1、Digital Topography数数字地形测量学字地形测量学7.1 误差理论误差理论7.2 误差传播定律及应用误差传播定律及应用7.3 权及权倒数传播定律权及权倒数传播定律7.4 数据处理理论基础数据处理理论基础数数字地形测量学字地形测量学数数字地形测量学字地形测量学*问题的提出：问题的提出：* 在上节讨论了如何根据同精度的观测值的真误差来评定在上节讨论了如何根据同精度的观测值的真误差来评定观测值精度的问题。许多未知量是不能直接观测得到的。观测值精度的问题。许多未知量是不能直接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误差
2、而去求观测值函数的中误差呢？差而去求观测值函数的中误差呢？ 阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间的关系的定律称为误差传播定律的关系的定律称为误差传播定律。 数数字地形测量学字地形测量学1、倍数的函数、倍数的函数 设有函数z=kx z:观测值的函数，x为观测值，k为常数? zxmm已知xzk )2, 1(nikiixz (1)真误差的关系式为：若对x观测了n次则：(2)将上式平方得：)2, 1(222nikiixz (3)求和，并除以n )2,1(222ninknxz 222,zxzxmk mmkm即(4)转换为中误差关系式观测值与常数乘积的中误差，等
3、 于观测值中误差乘以常数数数字地形测量学字地形测量学2、和或差的函数、和或差的函数 设有函数z=xy z:观测值的函数，x、y为独立观测值独立观测值? zyxmmm、已知yxz )2, 1(niiiiyxz (1)真误差的关系式为：若对x、y观测了n次则：(2)将上式平方得：)2 , 1(2222niiiiiiyxyxz (3)求和，并除以n )2 , 1(2222ninnnnyxyxz 222yxzmmm (4 )转换为中误差关系式两观测值代数和的中误差，等于两观测值中误差的平方和。由于x , y为独立观测值，因此n趋近无穷时，xy / n = 0数数字地形测量学字地形测量学2、和或差的函数
4、、和或差的函数 n个观测值代数和的中误差，等于n个观测值中误差的平方和。2222212121nxxxznnmmmmxxxzxxxz 的代数和时、是一组观测值当nmmmxxxzn 设其中误差为为同精度观测值时、当21n个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。数数字地形测量学字地形测量学2、和或差的函数、和或差的函数 的中误差？站。求观测高差两点观测了、，的中误差相等为测站的观测高差例：在水准测量中设每站ABhnBAm水准测量中观测高差的中误差，与距离S的平方根成正比。的中误差？公里。求观测高差两点观测了、，的中误差相等为公里的观测高差例：在水准测量中设每ABkmhSBAm水准
5、测量中观测高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。站mnmABh kmhmSmAB 数数字地形测量学字地形测量学3、线性函数、线性函数 为常数、为独立观测值、式中设有线性函数：nnnnkkkxxxxkxkxkz21212211 22222221212nnzmkmkmkm 应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得数数字地形测量学字地形测量学4、一般函数（非线性函数）、一般函数（非线性函数） 设有函数z=f( ) 为独立观测值? zxmmi已知nxnxxzxfxfxf 2121(1)求偏导真误差的关系式为：(2 )转换为中误差关系式：nxxx, 21,ix222222212)()()(21nxnx
6、xzmxfmxfmxfm 数数字地形测量学字地形测量学4、一般函数（非线性函数）、一般函数（非线性函数） 例一：设有函数例一：设有函数z=Ssin?6 .20004511905. 011.150: zSmmmmmS求已知 cossinSzszsszcmmSmmsz4 . 4)()cos()(sin2 2222 解：注意单位的统一数数字地形测量学字地形测量学4、一般函数（非线性函数）、一般函数（非线性函数） 例二：设有函数：Z=X+Y ， Y=3X解：? zxmm已知XZXYXZXYmmmmmmmm101032222 XZYXZXYmmXYXZmmmmm443222 注：由于X和Y不是独立观测值
7、数数字地形测量学字地形测量学总结总结 应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳以下几步：可归纳以下几步：1、列出函数式2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真误差的关系式4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式3、独立性的判断注意单位的统一数数字地形测量学字地形测量学函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm2222222
8、121)()()(nnZmxfmxfmxfm 返回数数字地形测量学字地形测量学), 2 , 1(niXLii nXLnXLLLnn )(2121 nnLX 0lim nnnLx时，令xX 设未知量的真值为X，观测值的真误差为将上式相加称为算术平均值，是未知量的最或然值算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍n1二、误差传播定律及应用误差传播定律及应用nmmx n L1 x因为n L2 n Ln 1、算术平均值及其中误差、算术平均值及其中误差 数数字地形测量学字地形测量学,iimLXn 同 精 度 观 测 值 中 误 差 公 式 ：iiLxv观测值改正数为： XxxXxnXxvvvXxvii 令
9、2)()(2)( 0 LnLnLnxv 2xnvvn nnxxXxx )( 2221312122222xnmnmnnnx nmnvvm22 1 nvvm ) 1( nnvvmx nxnnLX二、误差传播定律及应用误差传播定律及应用1、算术平均值及其中误差、算术平均值及其中误差 数数字地形测量学字地形测量学 1 nvvm )1( nnvvmx例：对某段距离同精度测量了4次mLmLmLmL062.25056.25068.25066.254321 试求该段距离的最或然值及其中误差解： mnLx063.25 mmvmmvmmvmmv17534321 mmnnvvmx7) 1( Lxv 二、误差传播定律
10、及应用误差传播定律及应用1、算术平均值及其中误差、算术平均值及其中误差 数数字地形测量学字地形测量学二、误差传播定律及应用误差传播定律及应用 iiidLLdnddm2、双观测值及其中误差、双观测值及其中误差 对同一个量所进行的两次观测称为双观测对。对同一个量所进行的两次观测称为双观测对。 有一组量有一组量x1，x2，。，。Xn，对该量各观测两次，对该量各观测两次， L1，L2，。，。Ln L1，L2，。，。Ln di= 0-（Li-Li”）数数字地形测量学字地形测量学二、误差传播定律及应用误差传播定律及应用nddmLLdiii2 nddMLLxiii42/ ) (2、双观测值及其中误差、双观测值及其中误差 数数字地形测量学字地形测量学
