1、),(),(21BLFyBLFx4.8 地图数学投影变换的基本概念地图数学投影变换的基本概念 1、地图数学投影变换的意义和投影方程、地图数学投影变换的意义和投影方程n 所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素(包括坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影到平面上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学。投影变换的基本概念投影变换的基本概念2 、地图投影的变形地图投影的变形n长度比长度比 : 长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段ds，与椭球面上相应的微分线段dS二者之比。 不同点上的长度比不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同 1212012p pPPmP Plim d smd S 投
2、影变换的基本概念投影变换的基本概念n 主方向和变形椭圆主方向和变形椭圆 投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最大及最小长度比的方向，称为主方向。 在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。 投影变换的基本概念投影变换的基本概念 ,a bxy122byax,12222byaxrrm1投影变换的基本概念投影变换的基本概念 以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆。2）方向变形方向变形 byax,tantanababxy) sin() sin(babababa)s
3、in(sin00abba00tan,tan投影变换的基本概念投影变换的基本概念方向变形的最大值为：n投影变形投影变形1）长度变形长度变形 2222sincosbarm1mv 3）角度变形：角度变形： 角度变形就是投影前的角度角度变形就是投影前的角度u 与投影后对应角度与投影后对应角度u之差之差 。 211111801802u 211111801802u 112uuuaa() 2uababsin 22abuabarcsin 投影变换的基本概念投影变换的基本概念4）面积变形：面积变形：P-1P-13 3 地图投影的分类地图投影的分类1.1.按变形性质分类按变形性质分类1）等角投影：投影前后的角度不
4、变形，投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数，又把等角投影称为正形投影。 2）等积投影：投影前后的面积不变形. 3）任意投影：既不等角，又不等积. ababP投影变换的基本概念投影变换的基本概念2.按经纬网投影形状分类按经纬网投影形状分类 1）方位投影方位投影 取一平面与椭球极点相切，将极取一平面与椭球极点相切，将极点附近区域投影在该平面上。纬点附近区域投影在该平面上。纬线投影后为以极点为圆心的同心线投影后为以极点为圆心的同心圆，而经线则为它的向径，且经圆，而经线则为它的向径，且经线交角不变。线交角不变。Light SourcelBf),(投影变换的基本概念投影变换的基本概念 2）圆
5、锥投影圆锥投影: 取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。 Standard LineTrue Length ExaggeratedlBf),(投影变换的基本概念投影变换的基本概念3）圆柱圆柱(或椭圆柱或椭圆柱)投影投影 取圆柱取圆柱(或椭圆柱或椭圆柱)与椭球赤道相切，将赤道附近区域投与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到圆柱面影到圆柱面(或椭圆柱面或椭圆柱面)上，然后将圆柱或椭圆柱展开成上，然后将圆柱或椭圆柱展开成平面。平面。 Standard LineTrue Length Exaggerated投影变换的基本概念投影变换的基本概念3.3
6、.按投影面和原面的相对位置关系分类按投影面和原面的相对位置关系分类投影变换的基本概念投影变换的基本概念1)正轴投影：正轴投影：圆锥轴(圆柱轴)与地球自转轴相重合的投影，称正轴圆锥投影或正轴圆柱投影。2)斜轴投影：斜轴投影：投影面与原面相切于除极点和赤道以外的某一位置所得的投影。3)横轴投影：横轴投影：投影面的轴线与地球自转轴相垂直，且与某一条经线相切所得的投影。比如横轴椭圆柱投影等。除此之外，投影面还可以与地球椭球相割于两条标准线，这就是所谓割圆锥割圆锥，割圆割圆柱投影柱投影等。1、 高斯投影概述高斯投影概述 控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标
7、系4.9 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系高斯投影描述高斯投影描述 1）采用等角投影(又称为正形投影) ；2）长度和面积变形不大 ；3）能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区域联成整体。 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系n 想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面 。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系（有余数时）的整数商16LN6带带: 自0子午线起每隔经差6自西向东分带，依次编号1，2，3，6
