1、 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1向量组的线性组合向量组的线性组合 定义定义 1 由由 n 个数个数 a1 , a2 , , an 组成的有序数组，组成的有序数组， n21aaaa n21Taaaa, 或或叫做叫做 n 维向量维向量, 实向量实向量 向量的加法，向量的加法， 列向量，列向量，称称 ai 为向量为向量 a 的第的第 i 个分量个分量.行向量行向量.数乘数乘.记成记成 向量组向量组 如果如果 A = ( aij )是是 mn 矩阵，矩阵， *.n,2, 1jaaaamjj2j1j 称为称为 矩阵矩阵 A 的列向量组的列向量组.mn 矩阵矩阵 A = ( aij
2、 ) 又有又有 m 个个 n 维行向量维行向量: .,m21iaaabin2i1iTi 称为矩阵称为矩阵 A 的行向量组的行向量组.另一方面，由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵另一方面，由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵.例如，由向量组（例如，由向量组（*）可以构成）可以构成 mn 矩阵矩阵那么那么 A 有有 n 个个 m 维列向量维列向量:A = ( a1 , a2 , an ) 定义定义 2 设向量组设向量组 A: a1 , a2 , am , ,m21 任取一组实数任取一组实数称向量称向量mm2211aaa 是向量组是向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合. 给定向量组给定向量
3、组 A: a1 , a2 , am 和向量和向量 b , m21 ,使使mm2211aaab 则称向量则称向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示., 3001b1403a1201a121设设例例线线性性表表示示能能由由向向量量组组说说向向量量21aab,因为因为b = 2a1 a2 ， 所以所以 若存在一组数若存在一组数也就是说非齐次线性方程组也就是说非齐次线性方程组 30010013x0001x21无解无解.线线性性表表示示，不不能能由由向向量量组组向向量量 001300013001,线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量 1403a1201a3001b21就是说非齐次线
4、性方程组就是说非齐次线性方程组baxax2211 有解有解. 一般地，一般地， 向量向量 b 能由向量组能由向量组 A: a1 , a2 , am 线性表示的线性表示的充分必要条件是充分必要条件是非齐次线性方程组非齐次线性方程组baxaxaxmm2211 有解有解. 据第据第 3 章定理章定理 3， 所以有所以有 定理定理 1 向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是 R(A) = R(B) , 其中矩阵其中矩阵 A = ( a1 , a2 , am ), B = ( a1 , a2 , am ,b ) .,: 5112a0231aA7862b221，向
5、向量量组组设设向向量量例例 75450822126351321321B 40000750000045021321解解 因为因为 线线性性表表示示？能能否否由由向向量量组组问问向向量量Ab5231a4253a43., 由此可知，由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4， 定义定义3 设有向量组设有向量组 A: a1 , a2 , am 和向量组和向量组 B: b1 , b2 ,若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 .线线性性表表示示，能能由由向向量量组组，向向量量组组例例 1000100013212013 因此向量因此向量 b 即即 R(A) R(B) ，那么称向量组那么称向量组 B 能
