电路路原原已已处处于于稳稳态态，KtRR01232。和零状态响应和零状态响应两端电压的零输入响应两端电压的零输入响应闭合后闭合后求求)()(3tytyRKzszi流流的的初初始始状状态态为为解解：电电容容电电压压和和电电感感电电)0(Cv)(6)0(32132VVRRRRRvsCLC3RsV1R2RK)(ty)(2)0(321ARRRVisL电路的复频域电路模型电路的复频域电路模型如图所示，列节点方程如图所示，列节点方程)0(Li)(sYsLsC13R)(sVs1R)0(LLi)(sILsvC)0(1
49、31)0()(1)0()()11(RsLLisVsCsvsYRsCRsLLsc代入数据整理得代入数据整理得44)(44)0() 3()0()(22sssVssvsisYscL4420644)0() 3()0()(22sssssvsisYcLzi26)2(82ss)0()68()(2tVettyti z44)()(2sssVsYszsssVs1212)( L23)2(63)44(12)(22sssssssYzs2( )3(63) ( )tzsytteu t V4.5 系统函数4.5.1系统函数)()(*)(tythtx时时域域)()()(YHX频频域域)()()(sYsHsX复复频频域域1110
50、1110( )( )( )mmzsmmnnnnYsb sbsbsbH sX sa sasa sa( )( )( )zsYsH s X s( )( )th t当激励为时，零状态响应为，故( )( )( )( )h tH stH sLL( )x t( )y t(0 )0nS qdehedehtyssttszs)()()()()()(0sHedehestsst( )( )( )H ssH sH s表明此时因果系统的零状态响应仍为相同复频率的指数信号，但被加权了。条件是：复频率位于的收敛域内，即位于最右边的极点的右边。()stet 当激励为无时限的复指数信号时，。的的收收敛敛域域内内，故故响响应应为为