8、0。我国6带中央子午线的经度，由73起每隔6而至135，共计11带，带号用n表示，中央子午线的经度用表示。 带号及中央子午线经度的关系：带号及中央子午线经度的关系： l 我国规定按经差我国规定按经差6和和3进行投影分带进行投影分带。投影带：投影带：以中央子午线为轴，两边对称划出一定区域作为投影范围； 1）分带原则）分带原则 （1）限制长度变形使其不大于测图误差； （2）带数不应过多以减少换带计算工作。2）分带方法）分带方法.5带或任意带带或任意带: 工程测量控制网也可采用.5带或任意带，但为了测量成果的通用，需同国家6或3带相联系。3 n=L/3(四舍五入)高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系
9、3带带: 自东经1.5子午线起，每隔3设立一个投影带， 依次编号为1，2，3， ， 120带；中央子午线经度依次为3, 6, 9, , 360。带号及中央子午线经度的关系： 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系范例：范例：某控制点某控制点 P 点的大地坐标：点的大地坐标：3带：带：6带：带：84 .255130 ,21 .5023122 BL123413418 .4035 .12233中带LLn123321636214.2065.1226NLN中带高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系我国范围：西我国范围：西73度至东度至东135度，共计度，共计11个带。个带。 在投影面上，中央子午线和赤道的投
10、影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴。 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系n 6带与带与3带的区别与联系区别带的区别与联系区别l 6带：从 0子午线起划分，带宽6 ，用于中小比例尺（1：25000以下）测图；l 3带：从 1.5子午线起划分，带宽3，用于大比例尺（如1：10000）测图。l 3带是在6带的基础上划分的，6带的中央子午线及分带子午线均作为3带的中央子午线，其奇数带奇数带的中央子午线与6带中央子午线重合，偶数带偶数带与分带子午线重合。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系l国
11、家统一坐标国家统一坐标在我国x坐标都是正的，y坐标的最大值(在赤道上)约为330km。为了避免出现负的横坐标，规定在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家国家统一坐标统一坐标。例如： Y=19 123 456.789m该点位在19带内，横坐标的真值：首先去掉带号，再减去 500 000m，最后得 y = -376 543.211(m)。 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系l分带存在的问题？分带存在的问题？边界子午线两侧的控制点与地形图位于不同的投影带内，使得地形图不能正确拼接，采用带重叠的方法解决此问题。 高斯投影的优点高斯投影的优点: : 1、投影带每
12、一带坐标系统具有一致性,对称性; 2、计算公式可适用于任一带的计算。 高斯投影的缺点高斯投影的缺点: : 1.出现带与带之间的不连续,会带来地形图拼接的问题,所 以应计算两个带的坐标; 2.靠近赤道变形越大,两极变形越小。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系2、椭球面元素化算到高斯投影面、椭球面元素化算到高斯投影面 3) 将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算方向的曲率改化方向的曲率改化即方向改化来实现的。n椭球面三角系归算到高斯投影面的计算椭球面三角系归算到高斯投影面的计算 1）将起始点P的大地坐标(L，B)归算为高斯平面直角坐标 x, y；为了检核
13、还应进行反算，亦即根据 x, y反算B，L，这项工作统称为高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算。 2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边PK的坐标方位角，这是通过计算该点的子午线收敛角子午线收敛角及方向改化方向改化 实现的。 因此将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。 5）当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统一的整体，还需要进行平面坐标的邻带换算邻带换算。 4) 将椭球面上起算边PK的长度长度S归算归算到高斯平面上的直线长度s。这是通过计算距离改化实现的。222)cos()(BdlNMdBdS正形投影的一般条件正形投影的一般
14、条件4.9.2 正形投影的一般条件正形投影的一般条件1、长度比的通用公式、长度比的通用公式222)()(dydxds22222222222dsdxdymdSMdBNBdldxdy MdBNBdlNB()(cos)(cos)cos M d Bd qNBco s 0BM d BqNBc o s 2222224334dxdym rdqdl()()() 正形投影的一般条件正形投影的一般条件等量纬度等量纬度qxx l qyy l q( ,),( ,) xxdxdLdqLq yyd yd ld qlq 2222xyEqqxxyyFqlqlxyGll 正形投影的一般条件正形投影的一般条件将上述两式代入（4-