6、由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示. 如果组如果组 B 的每个向量都能由向量组的每个向量都能由向量组 A 线性表示，线性表示， 则称这两个则称这两个向量组等价向量组等价. 不能由向量组不能由向量组 A 线性表示线性表示., bs ，B 能互相线性表示，能互相线性表示， 1000100011110110014，与向量组与向量组，向量组向量组例例,等价等价 定义定义4 设有向量组设有向量组 A: a1 , a2 , am ,使使m21 ,则称向量组则称向量组 A 是是线性相关线性相关的的. 否则，称它是线性无关的否则，称它是线性无关的.)( 0aaamm2211 才能使才能使（）式成立，（）
7、式成立，也就也就是，是，则称向量组则称向量组 A 是是线性无关线性无关的的.如果存在如果存在不全为零的数不全为零的数时时，只只有有当当0m21 2向量组的线性相关性向量组的线性相关性., 421a221a101a5321设向量组设向量组例例0aaa2321 因为有因为有 aaa321线性相关线性相关所以向量组所以向量组, 向量组向量组 A: a1 , a2 , am 线性相关的充分必要条件是齐次线线性相关的充分必要条件是齐次线 0axaxaxmm2211 有非零解有非零解. 定理定理 2 向量组向量组 a1 , a2 , , am 线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是矩阵矩阵 A
8、的秩的秩 R (A) m . 其中矩阵其中矩阵 A = ( a1 , a2 , am ).,: 100e010e001eE6321设向量组设向量组例例所以向量组所以向量组 E 线性无关线性无关.时时，才才有有0321 因为只有当因为只有当性方程组性方程组 0eee332211 例例 7 向量组向量组., 111a011a001a321向量组向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的是线性无关的.因为矩阵因为矩阵 A = ( a1 , a2 , a3 ) 的行列式的行列式 |A| 0, 例例 8 讨论向量组讨论向量组 072a311a121a321, 的线性相关性的线性相关性.解解 先求矩阵（
9、先求矩阵（a1 , a2 , a3 ) 的秩的秩. 由由 031712211aaa321,1312rrr2r 所以所以 R (A ) = 3 . 由定理由定理 2知，知， 22033021123r32r 知知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 3,所以向量组所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关线性相关. 5231a4253a5112a0231aA94321,:讨讨论论向向量量组组例例 5450221235131321aaaa4321 解解 由由 0000500004501321的线性相关性的线性相关性. 000330211 例例 10 已知向量组已知向量组 a1 , a2
10、, a3 线性无关，线性无关， 证证 设有一组数设有一组数 x1 , x2 , x3 使使 x1(a1 + a2 ) + x2(a2 + a3 ) + x3 (a3 + a1 ) = 0 可知可知 R ( a1, a2, a3, a4 ) = 3, 421aaa 000500050121同时同时,由由可见可见 R ( a1, a2, a4 ) = 3, 因此，向量组因此，向量组 a1 , a2 , a4 线性无关线性无关.所以向量组所以向量组 a1 , a2 , a3 , a4 线性相关线性相关. a1 + a2 ， a2 + a3 ， a3 + a1 证明向量组证明向量组 550212313
11、121也线性无关也线性无关.因为向量组因为向量组 a1 , a2 , a3 线性无关线性无关 , ( x1 +x3 ) a1 + ( x1+x2 ) a2+ ( x2+x3 ) a3 = 0所以有所以有 20 xx0 xx0 xx322131 由于此齐次线性方程组的系数行列式由于此齐次线性方程组的系数行列式02110011101 故只有零解故只有零解 x1 = 0， x2 = 0，x3 = 0， 所以向量组所以向量组 a1 + a2 ，a2 + a3 ，a3 + a1 也就是也就是线性无关线性无关.于是就有于是就有m1m3132121aaaa 即即 a1 能由能由 a2 , am 线性表示线性
