1、2.5 2.5 线性系统对随机过程的响应线性系统对随机过程的响应 设线性时不变系统的系统函数为设线性时不变系统的系统函数为 、脉冲响应为、脉冲响应为 ，其输入为其输入为 ，响应为，响应为 ，如图，如图2.11所示。所示。 根据线性时不变系统的特性，有根据线性时不变系统的特性，有 问题：问题： 若若 是平稳随机过程，是平稳随机过程， 是否平稳？是否平稳？ 输出输出 的统计平均量：均值、自相关函数、功率谱密度的统计平均量：均值、自相关函数、功率谱密度等与输入等与输入 统计平均量及系统特性之间的关系？统计平均量及系统特性之间的关系？)( H)(th)(tx)(ty)(tx)(ty)( H2.11.F
2、ig( )( ) ()dy th u x tuu)(tx)(ty)(ty)(tx2.5.1 响应的平稳性响应的平稳性响应响应 的均值为的均值为即响应即响应 的均值与时刻无关。式中，的均值与时刻无关。式中， 是系统的直是系统的直流增益。流增益。 响应响应 的自相关函数的自相关函数)(ty uutxuhEtyEtyd)()()()( uutxEuhd)()( uuhxd)( yxH )0()(ty)0(H)(ty )()()( tytyEt , try vvtxvhuutxuhEd)()()d()( 即即 的自相关函数的自相关函数 仅与时间间隔仅与时间间隔 有关。有关。 结论：若输入结论：若输入
3、是平稳随机过程，则响应是平稳随机过程，则响应 也是也是平稳随机过程。平稳随机过程。2.5.2 响应的统计平均量响应的统计平均量 （1）均值）均值 (2)自相关函数自相关函数 令令 ，则有，则有 uvvtxutxEvhuhdd)()()()( uvvurvhuhxdd)()()( )( yr )(ty)( yr )(tx)(ty( )d(0)yxxh uuHvut 式中式中 这样这样 (3)功率谱密度功率谱密度 tuuthuhtrrxydd)()()()( ttgtrxd)()( )()( gr uuthuh)t (gd)()()()(thth ( )( )( )yxrrg( )( )()rhh
4、)()()()( xyPHHP )()(2 xPH )()()()()()(| )()()(022xxyxxyyyyyyPHPhrrcrc如果如果LTILTI的输入是平稳复随机过程，则其响应也是平稳复随的输入是平稳复随机过程，则其响应也是平稳复随机过程，响应的统计平均量有相应的关系式。机过程，响应的统计平均量有相应的关系式。 2.6 高斯噪声、白噪声和有色噪声高斯噪声、白噪声和有色噪声 随机信号随机信号 或或 的统计特性很大程度上决定于噪声的统计特性很大程度上决定于噪声 的统计特性。的统计特性。 的数学模型很多，的数学模型很多，时域高斯噪声和频域的白噪声时域高斯噪声和频域的白噪声是最常用的数学
5、模型。是最常用的数学模型。Tttntstx 0)()()(，Tttntstx 0)()()(，；)(tn)(tn 2.6.1 高斯噪声高斯噪声(时域时域) 1. 中心极限定理中心极限定理 N个相互统计独立随机变量个相互统计独立随机变量 之和之和 的概率密的概率密度函数，在度函数，在 的极限条件下，趋于高斯分布，而的极限条件下，趋于高斯分布，而不管每个变量不管每个变量 的具体分布如何。的具体分布如何。 实际上，只要实际上，只要N足够大，每个变量间也不一定完全足够大，每个变量间也不一定完全统计独立，但不存在占支配地位的若干个分量，其和就统计独立，但不存在占支配地位的若干个分量，其和就接近高斯分布。