15、334）式，整理，令22222224339E dqFdqdlG dlm rdqdl()()()()()()() 建立投影函数关系式：231 390PPMdBdqAPPrdldltan() dlAdqtan 222222222222222222E dqFA dqGA dqm rdqA dqEFAGA =rAEAFAAGA =r()tan()tan()()tan()tantanseccossincossin 正形投影的一般条件正形投影的一般条件2、柯西、柯西.黎曼条件黎曼条件0 xxyyqlql 0F EG 2222xyxyqqll yyxqlxlq 正形投影的一般条件正形投影的一般条件正形条件正
16、形条件 m与与 A 无关无关，即满足：，即满足：222222yxyxylqqqqxq 22xyql xyqlxylq yyxqlxlq qlxylqxy 正形投影的一般条件正形投影的一般条件则有：n柯西柯西-黎曼条件黎曼条件22222xyqqEm= rr 222224347xyGllm= rr() 正形投影的一般条件正形投影的一般条件考虑到F=0，E=G，长度比公式简化为xMyBNBlyMxBNBlcoscos 222211xyxym MBBMll M d Bd qNBc o s xyqlxylq 正形投影的一般条件正形投影的一般条件22222xyqqEm= rr 柯西-黎曼条件的另一种解释方
17、法xx l B yy l B( ,)( ,) xxdxdldBlB yydydLdBLB 正形投影的一般条件正形投影的一般条件BBxABdxdBByBBdydBB CCxCCdxdllyACdydll 正形投影的一般条件正形投影的一般条件n如果点在子午线上：L=常数，dl=0n如果点在平行圈上：B=常数 dB=0ABACrABACBBCCrABACsincos ABACrBBCCtan ABmMdB ACmNBdlcos xMyBNBlyMxBNBlc o sc o s yxBlrxyBlta n 正形投影的一般条件正形投影的一般条件n 三角形ABB与ACC相似高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算
18、4.9.3 高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式 高斯投影必须满足以下三个条件：高斯投影必须满足以下三个条件： (1)中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。高斯投影坐标正算公式推导如下：高斯投影坐标正算公式推导如下：1、高斯投影坐标正算公式、高斯投影坐标正算公式yxxy lqlq 和2402435135xmm lm lym lm lm l 高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算1) 由由第一个条件第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即中
19、央可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。x 为为 l 的偶函数，的偶函数，而而 y 则为则为 l 的奇函数。的奇函数。2) 由由第三个条件第三个条件正形投影条件正形投影条件由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数的递推公式dmdmdmmm lm llldqdqdqdmdmdmm lm lllldqdqdq2424024135335351243524 dmdmdmm m m = dqdqdq0121231123 高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算mX0 高
20、斯投影坐标正算高斯投影坐标正算) 由第二条件由第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标标 x 应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长。即当即当 l=0 时时,m0=? dmdX dBNcosBc= M=NcosB m = NcosB =cosB dqdB dqMV01NmsinBcosB 22 NmBtbNmBBt NmBtt322332245245cos(1)sincos(59)24cos(518)120 高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算5NNxXsinBcosBl +sinBcos Btl +N si
21、nBcos Bttl 23244246(5 -94)224(61 - 58)720 NyNB lcos Btl +N cos Btttl 32235242225cos(1)6(5181458)120 高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算将各系数代入，略去高次项，精度为将各系数代入，略去高次项，精度为0.001m),(),(21yxlyxB高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算2、高斯投影坐标反算公式、高斯投影坐标反算公式 在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，已知的是平面坐标已知的是平面坐标 (x, y)，要求的是大地坐标要求的是大地
