1、结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27第十章第十章 矩阵位移法矩阵位移法10-1 概述概述10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 10-3 单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵10-5 支承条件的引入支承条件的引入10-6 非结点荷载的处理非结点荷载的处理10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例矩阵位移法的计算步骤及示例10-8 几点补充说明几点补充说明结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27手算：手算：小型、简单问题，讲究技巧。小型、简单问题，讲究技巧。一一、手算与电算比较：、手算与电算比较：电算：电算：大型、复杂问题，要求方法具有
2、系统性、大型、复杂问题，要求方法具有系统性、 通用性。通用性。结构力学中的电算方法结构力学中的电算方法 结构矩阵分析方法结构矩阵分析方法 (杆件有限元法杆件有限元法) 结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段大规模的计算方法。段大规模的计算方法。 超静定结构分析：超静定结构分析： 力法，位移法，力矩分配法。力法，位移法，力矩分配法。10-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27二、结构矩阵分析方法二、结构矩阵分析方法特点与分类：特点与分
3、类： (1) 公式推导书写简明公式推导书写简明, ,导出公式紧凑导出公式紧凑, ,形式规格化。形式规格化。 矩阵力法矩阵力法( (或称柔度法或称柔度法) )以力作为基本未知量。以力作为基本未知量。 矩阵位移法矩阵位移法( (或称刚度法）或称刚度法）采用结点位移作为基采用结点位移作为基本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。杆系结构受力、变形等计算的方法。 (2) 各种情况可统一处理，通用性强。各种情况可统一处理，通用性强。 (3) 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。计算过程规范化，适合计算机进行自动化解
4、算。 对于杆系结构，对于杆系结构，矩阵位移法矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。因易于编制通用的计算程序。10-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27三、矩阵位移法的三、矩阵位移法的思路思路 ：1）离散，进行单元分析单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。2）集合，进行整体分析整体分析，建立结点力与结点位移的关系。任务任务意义意义单元单元分析分析建立杆端力与杆端位移建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单间的刚度方程，形成单元刚度矩阵元刚度矩阵用矩阵形式表示杆用矩阵形式表示杆件的转角位移方程件的转角位移方程整体整体分析分析由变形条件和平衡条件由变形条件和平衡条件建立结点力
5、与结点位移建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整间的刚度方程，形成整体刚度矩阵体刚度矩阵用矩阵形式表示位用矩阵形式表示位移法基本方程移法基本方程10-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 构造结点构造结点: :杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突杆件的转折点、汇交点、支承点和截面突变点。变点。 非构造结点非构造结点: :一根等截面直杆内的单元与单元之间的一根等截面直杆内的单元与单元之间的结点。结点。 1. 结点和单元结点和单元 单元与单元之间通过单元与单元之间通过结点结点联结，结点一经确定，则单联结，结点一经确定，则单元也就全部确定了。元也就全部确定了。 单元单元最基本
6、的分析部件，最简单的单元是等截面最基本的分析部件，最简单的单元是等截面直杆。直杆。 梁单元梁单元受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单受轴力、还受剪力和弯矩作用则称为梁单元（梁、刚架）。元（梁、刚架）。 轴力单元轴力单元只受轴力作用的单元（桁架）。只受轴力作用的单元（桁架）。 四、基本概念四、基本概念 10-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:272. 坐标系坐标系4321123234 结构整体坐标系结构整体坐标系xoy用于描述结构整体的量用于描述结构整体的量结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。结点的坐标、结点的位移、作用在结构上的外力等。 单元局部坐标系单元局部坐标
