1、 第八八章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第七节机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C. 022222xayxyxazyxzao机动 目录 上页
2、 下页 返回 结束 zyxo二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度, 称为螺距螺距 .)(tyy )(tzz M机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 将下列曲线化为参数方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为,)(42222a
3、ayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求空间曲线 :)(tx)(ty)(tz)( t绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1tttM任取点点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 , ),(zyxM则cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例如例如, 直线1xty tz2绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋转曲面方
4、程为4)(4222zyxxzoy机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如又如, xoz 面上的半圆周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz )0(200说明说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲
5、线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxC1o例如例如, ,在xoy 面上的投影曲线方程为002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxyo1C又如又如, ,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0, 122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域 .机动 目录 上页 下页
6、返回 结束 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2机动 目录 上页 下页 返回 结束 举例(3)zxyo oaoa222azx222ayx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ozy15 xy3 xy15 xy3 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 yz2x3思考思考: :by 对平面交线情况如何?,3时当b交线情况如何?,3时当b19422yx3y机动 目录 上页 下页 返回 结束 22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx备用题备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面 的交线在 xOy 平面的投影曲线方程. 1zyx解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为 2yz 0 x,它与所给平面的与平面