12、表示. 如果向量组如果向量组 A 中有一个向量能由其余向量线性表示中有一个向量能由其余向量线性表示 .使使m21 ,. 01 不妨令不妨令0aaamm2211 证明证明 如果向量组如果向量组 A: a1 , a2 , am ( m2 ) 线性相关，线性相关，不全为零，不全为零，因为因为m21 , 例例 11 向量组向量组 A: a1 , a2 , am ( m2 ) 线性相关的充分线性相关的充分设设am 能由能由a1 , a2 , am 1 线性表示线性表示:1m1m2211maaaa 于是于是 0a1aaam1m1m2211 所以向量组所以向量组 A 线性相关线性相关.则有不全为零的数则有不
13、全为零的数不妨不妨必要条件是向量组必要条件是向量组 A 中至少有一个向量能由其余向量线性表示中至少有一个向量能由其余向量线性表示. 定理定理 3 若向量组若向量组 A: a1 , a2 , am 线性相关线性相关,组组 B: a1 , a2 , , am , am+1 也线性相关也线性相关. 若向量组若向量组 A: .,m21jaaaanjj2j1j 线性无关，线性无关，.,m21jaaabj1njnj1j 也线性无关也线性无关.则向量组则向量组 B: 则向量则向量 n +1 个个 n 维向量必线性相关维向量必线性相关. 如果向量组如果向量组 A : a1 , a2 , am 线性无关，线性无
14、关，a1 , a2 , am , b 线性相关线性相关, 那么向量那么向量 b 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.且表法唯一且表法唯一. 证证 记矩阵记矩阵A = ( a1 , a2 , am ), B = ( a1 , a2 , am , a m+1 )于是于是R(B ) R(A)+1. 若向量组若向量组 A : a1 , a2 , am 线性相关线性相关,有有R (A) m ，再由定理再由定理 2 向量组向量组 B 也线性相关也线性相关. 记矩阵记矩阵 A = ( a1 , a2 , am ), B = ( b1 ,b2 ,bm ), 这里这里 A 若向量组若向量组 A 线性线性
15、 无关，无关， 则则R (A) = m ， 于是于是 R (B ) = m， 因此向量因此向量 设设 a1 , a2 , an+1 都是都是 n 维列向量维列向量,则有则有 R(A) n n+1, 故故 n +1 个个 n 维向量维向量 a1 , a2 , an+1 据定理据定理2,就可知，就可知，所以所以 R( B ) R(A)+1 m+1,而向量组而向量组 B: An(n+1) = ( a1 , an , a n+1 )记矩阵记矩阵组组 B 也线性无关也线性无关.为为 nm 矩阵矩阵, B 为为 (n+1)m 矩阵矩阵, 有有R(A) R(B ) m. 记矩阵记矩阵A = ( a1 , a
16、2 , am ) 和和B = ( a1 , a2 , am ,b )，有有R(A) R(B) . 因为向量组因为向量组A 线性无关，而向量组线性无关，而向量组B 线性相关，线性相关，所以所以 R (A) = m ，R (B ) m +1 ，因此因此 R (B ) = m .由由 R(A)=R(B)=m , 据定理据定理 1可知，可知， 向量向量 b 可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示.根据第根据第 3 章定理章定理 3 后面的结果可以得到，后面的结果可以得到， 向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 必线性相关必线性相关.和和讨讨论论向向量量组组例例 4253a5112a0231aA
17、12321,:.,:的的线线性性相相关关性性向向量量组组 5231a4253a5112a0231aB 4321 线性表示式是唯一的线性表示式是唯一的.知知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2,所以向量组所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关线性相关.根据定根据定理理 3(1)可知，可知， 向量组向量组 a1 , a2 , a3 , a4 也线性相关也线性相关.例例13 讨论向量组讨论向量组 a1 , a2 , a3 线性相关性线性相关性 ,其中其中., 2111a0011a1001a321 解解 因为向量组因为向量组 111011001,线性无关，线性无关，根据定理根据定理 3