7、系固定在单元上，固定在单元上， 轴与杆轴重合轴与杆轴重合, ,自自 轴逆时针旋转轴逆时针旋转900时时的方向为的方向为 轴正向。用于描述单元的杆轴正向。用于描述单元的杆端力和杆端位移等。端力和杆端位移等。 xxy10-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27将结构离散成单元的分割点称作结点将结构离散成单元的分割点称作结点. .634512结点的选择结点的选择: :转折点、汇交点、支承点、转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等刚度变化、荷载作用点等整体编码：单元编码、结点编码、整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。结点位移编码。（1,2,3）（4,5,6）（7
8、,8,9）（10,11,12）（13,14,15）（16,17,18）坐标系坐标系: :整体整体( (结构结构) )坐标系坐标系; ;X XY Y局部局部( (单元单元) )坐标系坐标系. .曲杆结构曲杆结构: :以直代曲以直代曲. .变截面杆结构变截面杆结构: :以等截面杆以等截面杆 代变截面杆代变截面杆10-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结不忽略单元的轴向变形时，平面结构中每个刚结点都有点都有3个独立的位移（个独立的位移（2个独立线位移、个独立线位移、1个角位个角位移），每一个铰结点则有移），每一个铰结点则有2个独立线位
9、移。个独立线位移。 平面刚架单元的杆力列向量为平面刚架单元的杆力列向量为 TSNSNjjjiiiMFFMFFeF( (10-1) ) 平面刚架单元的杆端位移列向量为平面刚架单元的杆端位移列向量为 T)(jjjiiievuvu (10-2） 注意：注意：杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有杆端力与杆端位移必定是一一对应的，即有几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。几个杆端位移分量就有几个杆端力分量。 3. 杆端位移和杆端力杆端位移和杆端力10-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对平面桁架铰结点只有两个独立的线位移，与此对应，桁架单
10、元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但应，桁架单元的杆端力只有轴力和剪力与其对应，但实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有实际上桁架单元的剪力总是为零的，所以有TNN00jieFFF( (10-3) ) 杆端位移向量杆端位移向量 Tjjiievuvu (10-4) 其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对其他任何单元都存在杆端力与杆端位移一一对应的关系。应的关系。 FFNN12e12杆端力向量杆端力向量212121vuuve10-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 作用于结点上的所有的力的合力作用于结点上的所有的力的合力, 沿坐标轴方沿坐标轴方向分解为三个分量向分解为三个
11、分量, 构成该结点的构成该结点的结点力向量结点力向量。4. 结点力和结点位移结点力和结点位移 与结点力向量对应的是与结点力向量对应的是结点位移向量结点位移向量，是矩阵，是矩阵位移法的位移法的基本未知量基本未知量。注意：注意：结点力和结点位移都是相对于结点力和结点位移都是相对于整体坐标系整体坐标系的。的。 10-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27杆端位移和杆端力杆端位移和杆端力的正负号：的正负号： 作用在作用在结点上的外力和结点位移结点上的外力和结点位移的正负号：的正负号： 5. 正负号规定正负号规定（强调）（强调） 凡是与单元坐标轴方向一致的位移和力均为正值，凡是与单元
12、坐标轴方向一致的位移和力均为正值，反之为负值。反之为负值。 力矩和转角以力矩和转角以逆时针逆时针方向为正，反之为负。方向为正，反之为负。 与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，与整体坐标系方向一致的结点力和结点位移为正，反之为负。反之为负。 以以逆时针逆时针转的结点力矩和结点转角为正值转的结点力矩和结点转角为正值, ,反之为反之为负值。负值。10-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27矩阵位移法基本思想矩阵位移法基本思想:- 结构离散化结构离散化将结构拆成杆件，杆件称作将结构拆成杆件，杆件称作单元单元。单元的连接点称作单元的连接点称作结点结点。对单元和结点编码对单元和
13、结点编码.634512e单元杆端力单元杆端力- 整体分析整体分析单元杆端力单元杆端力结点外力结点外力单元杆端位移单元杆端位移结点外力结点外力单元杆端位移单元杆端位移(杆端位移杆端位移=结点位移结点位移)结点外力结点外力结点位移结点位移基本未知量基本未知量:结点位移结点位移10-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:271. 建立建立单元杆端力与杆端位移之间的关系单元杆端力与杆端位移之间的关系 截面直杆单元截面直杆单元e , 其其杆端位移列向量与杆端力列杆端位移列向量与杆端力列向量分别为向量分别为 TejejejeieieievuvuTejeyjexjeieyiexieMFFMF