22、坐标 (B，L)，相应地有如相应地有如下投影方程：下投影方程：同正算一样，对投影函数提出三个条件。同正算一样，对投影函数提出三个条件。24024351354369Bnn yn yln yn yn y () BNBlxMyBNBlyMxc o sc o s 高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算1) 由由第一个条件第一个条件可知可知2) 由由第三个条件，正形条件第三个条件，正形条件2424024133335351243524dndndnNByynn yn ydxdxdxMdndndnNBn yn yyyyMdxdxdxcos()cos() 011223123dnMnNBdxdnNBnMdxdnMnNB
23、dxcoscoscos 11111kkkkdnMnrdx()()() 高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算xX fBn 0fd Bd nd xd X0 ffdXMdB ffd Bd XM1 11ffffMnNBMcos 234nnn, 高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算3) 由第二条件由第二条件依次求各系数依次求各系数因为因为所以所以222224324652233224225525392461904572011265286248120ffffffffffffffffffffffffffftnMNtnttMNtntt MNntNBtntttNB()*()()cos()cos 高斯投影坐标反算高斯投影坐
24、标反算2222232465539224619045720ffffffffffffffffttBByttMNMNt ttyMN()() 223322422551112615286248120ffffffffffffflytyNBNB tttyNB()coscos()cos 高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算2424xXm lm l = X+X() 高斯投影几何解释高斯投影几何解释3、高斯投影正反算公式的几何解释、高斯投影正反算公式的几何解释2424ffBBn yn y = BB() 高斯投影几何解释高斯投影几何解释高斯投影的特点高斯投影的特点 (2) 当当 B 等于常数时，随着等于常数时，随着 l
25、 的增加，的增加，x 值和值和 y 值都增大。所以值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。午线的投影曲线互相垂直凹向两极。(3) 距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。也愈大。 (1) 当当 l 等于常数时，随着等于常数时，随着B的增加的增加 x 值增大，值增大，y 值减小；无论值减小；无论 B 值为正或负，值为正或负，y 值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他值不变。这就是说，椭球面上除
26、中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤道。于中央子午线和赤道。 高斯投影的特点：高斯投影的特点：4.9.4 高斯投影坐标计算算例高斯投影坐标计算算例1) WGS84 (6378137 , 298.257223563) 答案答案 A001: 2463376.6502 49592.07212) GDZ80 (6378140,298.257) 答案答案 A001: 2463377.7973 49592.09553) BJ54 (6378245,298.3) 答案答案 A001: 24634
27、20.5657 49592.9084A001：0015387.5228111 ,98294.581522LB平面子午线收敛角平面子午线收敛角4.9.5 平面子午线收敛角公式平面子午线收敛角公式 1、平面子午线收敛角的定义、平面子午线收敛角的定义2、公式推导公式推导 1）由大地坐标由大地坐标L、B计算平面子午线收敛角计算平面子午线收敛角的公式的公式 lylxBxBytan平面子午线收敛角平面子午线收敛角542534223)5861(120cossin )495(6cossincossinlttBBNltBBNBlBNlx44242222)185(24cos)1 (2cos1coslttBltBB
28、Nly(1)(1)为为l l的奇函数，而且的奇函数，而且l l愈大，愈大，也愈大；也愈大；(2)(2)有正负，当描写点在中央子午线以东时，有正负，当描写点在中央子午线以东时，为正；在西时为正；在西时，为负；为负；(3)(3)当当l l不变时，则不变时，则随纬度增加而增大随纬度增加而增大)2(cossin151 )231(cossin31sin25542tBlBBlBlB平面子午线收敛角平面子午线收敛角32111xxxx例用级数展开式：例用级数展开式：平面子午线收敛角平面子午线收敛角2.平面坐标平面坐标 x, y 计算平面子午线收敛角计算平面子午线收敛角的公式的公式)352(15)21(3425
29、542233fffffffffffttNyttNytNytBdlNMdBtgcosdyyldyyldxxldldyyBdyyBdxxBdB ylBNyBMtgcos535131tgtgtg方向改化公式方向改化公式4.9.6 方向改化公式方向改化公式0360360abba 22abba 12abba 2pR 方向改化公式方向改化公式 在球面上四边形在球面上四边形ABED的内角之和等于的内角之和等于 360+，由于，由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该相等，即是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该相等，即1、方向改化近似公式的推导、方向改化近似公式的推导方向改化公式方向改化公式2)()(