18、(2),所以所以 450212513321A解解 因为因为 450450450321 000000450321向量组向量组 a1 , a2 , a3 线性无关线性无关. 111011001,例例 14 已知向量组已知向量组线性无关，线性无关， 由定理由定理 3(3)可知向量组可知向量组 123111011001,线性相关，线性相关，根据定理根据定理 3(4)可得可得, 123向量向量能由向量组能由向量组线性表示，线性表示， 111011001,且表法唯一且表法唯一小小 结结 1 理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关和向量组理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关和向量组 2 掌握有关线
19、性相关和线性无关主要结果和确定向量组线性掌握有关线性相关和线性无关主要结果和确定向量组线性等价的定义等价的定义.相关（无关相关（无关) 的方法的方法.P128. 4, 5.1.讨论下述向量组的线性相关性讨论下述向量组的线性相关性 ., 631a520a111a1321（1）线性相关）线性相关 6512a2130a4211a0211b2321,.能否由向量组能否由向量组向量向量2.能能（2）线性无关）线性无关作业作业 1111a641641a27931a8421a24321,线性表示，为什么？线性表示，为什么？ 651321101aaa321 550220101 0002201011（1）解）解
20、 先求矩阵（先求矩阵（a1 , a2 , a3 ) 的秩的秩.由由知知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 s, 看齐次线性方程组看齐次线性方程组, 0 xxxKr21 即即, 0 xxxkkkkkkkkkr21sr2s1sr22221r11211 向量组向量组 A0 线性表示线性表示.它的系数矩阵的秩它的系数矩阵的秩R(K) s r , 所以有非零解所以有非零解. 任取其一个任取其一个 ,Tr21 非零解非零解就有就有 0Kaaabbbr21s21r21r21 ,这与向量组这与向量组 B0 线性无关矛盾，线性无关矛盾， 推论推论 1 等价的向量组秩相等等价的向量组秩相等. 推论推论
21、2 设设 A 是是 mn 矩阵矩阵, B 为为 ns 矩阵，则矩阵，则R( AB ) R( A ), 推论推论 3 设向量组设向量组 A0 是向量组是向量组 A 的部分组的部分组, 若向量组若向量组 A0 线性线性 因此因此 r s . R( AB ) R( B ).无关无关, 且向量组且向量组 A 能由向量组能由向量组 A0 线性表示线性表示,则向量组则向量组A0 是向量是向量组组A 的一个最大无关组的一个最大无关组.例例 3 向量组向量组A : 100b001bB010a001a2121,:,与与的秩相等，都为的秩相等，都为 2. 小小 结结 1. 掌握向量组的最大无关组和向量组的秩的概念
22、掌握向量组的最大无关组和向量组的秩的概念. 2. 掌握向量组的秩与矩阵的秩的关系掌握向量组的秩与矩阵的秩的关系. 3 . 会求向量组的最大无关组和向量组的秩会求向量组的最大无关组和向量组的秩.作业作业 P128. 7. 8. 9.但向量组但向量组 A 与与 B 不等价不等价.要求要求 秩相等的向量组未必等价秩相等的向量组未必等价 5231a4253a5112a0231aA4321,:求求向向量量组组 5450221235131321aaaaA4321 解解 组成矩阵组成矩阵 A = (a1 , a2 , a3 , a4 ) , 用初等行变换把用初等行变换把 A 变成行变成行 000050000
23、4501321的秩，并求它一个最大无关组的秩，并求它一个最大无关组.阶梯形矩阵阶梯形矩阵.可知可知 R ( A ) = 3, 421aaa 000500050121同时同时,由由知向量组知向量组 a1 , a2 , a4 线性无关线性无关.所以向量组所以向量组 a1 , a2 , a3 , a4的秩等于的秩等于3. 550212313121所以，所以， a1 , a2 , a4 是向量组是向量组 a1 , a2 , a3 , a4 的一个最大无关组的一个最大无关组.练练 习习 2 设设 A 是是 m n 矩阵矩阵, B 为为 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 , 证明证明 R( AB) = R(A )