6、接近高斯分布。 噪声噪声 是由大量随机干扰合成的，因此，其概率是由大量随机干扰合成的，因此，其概率密度函数认为服从高斯分布通常是合理的。密度函数认为服从高斯分布通常是合理的。 kn Nkknn1 Nkn)(tn2 高斯噪声的统计描述高斯噪声的统计描述 a. 一维概率密度函数一维概率密度函数如果一个噪声过程如果一个噪声过程n(t)，对于任意的，对于任意的N=1和所有的时刻和所有的时刻tk（k=1,2N）,随机变量随机变量n(tk)=(nk；tk)服从高斯分布，则服从高斯分布，则过程过程n(t)就是一个高斯噪声随机变量过程，简称高斯噪声就是一个高斯噪声随机变量过程，简称高斯噪声过程或者高斯噪声过程
7、或者高斯噪声1 22221(,)exp22knkknkknnp n tb. N维联合概率密度函数维联合概率密度函数 式中式中T11 2211,exp (2.6.2)22nnnNnpn tnCnC T21Nnnnn, kntnEk T21Ntn,tn,tnt ,n NNNNNNnnnnnnnnnnnnnnnnnnncccccccccC212221212111 jkkjkjnnnknjnnctntnEc c c 不相关性与统计独立性关系的证明不相关性与统计独立性关系的证明 有了有了2.6.22.6.2式，就比较容易证明式，就比较容易证明2.32.3节中关于节中关于随机变量之间互不相关性与相互统计独
8、立性关系随机变量之间互不相关性与相互统计独立性关系的结论的结论IIIIII。 也就是要得出：如果也就是要得出：如果N N个高斯随机变量之间互个高斯随机变量之间互不相关的，则它们也是相互统计独立的。不相关的，则它们也是相互统计独立的。 ( (大家尝试自己完成这个证明）大家尝试自己完成这个证明） 高斯噪声的高斯噪声的N N维联合概率密度函数从时域上描述维联合概率密度函数从时域上描述了高斯噪声过程的统计特性。了高斯噪声过程的统计特性。2.6.2 白噪声和高斯白噪声白噪声和高斯白噪声(频域频域) 高斯噪声从高斯噪声从时域采样分布服从高斯分布时域采样分布服从高斯分布来描述噪声的来描述噪声的统计特性。统计
9、特性。 现从频域的功率谱密度现从频域的功率谱密度 来描述噪声的统计特性。来描述噪声的统计特性。 1. 白噪声白噪声 若若 则称则称 是白噪声。它是均值为零的平稳随机过程。是白噪声。它是均值为零的平稳随机过程。 白噪声的特性：白噪声的特性： nP ，20NPn tn 2d22100NeNPIFTrjnn 可见，白噪声可见，白噪声 ，频域的功率谱密度，频域的功率谱密度 是均匀是均匀分布的；时域的自相关函数分布的；时域的自相关函数 是是 函数。这说明函数。这说明白噪声任意不同时刻的采样是不相关的。白噪声任意不同时刻的采样是不相关的。 tn nP nr白噪声与色噪声的统计特征差异白噪声与色噪声的统计特
10、征差异白噪声白噪声色噪声色噪声自相关函数自相关函数功率谱密度功率谱密度N N0 0/2/2N N0 0/2/2ff 2. 白噪声模型是理想模型白噪声模型是理想模型 由于由于 ，所以白，所以白噪声的能量无限，并不存在。讨论的意义：噪声的能量无限，并不存在。讨论的意义：实际系统是窄带系统，只要实际系统是窄带系统，只要 的功率谱的功率谱密度密度 在系统带宽附近是均匀的，就可在系统带宽附近是均匀的，就可作为白噪声来处理；白噪声模型对问题的作为白噪声来处理；白噪声模型对问题的分析和处理带来很大方便。分析和处理带来很大方便。 ）（ 20NPn tn nP3. 高斯白噪声高斯白噪声 若零均值平稳噪声若零均值
11、平稳噪声 ，其时域采样服从高，其时域采样服从高斯分布，频域的功率谱密度均匀分布，则称其为斯分布，频域的功率谱密度均匀分布，则称其为高斯白噪声。高斯白噪声。 tn 4 高斯白噪声特性：高斯白噪声特性： 任意不同时刻采样不仅互不相关，而且相互统计独立；任意不同时刻采样不仅互不相关，而且相互统计独立；样本服从高斯分布，均值为零，方差为样本服从高斯分布，均值为零，方差为 。 20NPn 20Nrn 20N 2.6.3 有色噪声有色噪声 功率谱密度不均匀分布的噪声，称为有色噪声。功率谱密度不均匀分布的噪声，称为有色噪声。 有色噪声的功率谱密度通常用高斯谱模型，因为高有色噪声的功率谱密度通常用高斯谱模型，