30、2babayyxxRDEBEADP2mbabaabyxxR)(222bamyyy方向改化较精密公式方向改化较精密公式 2121212222212326mmmmmyxxyyRRt yyyR()()() 22 12121222221326mmmmmyxxyyRRt yyyR()()() 方向改化公式方向改化公式方向改化公式方向改化公式cCcbBbaAa180cba180CBA)(cbaCBAcbacba180cbaDsS4.9.7 距离改化公式距离改化公式vdsdDcossvdsD0cos221cosvvssdsvDs2)21 (2021) s与与D的关系的关系距离改化公式距离改化公式当当取最大取
31、最大40，s=50km时，代入上式得。因此，用时，代入上式得。因此，用D代替代替s在最在最不利情况下，误差也不会超过不利情况下，误差也不会超过1mm。而实际上，边长要比而实际上，边长要比50km短得多，此时误差将会更小。所以在应用上，完全可以认为大地短得多，此时误差将会更小。所以在应用上，完全可以认为大地线的平面投影曲线的长度线的平面投影曲线的长度s等于其弦线长度等于其弦线长度D 2）用平面坐标）用平面坐标 (x , y)表示的长度比表示的长度比m的公式的公式 cosBNyl)1 (211222NymMNRMN ,1222211Rym44222421RyRym距离改化公式距离改化公式近似公式：
32、近似公式：精确公式：精确公式：1) 长度比 m 只与点的位置 (B，l)或 (x , y) 有关。2) 中央子午线投影后长度不变。 3) 当 y0 (或 l)时， m 恒大于1。 4) 长度变形 (m-1) 与y（或 l）成比例地增大 ,而对某一条子午线来说，在赤道处有最大的变形 。3、距离改化公式、距离改化公式将椭球面上大地线长度S描写在高斯投影面上，变为平面长度D。SRyRyDmmm)2421 (2222SRydSRyDmmS)211 ()211 (22022距离改化公式距离改化公式SRyRyRyDmmmmm)242421 (442222适合三、四等网适合三、四等网二等网二等网一等网一等网
33、1) 位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带(东、西带)的控制网。 4.9.8 高斯投影的邻带坐标换算高斯投影的邻带坐标换算邻带坐标换算邻带坐标换算l邻带换算方法：邻带换算方法：采用高斯投影正反算公式。采用高斯投影正反算公式。 2)在分界子午线附近地区测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中 。 3)当大比例尺(1 10 000或更大)测图时，特别是在工程测量中，要求采用3带、1.5带或任意带，而国家控制点通常只有6带坐标，这时就产生了6带同3带(或1.5带、任意带)之间的相互坐标换算问题。l算例：算例：已知 x=2789505.2662， y=6780
34、3.3799 ， L0=114o30 a=6378245， f =298.3，求点在中央子午线 L0=115o30 的坐标？参考答案：B=25o 12 3500 ， L=115o 10 2200 x=2789375.815， y=32977.491邻带坐标换算邻带坐标换算4.10 横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念4.10.1通用横轴墨卡托投影概念通用横轴墨卡托投影概念 UTM (Universal Transverse Mercator Projection)投影属于横轴等角割椭圆柱投影横轴等角割椭圆柱投影 ,它的投影条件是取第3个条件“中央经线投影长度比不等于
35、1而是等于0.9996”，投影后两条割线上没有变形，它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献上也称它为m00.9996的高斯投影。 UTM 投影投影UTM UTM 投影投影n基本公式如下:)495(cossin24cossin29996.042342tBBNlBBNlXx)5414185(cos120 )1(cos6cos9996.022242552233tttBNltBNlBNlycos81)2(cos61)1 (cos211 9996.04424222lBtBlBm不同纬度和经度处的长度变形UTM UTM 投影投影nUTMUTM投影变形的特点：投影变
36、形的特点： UTM投影的中央经线长度比为0.9996，这是为了使得=,=处的最大变形值小于0.001而选择的数值。两条割线(在赤道上，它们位于离中央子午线大约180(约 )处上没有长度变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两条割线以内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正值。nTM投影带的划分：投影带的划分： UTM投影的分带是将全球划分为60个投影带，带号1，2，3，60连续编号，每带经差为0，从经度 180和17之间为起始带(1号带)，连续向东编号。UTM投影第1带为高斯投影第31带，高斯投影第1带（060 E)为UTM投影31带(18001740W) 。401UTM 投影投影4.10.