24、 . 1 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：., 321a1143a412a311a4321 1 解解 组成矩阵组成矩阵 A = ( a1 , a2 , a3 , a4 ) , 用初等行变换把用初等行变换把 A 变成行变成行 3114324111321A 622031101321 000031101321知知 R(A) = 2，所以，向量组所以，向量组 a1 , a2 , a3 , a4 的秩等于的秩等于2. a1 , a2 是向是向 2 证明证明 据定理据定理5的推论的推论2可得可得,R( AB) R(A ) . ABRBABRAR1 所所以以故得故
25、得R( AB) = R(A ) . 1BABA )(因为因为量组量组 a1 , a2 , a3 , a4 的一个最大无关组的一个最大无关组.阶梯形矩阵阶梯形矩阵. 3. 设向量组设向量组 A: a1 , a2 , as ，和向量组，和向量组 B: b1 , b2 , , bs . 证证 因为向量组因为向量组 A 与与 B 等价等价, 根据定理根据定理 5 的推论的推论 1可得可得，R(A) = R(B). 因为向量组因为向量组 A 线性无关，据定理线性无关，据定理2，所以，所以 R(A) = s . 于是于是 R(B) = s ，故向量组，故向量组 B 也线性无关也线性无关. 4. 设向量设向
26、量b能由向量组能由向量组a1 , a2 , a3 线性表示，但不能由向量组线性表示，但不能由向量组 证证 因为向量因为向量b能由向量组能由向量组a1 , a2 , a3 线性表示，所以有数线性表示，所以有数使使得得321 ,332211aaab . 03 所以所以 又向量又向量b不能由向量组不能由向量组a1 , a2 线性表示，线性表示，于是可得于是可得b1aaa32321313)/()/()/( 因而向量组因而向量组a1 , a2 , a3 能由向量组能由向量组a1 , a2 ,b 线性表示线性表示. 由已知可得由已知可得向量组向量组a1 , a2 ,b 能由向量组能由向量组a1 , a2
27、, a3线性表示，线性表示， 所以向量组所以向量组a1 , a2 , a3 与向量组与向量组a1 , a2 ,b 等价等价 .如果向量组如果向量组 A与向量组与向量组 B 等价，且向量组等价，且向量组 A 线性无关线性无关,证明向量证明向量组组 B 也线性无关也线性无关.a1 , a2 线性表示，那么向量组线性表示，那么向量组a1 , a2 , a3 与向量组与向量组a1 , a2 ,b 等价等价 . 4 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 设有设有 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 若若 x1 = c1 , x2 = c2 , , xn = cn 是是 的解，记的解，
28、记 n21ccc 称为方程组称为方程组 的解向量的解向量. 齐次方程组的解的性质齐次方程组的解的性质 性质性质 1 的的两两个个解解（向向量量），为为若若)(,121 .)(的解的解也是也是则则121 性质性质 2 为任意实数，为任意实数，向量向量的解的解为为若若k1,)( .)(的解的解也是也是则则1k s21 ,如如果果 是是 的一组解向量，的一组解向量，且满足且满足 线线性性无无关关；向向量量组组s211 ,2 齐次方程组齐次方程组 的每个解都可由的每个解都可由 .,线线性性表表示示s21 那么称那么称s21 ,为齐次方程组为齐次方程组 的一个的一个基础解系基础解系. 如果如果s21 ,
29、 是齐次方程组是齐次方程组 的一个基础解系，的一个基础解系，那么那么的所有解都可表为的所有解都可表为 ss2211kkk 其中其中 k1, k2 ,ks 为任意实数为任意实数,称上式为称上式为齐次方程组齐次方程组 的通解的通解. 定理定理 6 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 的解空间的维数为的解空间的维数为 n - r ，即即 的基础解系含的基础解系含 n - r 个解，个解，其中其中R(A) = r. 20000000000bb100bb010bb001Arn1rrn21r2n11r11 ,于是得到与于是得到与同解的方程组：同解的方程组：)(,3xbxbxbxxbxbxb