12、因为高 斯谱的均值即为谱中心频率，而方差反映噪声的谱宽度。斯谱的均值即为谱中心频率，而方差反映噪声的谱宽度。 2.7 信号和随机参量信号及其统计描述信号和随机参量信号及其统计描述 2.7.1 信号的分类信号的分类 信号有多种分类方法，我们这里分为：信号有多种分类方法，我们这里分为： 1. 确知信号确知信号 :如果信号中所含的所有参量都确知，则如果信号中所含的所有参量都确知，则信号仅为时间的函数，这类信号称为确知信号。信号仅为时间的函数，这类信号称为确知信号。 举例：常数举例：常数 A 式中，振幅式中，振幅 ，频率，频率 ，相位，相位 确知，或者是时间的确确知，或者是时间的确定函数。定函数。 2
13、. 参量信号参量信号 ：指信号中含一个或一个以上的参量未：指信号中含一个或一个以上的参量未知的或随机的。称为随机参量信号或未知参量信号。知的或随机的。称为随机参量信号或未知参量信号。 (1) 具有未知或随机参量的信号具有未知或随机参量的信号 s t tttats 0cos ta0 t s t； 举例：未知或随机参量举例：未知或随机参量 (2) 随机相位信号随机相位信号 式中，振幅式中，振幅 ，频率，频率 是确知参量，但相位是确知参量，但相位 是是 随机参量。随机参量。 (3) 随机振幅和随机相位信号随机振幅和随机相位信号 式中，频率式中，频率 是确知参量，振幅是确知参量，振幅 和相位和相位 是
14、是 随机参量。随机参量。 (4) 随机频率信号随机频率信号 m tttats 0cos； ta0 t ttta ,ats 0cos；0 ta t tttats 0cos0； 针对上面几种不同形式的随机参量信号，分针对上面几种不同形式的随机参量信号，分别对随机参量信号的统计特性进行讨论。别对随机参量信号的统计特性进行讨论。2. 2. 随机相位信号随机相位信号 随机相位信号是最常碰到的随机参量信号。其统计随机相位信号是最常碰到的随机参量信号。其统计特性通常用均匀分布模型来描述，即特性通常用均匀分布模型来描述，即 随机相位信号中引起相位随机性的因素很多：如：随机相位信号中引起相位随机性的因素很多：如
15、：高频调制信号本身的初始相位具有随机性，发射站和接高频调制信号本身的初始相位具有随机性，发射站和接收站之间距离的瞬时变化，电磁波在信道中传输速度收站之间距离的瞬时变化，电磁波在信道中传输速度c c的的随机起伏，引起信号延迟时间产生随机起伏。随机起伏，引起信号延迟时间产生随机起伏。 ， 021 p随机相位的通用模型为随机相位的通用模型为 见图见图2.122.12。 ， 0I2cosexp0 |p图图2.122.12随机相位分布数学模型随机相位分布数学模型p(|p(|) )曲线曲线 ， 0002exp222aaaaapaa 信号振幅的随机性与相位的随机性是相互统计独立信号振幅的随机性与相位的随机性
16、是相互统计独立 的，即的，即 pap,ap 4. 4. 随机频率信号随机频率信号 信号传输过程中频率受到扰动，多普勒信号传输过程中频率受到扰动，多普勒频率，非线性失真产生的高次谐波等都会使信频率，非线性失真产生的高次谐波等都会使信号的频率具有随机性。号的频率具有随机性。 信号频率的随机性通常认为在信号频率的随机性通常认为在 范围内服从均匀分布。范围内服从均匀分布。 21 ,2.7.32.7.3窄带信号分析窄带信号分析 图2.13正交相位检波器图2.13正交相位检波器2.8.12.8.1窄带噪声的描述窄带噪声的描述2.8.22.8.2窄带高斯噪声的统计特性窄带高斯噪声的统计特性2.8.22.8.