37、2高斯投影簇的概念高斯投影簇的概念 高斯投影簇是概括依经线分带的一簇横轴等角投影。它应满足的投影条件是：1）中央经线和赤道投影后为相互垂直的直线，即投影的对称轴；2）投影具有等角性质；3）中央经线上的长度比 。0( )mf B55331144220lalalaylalaax高斯投影簇的概念北半球）轴之西），南半球）轴之东），实实实实( (000 500(000 000 10 000( 500 xxyyxxyyn 直角坐标系的实用公式：直角坐标系的实用公式：高斯投影簇的概念)()(2)(24141)(6131)(21 0 00 234 02230201000rmFrmFrmFFaFarmFaFa
38、rmFarmaMdBmaB)cos1 (coscos22 BeBMrMBNF假设令根据第三个条件：根据第三个条件： 可以求出系数可以求出系数 a0等系数。等系数。0( )mf B由柯西黎曼条件建立恒等式求得个系数高斯投影簇变形的特点：高斯投影簇变形的特点： 1)设q=0，则 m，该投影即为高斯克吕格投影。长度变形在边界子午线与赤道处达到0.00138，变形随纬度的增大而减小。 2)设q=0.0004，K=0，则 m0.9996，该投影即为通用横轴墨卡托投影。长度变形在边界子午线与赤道处达到0.00098，中央子午线变形-0.0004。 3)设q=0.000609，K=1，则，该投影即为双标准经
39、线等角横椭圆柱投影。双标准经线距中央子午线2度处没有变形。长度变形在边界子午线与赤道处达到0.077%，中央子午线变形-0.016%。 4)设q=0.000609，K=1.5，则，该投影在分界子午线与赤道交点处变形最大，达0.077% ，中央子午线变形-0.016%，纬度60度处长度变形为0。 KBqm20cos1 高斯投影簇的概念高斯投影簇的概念 4.11 兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述 4.11.1兰勃脱投影基本概念兰勃脱投影基本概念 兰勃脱(Lambert)投影是正形正轴圆锥投影正形正轴圆锥投影。设想用一个圆锥套在地球椭球面上，使圆锥轴与椭球自转轴相一致，使圆锥面与椭球面一条纬线相切，将椭
40、球面上的纬线投影到圆锥面上成为同心圆，经线投影圆锥面上成为从圆心出发的辐射直线，然后沿圆锥面某条母线母线(一般为中央经线一般为中央经线L)，将圆锥面切开而展成平面，即为兰勃脱切圆锥投影兰勃脱切圆锥投影。 兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述如果圆锥面与椭球面的两条纬线相割，则投影为兰勃脱割圆锥投影。4.11.2兰勃脱投影坐标正反算公式兰勃脱投影坐标正反算公式n兰勃脱切圆锥投影直角坐标系的建立兰勃脱切圆锥投影直角坐标系的建立 sincos0yx000ctgBNlBf)(兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述n子午线方向长度比:n纬线向长度比:n正形投影条件:MdBdmBBNMdBdco
41、sBNMdBdqcosdqdKq lnlnqKeBNBdlNdlBdlNdmLcoscoscosBNMdBdmcos兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述2、大地纬度差同等量纬度差的关系式大地纬度差同等量纬度差的关系式 已知 即可求 。 12BB、BNMdBdqcosBBNMdBq0cosBeBeeBBqsin1sin1ln2sin1sin1ln21)(00BBfqqq3033202206121BdBqdBdBqdBdBdqq554433221BtBtBtBtBtq12qq、)tan24tan285(cos1201)tan65(tancos241)tan63tan21 (cos61)31 (tancos
42、21)1 (cos10402052002004024040202003402000260402001BBBtBBBtBBBtBBtBt兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述 ) 0( 11kkkaxay1kkkybx111ab3122aab)2(13122513aaaab)55(132421321714aaaaaaab)211436(132215314223215221915aaaaaaaaaaaab)4228287784(15223221422216414331523133211116aaaaaaaaaaaaaaaaaaab兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述幂级数回代公式：n采用级数的回代公式可得:5544