30、xxbxbxbxnrn2r2rr1r1rrrnn22r2r21r1r22nn12r2r11r1r11 矩阵矩阵,不妨令为不妨令为 证证 设设R(A) = r , 用初等行变换化系数矩阵用初等行变换化系数矩阵 A 为行最简形为行最简形, 001xxxn2r1r代入代入 的右端依次可得：的右端依次可得：, 1rr1r21r1r21bbbxxx于是得到于是得到 的的 解解:, 001bbbxxxxxx1rr1r21r1n2r1rr21, 010 100, 2rr2r22r1bbb., rnn2n1bbb, 010bbb2rr2r22r1., 100bbbrnn2n1 n r 个个对自由未知量对自由未
31、知量 xr+1 , xr+2 , xn 分别取值分别取值下面证明解向量组下面证明解向量组是是 的一个基础解系，的一个基础解系，首先，据定理首先，据定理 3可知，可知，.,线线性性无无关关rn21 证明证明的任意解都可由的任意解都可由.,线线性性表表示示rn21 100bbb010bbb001bbbrnn2n1rn2rr2r22r121rr1r21r11 ,从而它们也是从而它们也是 的一个基础解系的一个基础解系.其次，其次， n1rr1 设设是是 的一个解的一个解. 根据齐次方程组解的性质可知，向量根据齐次方程组解的性质可知，向量rnn22r11r 也是也是 的一个解，的一个解，,个个分分量量对
32、对应应相相等等的的后后面面的的与与由由于于rn 因此因此 .,线线性性表表示示可可由由即即rn21 这就证明了这就证明了, ，是是方方程程组组3rn21 , 所以，所以， 的基础解系含的基础解系含 n - r 个解个解.方程组（方程组（1）的一个基础解系，）的一个基础解系， 从而也是齐次从而也是齐次 rnn22r11r 例例 1 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解求下列齐次线性方程组的基础解系与通解. 0 xxxx0 x2xx2x30 x3x2xx2432143214321 解解 对系数矩阵对系数矩阵 A 作初等行变换作初等行变换,将其变为行最简形矩阵将其变为行最简形矩阵,得得 111121
33、233212A 541054101111131231r2rr3rrr 23rr 000054101111221r1rr)( 000054104301于是得同解方程组于是得同解方程组 432431x5x4xx4x3x , 1001xx43令令, 5443xx21可得可得即得基础解系：即得基础解系：., 1054014321 并得方程组的通解并得方程组的通解,22114321ccxxxx .,Rcc21 是是基基础础解解系系，因因为为21 221k , 于于是是是此齐次方程组的两个线性无关的解是此齐次方程组的两个线性无关的解 因为因为Ax = 0 的基础解系含有两个解，的基础解系含有两个解， 因此
34、它的两个线性无关因此它的两个线性无关.,也也是是基基础础解解系系的的解解221k 证证 根据齐次方程组解的性质可知，根据齐次方程组解的性质可知，的的一一个个基基础础解解系系，证证明明是是齐齐次次方方程程组组设设例例0Ax221 ,也也是是齐齐次次方方程程221k , 组组Ax = 0 的两个解的两个解也是这个方程组的一个基础解系也是这个方程组的一个基础解系,其中数其中数k 0 .221k ， 也线性无关，也线性无关，221k , 因因此此向向量量组组线线性性无无关关，21 所以向量组所以向量组 设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组Ax = b (4)（4）的解也记为向量）的解也记为向量.性质性
35、质 3 的解，的解，都是都是设设421 , 是对应的齐次方程组是对应的齐次方程组 Ax = 0 （5） 性质性质 4 的解，的解，是是的解，的解，是是设设54 也是（也是（4）的解）的解.）的一个解，）的一个解，是（是（若若4 都都可可表表为为 .的某个解的某个解是是其中其中5 非齐次线性方程组（非齐次线性方程组（4）的通解为）的通解为 rnrn2211kkk ）的的一一个个基基础础解解系系，是是（其其中中5rn21 , k1 , k2 , kn-r 是是任意实数任意实数.非齐次线性方程组的解具有性质非齐次线性方程组的解具有性质则（则（4）的任意一个解）的任意一个解由此及性质由此及性质4可知，