14、FF10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 当杆端轴向位移为当杆端轴向位移为 、 时，时， ，由胡克由胡克定律得杆件轴向变形的刚度方程为定律得杆件轴向变形的刚度方程为eiuejueiejijuulejeieiejexjejeieiejexiulEAulEAuulEAFulEAulEAuulEAF)()( （a） 在线性小位移范在线性小位移范围内，忽略轴向受力围内，忽略轴向受力状态与弯曲向受力状状态与弯曲向受力状态之间的影响。态之间的影响。10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 杆端横向位移杆端横向位移ij正负正
15、负号规定号规定: :使使杆的杆的j 端绕端绕 i 端端作顺时针转时为正值。作顺时针转时为正值。)(eiejijvv 由两端固定等截面由两端固定等截面直杆的转角位移方程有直杆的转角位移方程有ejejeieieyjejejeieieyiejejeieieiejejeiejejejeieieiejejeieilEIvlEIlEIvlEIFlEIvlEIlEIvlEIFlEIvlEIlEIvlEIlvviiiMlEIvlEIlEIvlEIlvviiiM2323232322226126126126124626)(6422646)(624（b） 10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返
16、 回退 出22:27将上述将上述（a）和和（b）两式合在一起，写成矩阵形式，有两式合在一起，写成矩阵形式，有 ejeyjexjeieyiexiMFFMFFlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323ejejejeieieivuvu =单元在局部坐标系中的单元刚度方程。单元在局部坐标系中的单元刚度方程。它可记为它可记为 eeeKF（10-6a） 10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27其
17、中其中 （10-7）1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeKeK 称为局部坐标系中的单元刚度矩阵（简称单刚）。称为局部坐标系中的单元刚度矩阵（简称单刚）。 的行数等于杆端力向量的分量数的行数等于杆端力向量的分量数, 列数等于杆端位列数等于杆端位移向量的分量数，移向量的分量数， eKeK 的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。10
18、-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 任一元素任一元素 表示当表示当j号位移为一单位时引起杆端沿号位移为一单位时引起杆端沿i 号号位移方向的反力。位移方向的反力。eijk1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 单刚阵单刚阵 中某一列的六个元素表示当某个秆端位移中
19、某一列的六个元素表示当某个秆端位移分量等于分量等于1时所引起的时所引起的六六个杆端力分量。个杆端力分量。eK 第第1列的列的六六个元素就是当个元素就是当 (即端点即端点i沿沿 正方向发正方向发生单位位移生单位位移)时，单元的时，单元的六六个杆端力分量。个杆端力分量。1eiux1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退
20、出22:271 2 4 3 5 6 10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:271F2F3F4F5F6F10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27111 lEAF 114 lEAF52232212FlEIF 6222326FlEIF 10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:273334 lEIF3632 lEIF5332236FlEIF 10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27414 lEAF444 lEAF55525312EIFFl 35565
21、26EIFFl 10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:276664 lEIF6362 lEIF5662266FlEIF 10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 2. . 单元刚度矩阵的特性单元刚度矩阵的特性（反力互等定理）（反力互等定理） （1） 是对称矩阵。是对称矩阵。 )(jikkejieijeK1iu1iv1i1ju1jv1j66222323222323460260612061200000260460612061200000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIl
22、EIlEIlEIlEIlEAlEAeK10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 表达的杆端力和杆端位移的关系，表达的杆端力和杆端位移的关系，对应对应于一个完全的自由单元，于一个完全的自由单元，没有任何支承约束，可以有没有任何支承约束，可以有任意的刚体位移。任意的刚体位移。(2) 是奇异矩阵。是奇异矩阵。eK即即 ，其逆矩阵不存在，其逆矩阵不存在.0 eK可以由杆端位移可以由杆端位移 确定杆端力确定杆端力 。反之，若已知杆端。反之，若已知杆端力力 ，却不能由式，却不能由式 反求杆端位移反求杆端位移 。eeeFeFeeeKFeeeKF物理概念为：物理概念为：
23、 局部坐标系中的单元刚度矩阵局部坐标系中的单元刚度矩阵 ，只与单元的几何形，只与单元的几何形状、尺寸和物理常数有关，与单元在结构中的位置无关。状、尺寸和物理常数有关，与单元在结构中的位置无关。(3) 位置无关性位置无关性eK矩阵位移法的单元体现了更强的通用性。矩阵位移法的单元体现了更强的通用性。10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为: : eKlEAlEAlEAlEAlEA00000101000001010000000000003. . 其他单元的单元刚度矩阵其他单元的单元刚度矩阵TT00exjexieejejeieieFF
24、vuvuFejejeieiexjexivuvulEAlEAlEAlEAFF00000000000000 （10-9）( (1) ) 平面桁架单元平面桁架单元10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 若把连续梁两支座间的一跨取若把连续梁两支座间的一跨取作单元，杆端位移条件为：作单元，杆端位移条件为： ， ， ， 。 01eu01ev02ev02eu单元刚度方程为单元刚度方程为T21T21eeeeeMMe eF(10-11)单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为eeeelEIlEIlEIlEIMM21214224lEIlEIlEIlEIe4224K（10-12）（10
25、-13）(2) 连续梁单元连续梁单元杆端位移向量与单元杆端力向量为杆端位移向量与单元杆端力向量为: :10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 注意：注意：矩阵中只列出弯矩没列出剪力。这并不矩阵中只列出弯矩没列出剪力。这并不是说连续梁单元中没有剪力是说连续梁单元中没有剪力, , 只不过是只把杆端只不过是只把杆端转角作为基本未知量来考虑而己。求出杆端弯矩转角作为基本未知量来考虑而己。求出杆端弯矩, , 便可求出剪力。便可求出剪力。10-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 整体分析时必须建立一个统一的坐标系，称为整体整
26、体分析时必须建立一个统一的坐标系，称为整体坐标系，其作用是把各单元上不同方向的量值统一到整坐标系，其作用是把各单元上不同方向的量值统一到整体坐标系方向上来。整体坐标系中，单元杆端位移向量体坐标系方向上来。整体坐标系中，单元杆端位移向量记为记为 e , ,单元杆端力向量记为单元杆端力向量记为 Fe TTejeyjexjeieyiexiejejejeieieiMFFMFFvuvueeF问题的提出问题的提出10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27局部坐标系下的杆端力局部坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力1. 单元坐标转
27、换矩阵单元坐标转换矩阵 局部坐标系局部坐标系 与整与整体坐标系为体坐标系为xoy的夹角的夹角以以x轴逆时针转到与局部坐轴逆时针转到与局部坐标系标系 为正。为正。 xyox10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27j 端点杆端力转换关系端点杆端力转换关系 端点端点i 处的杆端力分量，有下列转换关系：处的杆端力分量，有下列转换关系：eieieyiexieyieyiexiexiMMFFFFFFcossinsincos（10-10a） ejejeyjexjeyjeyjexjexjMMFFFFFFcossinsincos（10-10b） 整体坐标
28、系下的杆端力与局部坐标系下的杆端力之间的关系整体坐标系下的杆端力与局部坐标系下的杆端力之间的关系10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27ejeyjexjeieyiexiejeyjexjeieyiexiMFFMFFMFFMFF1000000cossin-0000sincos0000001000000cossin-0000sincos简记为简记为 eeFTF将（将（10-10a）和（）和（10-10b）联合起来写成矩阵形式）联合起来写成矩阵形式10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:
29、271000000cossin-0000sincos0000001000000cossin-0000sincosTTT称为单元坐标转换矩阵称为单元坐标转换矩阵, , TT是一正交矩阵。是一正交矩阵。T1TTI为与为与T 同阶的单位矩阵。同阶的单位矩阵。TTTTTT或或10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27同理同理 eeTTeeTeeFTF由由T-1eeeFTFTF可得可得cossin-00sincos0000cossin-00sincosT坐标转换矩阵为：坐标转换矩阵为： 对平面桁架单元对平面桁架单元 ， 。011eeMM022ee
30、MM10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27整体坐标系中的单元刚度方程写为整体坐标系中的单元刚度方程写为 eeeKF局部坐标系中的单元刚度方程写为局部坐标系中的单元刚度方程写为eeeKF由由 ， ，得，得eeFTFeeTeeeeeeTKKFTF等式两边左乘等式两边左乘 ，得，得TTTeeeeeKTKTF2. 整体坐标系中的单元刚度矩阵整体坐标系中的单元刚度矩阵TTTKee从而可得两种坐标系中单元刚度矩阵转换关系式从而可得两种坐标系中单元刚度矩阵转换关系式: :10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大
31、学返 回退 出22:27对于平面刚架单元，对于平面刚架单元，整体坐标系中的单元刚度矩阵为整体坐标系中的单元刚度矩阵为 iCliCliBCCliCCliBCliBCiCliCliiCliCliBCCCliBCliCliBCCliCCliBCliBCCliCCliBCliBCxxyyyxyxxyxxyyxxxyyyxyxyyxyxe46126121226646121261261212612122222222222222222222222对称K式中：式中：sin;cos,yxCClEIilEAB10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27平面桁
32、架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵为平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵为: : lEACCCCCCCCCCCCCCyyxxyyxyyxxyxxe222222)(称对K 整体坐标系中的单元刚度矩阵整体坐标系中的单元刚度矩阵 具有与具有与 类似的性类似的性质质(对称性和奇异性对称性和奇异性)。 eKeK10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27eieyiexieiMFFFejeyjexjejMFFFeieieieivuejejejejvu2 表示单元表示单元 j 端产生单位位移时引起端产生单位位移时引起 i 端的杆端力。端的杆端力。e
33、ijK对于平面刚架单元对于平面刚架单元 整体分析中，对每一个结点分别建立平衡方程，为了整体分析中，对每一个结点分别建立平衡方程，为了讨论方便，将单元刚度方程按两端的结点讨论方便，将单元刚度方程按两端的结点 i 、j 进行分块，进行分块，写为写为对于平面刚架单元，它们都是对于平面刚架单元，它们都是33阶方阵。阶方阵。对于平面桁架单元，它们都是对于平面桁架单元，它们都是22阶方阵。阶方阵。 ejeiejjejieijeiiejeiKKKKFF10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27例例: :整体单刚的计算整体单刚的计算 486024606
34、10610005 . 0005 . 024004860610610005 . 0005 . 021kk, 1/12, 6/2lilEAl2xy1l已知已知: :1212EI12; 6 lEA求求: :各单元整体单刚各单元整体单刚解解: :484 ,242 , 6/6iili01 1000000100000010000001000000100000011T 11111kTkTkT10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 1000000010000100000001000000010000102T9024806240605 .0005 .
35、006016012406480605 .0005 .00601601 2222TkTkT10-3 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27分析任务分析任务: :建立结点力与结点位移的关系建立结点力与结点位移的关系- -结构的刚度方程结构的刚度方程例例: : 4321FFFFF 4321第一步第一步: : 编号，建坐标编号，建坐标符号：与整体坐标正向为正。iiiivu iiiiMYXF结点力列向量结点力列向量结点位移列向量结点位移列向量其中：10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 1F、 4F