43、332210qtqtqtqtqtBBB)tantan185(cos1201)tan4056tan5(tancos241)tan277tan135tan1(cos61)341(tancos21)1 (cos040205502202002004402404002202002033402000222001BBBtBBBBtBBBBtBBtBt兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述3 、常数常数及及K的确定的确定 0010dmdmm ddq, BNMdBdmcoslnln)cosln(lnBNmdqddqBdNBNdqdmm1coscos11由长度比条件:对上式两边求导：兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述K、 。MB
44、NBMdqdBdBdrdqBNdcossin)cos(dqd0sin B00sin000qBKectgBN00sin00qBectgBNK00qqe（） qKe将上述两式代入微分方程得:则有:即可求得：兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述因为：n根据兰勃脱割圆锥投影条件：两条标准纬线(B，)的投影不变形，也就是说，这两条标准纬线投影前后的长度相等，即长度比。212211coscosqqKeBNKeBN221112coscosln1BNBNqq212211coscosqqeBNeBNK兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述解方程得：BNMdBdmcos 4 兰勃脱投影坐标的正反算公式兰勃脱投影坐标的正反算公式1）
45、兰勃脱投影坐标的正算）兰勃脱投影坐标的正算(B, l) l=L-L0,求求x, y 兰勃脱切圆锥投影兰勃脱切圆锥投影：(已知已知B0,L0）sincos0)(00yxelqq0sin B00sin000qBKectgBN00sin00qBectgBNK兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述BeBeeBBqsin1sin1ln2sin1sin1ln21 兰勃脱割圆锥投影：兰勃脱割圆锥投影：（已知（已知B1,B2,L0)221112coscosln1BNBNqq212211coscosqqeBNeBNKBeBeeBBqsin1sin1ln2sin1sin1ln21sincos0)(00yxelqq11qKe
46、22qKe取10兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述20或 兰勃脱投影坐标的反算公式兰勃脱投影坐标的反算公式22000)( , ,arctanyxlLLlxy00ln1qqq5544332210qtqtqtqtqtBBB兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述 方向改化及距离改化的简化公式： )2)(62112202 .1xxyyR)(622212120 xxxxRSSSdBNmcos23002032030020220202tan)41 (6tan21xyNBVxNBVxNVm4.11.3兰勃脱投影长度比、投影带划分及应用兰勃脱投影长度比、投影带划分及应用兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述n兰勃脱投影变形的特点兰勃脱投
47、影变形的特点: : 在标准纬线处，长度比为1，没有变形。当离开标准纬线（）无论是向南还是向北，增加，数值增大，因而长度比迅速增大，长度变形(m-1)也迅速增大。因此，为限制长度变形，必须限制南北域的投影宽度，为此必须按纬度分带投影。兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述 兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影，它的长度变形(m-1)与经度无关，但随纬差，即纵坐标x的增大而迅速增大，为限制长度变形，采用按纬度的分带投影，因此，这种投影适宜南北狭窄，东西延伸的国家和地区。这些国家根据本国实际情况，采用相应的分带方法和统一的坐标系统。但与高斯投影相比较，这种投影子午线收敛角有时过大，精密的方向改化和距离改化公式也较高斯投影要复杂，故目前国际上还是建议采用高斯投影。 兰勃脱投影概述兰勃脱投影概述n本章内容总结本章内容总结 1、椭球面上的基本计算问题 2、大地线的概念与性质 3、大地测量主题结算 4、天文大地网元素归算方法 5、高斯平面直角坐标的建立与计算问题 6、UTM投影与高斯投影簇的概念 7、兰勃特投影方法介绍