36、可知，的解的解. 则则21 则则 例例 3 求解方程组求解方程组 4xxx2x1x5x2x4x22x3xx2x432143214321 解解 用初等行变换把增广矩阵用初等行变换把增广矩阵 B 变为行最简形变为行最简形 411211524223121B 6200031000231211312rrr2r 000003100070121 22123r1r3rr2r 知知R(B) = R(A) = 2,所以方程组有解，所以方程组有解， 3xxx27x4321并得同解方程组并得同解方程组 取取 x2= 0, x3= 0,即得方程组的一个解即得方程组的一个解 3007 对应的齐次方程组为对应的齐次方程组为
37、 0 xxx2x4321可得基础解系可得基础解系方程组的通解为方程组的通解为, 0101001221 , 211cc .,Rcc21 Rcc0101c0012c3007xxxx21214321 ,也就是也就是写成写成 也可以把方程组也可以把方程组 3xxxxxxx27x43322321 3xxx27x4321得通解为得通解为Rcc0101c0012c3007xxxx21214321 , 0101x0012x3007xxxx324321也就是也就是 小小 结结 1 掌握齐次线性方程组解的性质和基础解系的概念掌握齐次线性方程组解的性质和基础解系的概念. 2 会求齐次线性方程组的基础解系和通解会求齐
38、次线性方程组的基础解系和通解. 3 掌握非齐次线性方程组解的结构掌握非齐次线性方程组解的结构. 4 会求解非齐次线性方程组会求解非齐次线性方程组. 作业作业P129. 17, 20,P130. 23 练习练习一求解线性方程组求解线性方程组 0 x6xx5x30 x5xx3x20 x2xx3x0 x4xxx14321432143214321. 3xxxx4x3xxxx2x1xx2x2x3x1x4x5x3x25432154321543214321., 1037011221 0 x2x2x0 xxx2x30 xxxx343243214321.,Rcc1021c0121cxxxx21214321 .,
39、Rc21011c01010 xxxxx54321 6153513221314111A 6220311062204111 0000000031104111 0000000031107201 1. 解解 对系数矩阵对系数矩阵 A 作初等行变换作初等行变换,将其变为行最简形矩阵将其变为行最简形矩阵,得得于是得同解方程组于是得同解方程组 432431x3xxx7x2x即得基础解系：即得基础解系：., 1037011221 方程组的通解为方程组的通解为, 1037k0112k21.,Rkk21 311141311121112231104531B 215470213450212300104531 解解 用
40、初等行变换把增广矩阵用初等行变换把增广矩阵 B 变为行最简形变为行最简形 215470002020212300104531 212400001010212300104531 212400001010424100104531 14714000001010424100104531 212000001010424100104531 2120001210010000100320531 2120000001001210010320531 21200000010012100100210001得同解方程组得同解方程组 5435251x211x0 xx211xx21x 21200000010012100100
41、210001得通解为得通解为.,Rc21011c01010 xxxxx54321 0 x3xx2xxx7xx2x2321321321 解解 用初等行变换化增广矩阵为行最简形用初等行变换化增广矩阵为行最简形 031121117122B131221rrr2rrr 03112111712221232rrr2rr31 )( 练习练习二1.求解线性方程组求解线性方程组 000011003011于是得同解方程组于是得同解方程组 1x3xx321即即 1xxxx3x32221方程组的通解为方程组的通解为.,Rc011c103xxx321 23232213213xx3x21xxx1xx 解解 用初等行变换化增
42、广矩阵为行阶梯形用初等行变换化增广矩阵为行阶梯形 3032111111B223212rrrr )( 31300301112取取何何值值时时，问问 2.设线性方程组设线性方程组 方程组有唯一解，无解，有无穷多解？方程组有唯一解，无解，有无穷多解？在有无穷多解时求其通解在有无穷多解时求其通解.由此可知由此可知,)()(.3BRAR301 时，时，且且当当 ),()(,)(,)(.BRAR2BR1AR02 时时，当当 ，时时，当当2BRAR33 )()(. 此时，此时， 633032113211B方程组有唯一解方程组有唯一解.方程组无解方程组无解.方程组有无穷多个解方程组有无穷多个解.有同解方程组有