17、2窄带高斯噪声的统计特性窄带高斯噪声的统计特性图2.14窄带高斯噪声包络的PDF曲线(2n=1)2.9.2信号加窄带高斯噪声的统计特性图2.15信号加窄带高斯噪声包络的PDF曲线(2n=1)图2.16信号加窄带高斯噪声相位的PDF曲线(2n=1) 第第2章章 主要内容小节主要内容小节2.2 随机变量、随机矢量及其统计描述随机变量、随机矢量及其统计描述 随机变量、随机矢量的完整数学描述是其概率密度函随机变量、随机矢量的完整数学描述是其概率密度函数数 、 ；概率密度函数的主要特性。；概率密度函数的主要特性。 随机变量、随机矢量函数的概率密度函数，由一维、随机变量、随机矢量函数的概率密度函数，由一维
18、、 N 维雅可比变换求得。维雅可比变换求得。 随机变量函数的均值随机变量函数的均值2.3 随机过程及其统计描述随机过程及其统计描述 随机过程的完整数学描述是任意随机过程的完整数学描述是任意N 1和任意时刻和任意时刻 其采样所得随机变量的概率密度函数其采样所得随机变量的概率密度函数 。 xp xp xgy xxpxgyEyd ）（N,ktk21 NNt ,t ,tx,x,xp2121； 随机过程的主要统计特性：平稳特性及其关系；均随机过程的主要统计特性：平稳特性及其关系；均 值、均方值、方差、自相关函数、协方差函数的定义、值、均方值、方差、自相关函数、协方差函数的定义、 概念及其相互之间的关系；
19、相互正交性、互不相关性和概念及其相互之间的关系；相互正交性、互不相关性和相互统计独立性的定义、概念及其相互之间的关系。相互统计独立性的定义、概念及其相互之间的关系。 平稳随机过程功率谱密度的概念及其与自相关函数平稳随机过程功率谱密度的概念及其与自相关函数 构成傅里叶变换对定理。构成傅里叶变换对定理。2.5 线性系统对随机过程的响应线性系统对随机过程的响应 若输入若输入 是平稳随机过程，则响应是平稳随机过程，则响应 也是平稳也是平稳 随机过程。随机过程。 响应响应 的均值的均值 tx ty ty xxyHtth 0d 响应响应 的自相关函数的自相关函数 响应响应 的功率谱密度的功率谱密度2.6
20、高斯噪声、白噪声和有色噪声高斯噪声、白噪声和有色噪声 高斯噪声是最常用的噪声模型；其概率密度函数由均高斯噪声是最常用的噪声模型；其概率密度函数由均 值和方差或由均值矢量和协方差矩阵决定；高斯随机矢值和方差或由均值矢量和协方差矩阵决定；高斯随机矢 量各分量之间的互不相关性与统计独立性的等价性。量各分量之间的互不相关性与统计独立性的等价性。 白噪声的定义：白噪声的定义： ；频域、时域；频域、时域 特性：功率谱均匀分布，任意不同时刻采样互不相关。特性：功率谱均匀分布，任意不同时刻采样互不相关。 高斯白噪声：时域采样服从高斯分布，频域的功率谱高斯白噪声：时域采样服从高斯分布，频域的功率谱 密度为均匀分
21、布；频域、时域特性：功率谱均匀分布，密度为均匀分布；频域、时域特性：功率谱均匀分布， ty hhrrxy ty xyPHP2 2200NrNPnn ； 任意不同时刻采样互不相关，也相互统计独立；任意不任意不同时刻采样互不相关，也相互统计独立；任意不同时刻采样服从高斯分布。同时刻采样服从高斯分布。 有色噪声的功率谱密度是不均匀的，常用的是高斯谱有色噪声的功率谱密度是不均匀的，常用的是高斯谱模型。模型。2.7 信号和随机参量信号及其统计描述信号和随机参量信号及其统计描述 确知信号，表示为确知信号，表示为 ； 随机参量信号，表示为随机参量信号，表示为 ，其中，其中 代表信号的代表信号的 随机（未知）
