1、转化 2.1 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 一阶微分方程 解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 )(yG)(xF当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解
2、, 或通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11l
3、nln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0,21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得
4、故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy221)(vvCyCyvv21于是方程化为(齐次方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( h, k 为待 可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 111时当bbaa作变换kYyhXx,dd,ddYyXx则原方程化为 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha, 解出 h , k YbXaYbXaXY11dd(齐次方程)定常数), 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,代入将kyYhxX求出其解后, 即得原方 程的解.,. 211时当
5、bbaa原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy令, ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc)0( b机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令,5, 1YyXxYXYXXYdd得再令 YX u , 得令06 kh5, 1kh得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量, 得原方程的通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 15arctanxy2151ln21xy) 1(l
6、nxC52xy利用得 C = 1 , 故所求特解为15arctanxy22)5() 1(ln21yx思考思考: 若方程改为 ,64ddyxyxxy如何求解? 提示提示:. yxv令第四节 目录 上页 下页 返回 结束 2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方
7、程通解非齐次方程特解xxPCed)(2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求
8、特解. 令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同号,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可变形为0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy 所求通解为 )0(CCeyyxyCyln这是以x为因变量, y为 自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.
9、4 伯努利伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez 将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原
10、方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化为线性方程求解.2. 伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如, 解方程yxxy1ddyxyxdd, yxu, xuy1ddddxuxy法法1. 取 y 作自变量: 线性方程 法法2. 作变换 则 代入原方程得 ,11dduxuuuxu1dd可分离变量方程思考与练习思考与练习
11、判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离 变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)
12、(xexxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件00 xy的连续解.解解: 1) 先解定解问题10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00 xy得21C故有) 10(22xeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 再解定解问题1,0 xyy11e22) 1 ( yyx此齐次线性方程的通解为) 1(e2xCyx利用衔接条件得) 1(e22C因此有) 1(e) 1(e2xyx3) 原问题的解为y10),e1 (2xx1,e) 1(e2xx) 10(e22xyx