36、 支座反力 2F、 4F 结点外力 F F= = K K 表示整个结构在整体坐标系中的结表示整个结构在整体坐标系中的结点位移与结点力之间的变换关系。点位移与结点力之间的变换关系。-明确任务明确任务有有n个结点的平面刚架，个结点的平面刚架，是是3 3n阶向量阶向量。T222111)(nnnvuvuvuT2211)(nnvuvuvu F结构的结点力向量。它是由作用在每个结点上结构的结点力向量。它是由作用在每个结点上的外力的外力 ( (包括已知的荷载和未知的支座反力包括已知的荷载和未知的支座反力) ) 构成的。构成的。注意：注意：F与与的阶数相同的阶数相同, , 而且是一一对应的。而且是一一对应的。
37、结构的结点位移向量。矩阵位移法的基本未知量结构的结点位移向量。矩阵位移法的基本未知量。 K 结构的整体刚度矩阵（总刚）。其行、列数等结构的整体刚度矩阵（总刚）。其行、列数等于结构结点的位移数。于结构结点的位移数。 10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27第二步：单元分析第二步：单元分析323332232232KKKKFF212221121121KKKKFF434443343343KKKKFF10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27第三步，利用变形条件和平衡条件建立第三步，利用变形条件和平衡条
38、件建立 与与 F 的关系。的关系。分别对结点1，2，3，4进行分析10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27由变形条件： 222 333 1144由平衡条件：如结点如结点2 2：2220XXXX2220YYYY2220MMMM即： 222222222MYXMYXMYX即： 222FFF 323222221212)(KKKKF10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27同理，对结点1、3、4的平衡条件为： 2121111KKF 434333332323)(KKKKF 4443434KKF写成矩阵形式
39、： 43214443342222322322222112114321000000KKKKKKKKKKKKFFFF10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27上式称为结构的原始刚度方程，简写为：上式称为结构的原始刚度方程，简写为： KF K称为结构的原始刚度矩阵原始刚度矩阵，简称总刚总刚。总刚度矩阵特性总刚度矩阵特性：（1 1） K 是对称方阵；是对称方阵； kij=kji（反力互等定理），贮存总刚度矩阵时，只反力互等定理），贮存总刚度矩阵时，只需贮存它的一半就行了。需贮存它的一半就行了。（2 2） K K 是稀疏矩阵；是稀疏矩阵；非零元素只分布在
40、主对角线两侧的带状区域内。非零元素只分布在主对角线两侧的带状区域内。 表示结点位移表示结点位移 和结点力和结点力 F F 之间的关系，反映了结构之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载实际荷载，并不是并不是原原结构的位移法基本方程。结构的位移法基本方程。10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 当尚未引进支座条件的情况下，结构刚度方程当尚未引进支座条件的情况下，结构刚度方程是无法求解的（未引进支座条件时，结构存在刚体是无法求解的（未引进支座条件时，结构存在刚体位移）。位移）。 （3）K
41、 是一个奇异矩阵。是一个奇异矩阵。0K 特称没有引进支座条件的总刚度矩阵称为特称没有引进支座条件的总刚度矩阵称为原始原始总刚度矩阵总刚度矩阵。建立总刚度矩阵有两种方法建立总刚度矩阵有两种方法: : 1 1）理论推导）理论推导, , 即刚度法。即刚度法。 2 2）直接由单刚阵按一定的规律集成总刚度矩）直接由单刚阵按一定的规律集成总刚度矩阵，称为阵，称为直接刚度法直接刚度法10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27由总刚中元素的物理意义形成：由总刚中元素的物理意义形成：2(4,5,6)1(1,2,3) 3(7,8,9)129219992912922
42、21191211921.kkkkkkkkkFFF 则有则有: :912111921kkkFFF, 1193 , 20jj 若令若令: :11k21k31k41k51k61k71k81k91kli/651k61k41k2/12 li11211/12liklik/631241/12 liklik/661其他其他K Ki1i1为为0 0，这种方法太麻烦。，这种方法太麻烦。10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27桁架的指示矩阵为：桁架的指示矩阵为： 任何一个杆端都与一个结点对应。图示桁架，其单元任何一个杆端都与一个结点对应。图示桁架，其单元杆端与结点
43、号可用一个矩阵来表示。矩阵的行数为单元数，杆端与结点号可用一个矩阵来表示。矩阵的行数为单元数，列数为列数为2。每一行的两个数分别表示该单元。每一行的两个数分别表示该单元 i、j 端对应的端对应的结点号。这个矩阵称为指示矩阵。结点号。这个矩阵称为指示矩阵。指示矩阵实际指示矩阵实际上也给出了各上也给出了各单元坐标系。单元坐标系。423141433221G Gi j直接刚度法形成总刚度矩阵直接刚度法形成总刚度矩阵 直接刚度法直接刚度法直接由各单元刚度矩阵装配形成总刚直接由各单元刚度矩阵装配形成总刚度矩阵。是目前编制计算机程序最常用的方法。度矩阵。是目前编制计算机程序最常用的方法。 1. 1.首先应将