43、同解方程组 3231x2xx1x此方程组得通解为此方程组得通解为.,Rc111c021xxx321 000021101101 本本 章章 小小 结结 1. 掌握向量组线性相关、线性无关、向量组的秩等概念掌握向量组线性相关、线性无关、向量组的秩等概念.量空间的基本知识量空间的基本知识. 5. 会用初等变换求解线性方程组会用初等变换求解线性方程组. 2. 了解有关向量组线性相关，线性无关的主要结果，了解向了解有关向量组线性相关，线性无关的主要结果，了解向 3. 掌握线性方程组解的结构掌握线性方程组解的结构. 4. 会用初等变换求向量组的极大无关组和向量组的秩会用初等变换求向量组的极大无关组和向量组
44、的秩.要求要求也是也是的解，则的解，则非齐次方程组非齐次方程组都是都是设设)(,.212121bAx1 3213212bAx2 )(,.的解，则的解，则非齐次方程组非齐次方程组都是都是设设的的一一个个解解，非非齐齐次次方方程程组组是是设设bAx3 .对应的对应的是是bAx21 ,21 ,那么向量组那么向量组所以所以因为因为证证,.21bAbA1 .)(的的一一个个解解也也是是非非齐齐次次方方程程组组因因此此0Ax2121 bb21b2121A21A21A2121 )()( ）（的解，所以的解，所以非齐次方程组非齐次方程组都是都是因为因为证证bAx2321 ,.因此，因此，的一个解的一个解都是它
45、对应齐次方程组都是它对应齐次方程组.,0Ax3231 齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax = 0的一个基础解系，的一个基础解系，线性无关线性无关.是它对应的齐次方程组是它对应的齐次方程组Ax = 0 的一个解的一个解.它的一个解它的一个解.练习三练习三.的解的解齐次方程组齐次方程组是是）（）（）（0Ax2213231 .,线性无关线性无关向量组向量组21 线性相关，线性相关，假设向量组假设向量组,21 ,.的一个基础解系的一个基础解系是齐次方程组是齐次方程组因为因为证证0Ax321 线线性性表表示示，能能由由向向量量组组向向量量21 ,应应为为齐齐次次线线性性方方程程组组于于是是， 的解的解线
46、性相关线性相关所以向量组所以向量组21 , 所以所以那么那么矛盾，矛盾，不能由向量组不能由向量组向量向量取何值时取何值时 53b11ba4 ?,.,线性表示线性表示， 8a42112a11531132014321 .?式式线性表示，并求出表示线性表示，并求出表示，能由有向量组能由有向量组向量向量时时4321 a,b取何值取何值 43214321BA, 用初等行变换化矩阵用初等行变换化矩阵B为行阶梯形为行阶梯形 解解 设矩阵设矩阵 58a1533b42a321211011111B1413r3rr2r 58a1533b42a3212110111112423r2rrr 01a000b01a00121
47、1011111由此可知：由此可知：当当 a = 1 ，b 0 时，时，R(A) = 2 , 而而R (B) = 3,.线性表示线性表示，不能由向量组不能由向量组所以向量所以向量4321 010001ab01001a1ba0101ab20001/当当 a = 1 ，b = 0 时，时，R(A) = R(B) = 2,B 此时此时432101ab1a1ba1ab2 能能由由向向量量组组向向量量 此时此时且且表表法法不不唯唯一一线线性性表表示示，,4321 所以所以当当 a 1 时，时，R(A) = R(B) = 4 ,，能能由由向向量量组组向向量量21 且表法唯一且表法唯一线性表示线性表示，,43
48、 4321lkl2k1lk2 )()(其中其中 k, l 为任意数为任意数B 00000000001211001201所以所以5 向量空间向量空间vn维向量的全体所组成的集合RxxxxxxxRnTnn,),(2121叫做n维向量空间。定义6 设V为n维向量的集合，如果V非空，且V对于向量的加法及乘数两种运算封闭，那么就称V为向量空间。定义7 设V为向量空间，如果向量,21Vaaarraaa,) 1 (21raaa,21且满足线性无关；V中任一向量都可由)2(线性表示。那么，向量组raaa,21就称为V的一个基，r称为V的维数，称V为r维向量空间。定义8 如果在向量空间V中取定一个基raaa,21x那么，V中任一向量可惟一地表示为rraaax2211r,21称为x在基raaa,21中的坐标。
