1、第四章第四章 窄带随机过程窄带随机过程4.1 希尔伯特变换和解析过程希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换希尔伯特变换一一 希尔伯特变换的定义希尔伯特变换的定义设有实信号设有实信号)(tx，它的希尔伯特变换记作，它的希尔伯特变换记作)( tx或或)( txH，并定义为并定义为dtxtxHtx)(1)()( 用用t代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：) (1)( dtxtx也可得也可得) (1)( dtxtx希尔伯特反变换为希尔伯特反变换为dtxtxHtx)( 1)( )(1经变量替换后得经变量替换后得dtxdtxtx)( 1)(
2、 1)(二二 希尔伯特变换的性质希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。的理想移相器。从定义可以看出，希尔伯特变换是从定义可以看出，希尔伯特变换是)(tx和和t1的卷积，即的卷积，即ttxtx1*)()( 于是，可以将于是，可以将)( tx看成是将看成是将)(tx通过一个具有冲激响应为通过一个具有冲激响应为tth1)(的线性滤波器的输出。由冲激响应可得系统的传输函的线性滤波器的输出。由冲激响应可得系统的传输函数为数为)sgn()(jH式中，式中，)sgn(为符号函数，其表达式为为符号函数，其表达式为0101)sgn(可得滤波器的传输函数为可得滤波
3、器的传输函数为00)(jjH即即1)(H0202)(上式表明，希尔伯特变换相当于一个上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。的理想移相器。由上述分析可得，由上述分析可得，)( tx的傅立叶变换的傅立叶变换)(X为为)()sgn()sgn()()(XjjXX2.)( tx的希尔伯特变换为的希尔伯特变换为)(tx，即，即)()( txtxH。3. 若若)(*)()(txtvty，则，则)(ty的希尔伯特变换为的希尔伯特变换为)(*)( )( *)()( txtvtxtvty4.)(tx与与)( tx的能量及平均功率相等，即的能量及平均功率相等，即dttxTdttxTdttxdttxTT
4、TTTT)(21lim)(21lim)()(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位， 不会改变信号的能不会改变信号的能量和功率。量和功率。5. 设具有有限带宽设具有有限带宽的信号的信号)(ta的傅氏变换为的傅氏变换为)(A，假定假定20，则有，则有ttattaHttattaH0000cos)(sin)(sin)(cos)(设设)(tA与与)(t为低频信号，则为低频信号，则)(cos)()(sin()()(sin)()(cos()(0000tttAtttAHtttAtttAH4.1.2 解析信号解析信号由实信号由实信号)(tx作为复信号作为复信号)(
5、tz的实部，的实部，)(tx的希尔伯特变的希尔伯特变换换)( tx作为复信号作为复信号)(tz的虚部，即的虚部，即)( )()(tx jtxtz这样构成的复信号这样构成的复信号)(tz称为解析信号。称为解析信号。设设)(tx频 谱 为频 谱 为)(X， 并 已 知， 并 已 知)( tx的 频 谱 为的 频 谱 为)()sgn()(XjX，则可得复信号，则可得复信号)(tz的频谱为的频谱为000)(2)()sgn()()(XXXZ4.1.3 复随机变量复随机变量若若 X 和和 Y 分别是实随机变量，则定义分别是实随机变量，则定义 Z 为复随机变量为复随机变量Z=X+jY复随机变量的数字特征：复
6、随机变量的数字特征：1. 数学期望数学期望YXZjmmZEm复数复数2. 方差方差22YDXDmZEZDZZ实数实数3. 互相关矩互相关矩若有两个复随机变量若有两个复随机变量 Z1=X1+jY1，Z2=X2+jY2，则它们的互相关，则它们的互相关矩为矩为)()(21212121212*1XYYXYYXXZZRRjRRZZER4. 互协方差互协方差)()(21212*1ZZZZmZmZEC5. 互相独立、互不相关、互相正交互相独立、互不相关、互相正交两个复随机变量互相独立需满足两个复随机变量互相独立需满足),(),(),(2211221122112211yxfyxfyxyxfYXYXYXYX两个
7、复随机变量互不相关需满足两个复随机变量互不相关需满足0)()(2*12*12*1212121ZEZEZZERmZmZECZZZZZZ或两个复随机变量互相正交需满足两个复随机变量互相正交需满足02*121ZZERZZ4.1.4 复随机过程复随机过程若若 X(t)和和 Y(t)为实随机过程，则为实随机过程，则 Z(t)=X(t)+jY(t)为复随机过程为复随机过程。复随机过程的数字特征：复随机过程的数字特征：1. 数学期望数学期望)()()()(tmtjmtmtZEZYX复时间函数复时间函数2. 方差方差)()()()()(22ttYDtXDtmtZEZZ实函数实函数3. 自相关函数自相关函数)(
8、)(), (*tZtZEttRZ4. 自协方差函数自协方差函数)()()()(), (*tmtZtmtZEt tCZZZ当当0时，有时，有)()()(),(2*tZEtZtZEttRZ)()()(),(22ttmtZEttCZZZ由实随机过程广义平稳定义可直接类推出复随机过程广义平稳由实随机过程广义平稳定义可直接类推出复随机过程广义平稳条件，若复随机过程条件，若复随机过程 Z(t)满足以下条件：满足以下条件：)()()()()(2*tZEtZtZERmtZEZZ复常数则称则称 Z(t)为广义平稳复随机过程。为广义平稳复随机过程。5. 互相关和互协方差函数互相关和互协方差函数)()()()(),
9、 ()()(), (2121212*12*1tmtZtmtZEt tCtZtZEt tRZZZZZZ若若0),(21ttCZZ，则称，则称 Z1(t)和和 Z2(t)互不相关。互不相关。若若0),(21ttRZZ，则称，则称 Z1(t)和和 Z2(t)互相正交。互相正交。若两个复随机过程各自平稳且联合平稳，则有若两个复随机过程各自平稳且联合平稳，则有)(),()(),(21212121ZZZZZZZZCttCRttR6. 功率谱密度功率谱密度平稳复随机过程的功率谱密度仍定义为自相关函数的傅立叶变平稳复随机过程的功率谱密度仍定义为自相关函数的傅立叶变换，即换，即deSRdeRSjZZjZZ)(2
10、1)()()(两个联合平稳的复随机过程的互功率谱密度与互相关函数也是两个联合平稳的复随机过程的互功率谱密度与互相关函数也是一个傅立叶变换对。一个傅立叶变换对。4.1.5 解析过程解析过程定义：由实随机过程定义：由实随机过程)(tX作为复随机过程作为复随机过程)(tZ的实部，的实部，)(tX的的希尔伯特变换希尔伯特变换)(tX作为作为)(tZ的虚部，即的虚部，即)()()(tXjtXtZ这样构成的复随机过程这样构成的复随机过程)(tZ为解析随机过程。其中为解析随机过程。其中dtXtXHtX)(1)()(解析过程的性质：解析过程的性质：1. 若若)(tX为广义平稳过程为广义平稳过程， 则则)(tX也是广义平稳过程也是广义平稳过程， 且且)(tX、)(tX联合平稳。联合平稳。2.)()(, )()(XXXXSSRR3.)()(, )()(XXXXXXRRRR可得可得)()(XXXXRR4.)()(XXXXRR奇函数奇函数5.0)0(XXR6.)(2)(2)(XXZRjRR7.0)(0)()(XXXXjSjSS8.000)(4)(XZSS