44、结构的结点和单元编号。编号可以任意编，首先应将结构的结点和单元编号。编号可以任意编，并不影响计算结果。并不影响计算结果。34123612F1F35F4410-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:272. 首先列出整体坐标表示的单元刚度矩阵。首先列出整体坐标表示的单元刚度矩阵。3. 将单元刚度矩阵划分为将单元刚度矩阵划分为4个子块：个子块： ejjejieijeiieK KK KK KK KK K 4. 按按“子块搬家，对号入座子块搬家，对号入座”的原则将单元刚度矩的原则将单元刚度矩阵中的子块，一块块地搬入总刚度矩阵中，而搬入的位置阵中的子块，一块块
45、地搬入总刚度矩阵中，而搬入的位置则根据指示矩阵则根据指示矩阵G 的规定来确定。的规定来确定。 一般的规律是：第一般的规律是：第e单元单元i 端对应结点号为端对应结点号为g, , j 端对应结点号为端对应结点号为h。“搬家搬家”时将该单元单元刚度矩时将该单元单元刚度矩阵中的子块阵中的子块Kij搬到总刚度矩阵中的子块位置搬到总刚度矩阵中的子块位置Kgh，即，即搬到总刚度矩阵中第搬到总刚度矩阵中第g子块行，第子块行，第h子块列中去。子块列中去。10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27yxji531K11 K13K31K33423141433221G
46、)5(iiK K)5(ijK K)5(jiK K)5(jjK K 例如例如, ,图示桁架第图示桁架第号单元的号单元的4个子块，根据指个子块，根据指示矩阵示矩阵G 的指示，分别搬到：的指示，分别搬到：34123612F1F35F4410-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 2）用上述用上述 “子块搬家，对号入座子块搬家，对号入座” 装配总装配总刚度矩阵刚度矩阵的方法的方法也适用于其他任何杆件结构。也适用于其他任何杆件结构。各单元都按此原则各单元都按此原则“搬家搬家”后，桁架的总刚度矩阵为：后，桁架的总刚度矩阵为： 1 2 3 4 4321)6(
47、)4()3()3()6()4()3()5()3()2()2()5()6()2()6()2()1 ()1 ()4()5()1 ()5()4()1 (jjjjjjjijijiijjjiijjjijiijijiiiijjjiijijijiiiiiiK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK KK K注意：注意： 1）总刚的）总刚的一个子块位置中搬入几个子块时，这一个子块位置中搬入几个子块时，这几个子块应叠加。几个子块应叠加。34123612F1F35F4410-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结
48、构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27总刚度矩阵的构造总刚度矩阵的构造 图示桁架有图示桁架有4个结点，有个结点，有8个位移分量。个位移分量。= =u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4T T总刚度矩阵则为总刚度矩阵则为8 阶方阵阶方阵：子块行子块行元素行元素行43218765432135kK32K 子块列子块列 1 2 3 4 元素列元素列 1 2 3 4 5 6 7 8 341234612F15F43F 将其分成将其分成4个子块。平个子块。平面桁架，每一结点具有两个面桁架，每一结点具有两个位移分量，每一子块中就有位移分量，每一子块中就有两行两列共两行两列共4个元素。个元素。 1
49、. K32的物理意义是什么？的物理意义是什么？思考：思考：2. k35的物理意义是什么的物理意义是什么？10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:27 1. 子块子块K32表示结点表示结点2产生单位位移时引起的结产生单位位移时引起的结点点3的结点力。的结点力。 2. k35表示第表示第5号位移（结点号位移（结点3沿沿X方向的位移）方向的位移）为一单位时引起沿第为一单位时引起沿第3号位移（结点号位移（结点2沿沿y方向的位移）方向的位移）方向的力。这个力应该理解为相当于按位移法的基方向的力。这个力应该理解为相当于按位移法的基本结构所规定的结点本结构所规
50、定的结点2的竖向附加约束的约束反力。的竖向附加约束的约束反力。4. 总刚度矩阵中某一元素的物理意义是什么？总刚度矩阵中某一元素的物理意义是什么？ 3. 对于空间桁架和平面刚架，每个子块中含多对于空间桁架和平面刚架，每个子块中含多少个元素？少个元素？思考：思考： 答：答：10-4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵结构力学中南大学中南大学返 回退 出22:271）首先对其结点和单元进行编号如图示。）首先对其结点和单元进行编号如图示。 )()()()()(ejjejieijeiieK KK KK KK KK每个子块都是由每个子块都是由33阶的阶的9个元素构成的。个元素构成的。 3）列出刚架的指示