22、参量。随机（未知）参量。 习习 题题 2.5 2. 7 2. 9 2.12 2.18 2.31 ts ts；2.6.4 电噪声的基础知识 (补充知识)1 噪声及其统计特征 噪声与干扰。限制信号检测系统灵敏度等性能的决定性噪声与干扰。限制信号检测系统灵敏度等性能的决定性因素。因素。 下面简要介绍噪声分析的数学基础以及电噪声主要统计下面简要介绍噪声分析的数学基础以及电噪声主要统计特征，包括概率分布密度、功率谱密度及相关函数等。了解特征，包括概率分布密度、功率谱密度及相关函数等。了解并掌握这些统计特征量，就可以采取方法对信号进行各种处并掌握这些统计特征量，就可以采取方法对信号进行各种处理，从而实现从
23、噪声中提取微弱信号。理，从而实现从噪声中提取微弱信号。 1.1 1.1 噪声的概率分布噪声的概率分布 电路中噪声是一种电路中噪声是一种连续型随机变量连续型随机变量，概率分布密度，概率分布密度p p（n n）表示噪声电压表示噪声电压n n( (t t) )在在t t时刻取值为时刻取值为n n的概率。噪声属于一种的概率。噪声属于一种随机随机过程过程。2112()( )nnP nnnp n dn ( )E nnp n dn2 ( )( )D nnE np n dn22( ) D nE nE nE E n n2 2 称为噪声的二阶中心矩称为噪声的二阶中心矩。 电路处于稳定状态时，噪声的方差和数学期望一
24、般不再随时电路处于稳定状态时，噪声的方差和数学期望一般不再随时间变化，这时噪声电压称为间变化，这时噪声电压称为广义平稳随机过程广义平稳随机过程。若噪声的概率分。若噪声的概率分布密度不随时间变化，则称为布密度不随时间变化，则称为狭义平稳随机过程（或严格平稳随狭义平稳随机过程（或严格平稳随机过程）机过程）。一个严格平稳随机过程一定为广义平稳随机过程，反。一个严格平稳随机过程一定为广义平稳随机过程，反之则不然。之则不然。 噪声统计特征量： 电路中遇到的噪声还具有各态经历性质电路中遇到的噪声还具有各态经历性质，就是其统计平均可，就是其统计平均可以用时间平均来计算。以用时间平均来计算。 如果一个随机过程
25、中具有各态经历的随机过程，将会给噪声如果一个随机过程中具有各态经历的随机过程，将会给噪声计算及测量带来很大方便。计算及测量带来很大方便。 若没有特别申明，均把电噪声看成是具有各态经历过程，自若没有特别申明，均把电噪声看成是具有各态经历过程，自然它然它也是一种广义平稳随机过程也是一种广义平稳随机过程。 2221lim( )2TTTE nnn t dtT1 lim()2TTTEnnnt dtT 2221()( )exp22nnnap n2 , ( )nE naD n线性电路中噪声电压的概率分布密度pn一般符合高斯正态分布 a为电噪声的平均值，通常a=0；n2为电噪声的交流功率，n2越大，表示噪声越
26、强。电噪声在任何瞬间均可能取小于电路限幅之内的各种数值，取值越大则概率越小 。002021()1exp22nnnnnP nndn 表1-1 高斯噪声在峰值超过n0的概率超过n0的概率p(|n|n0)0.10.010.0010.00010.00010.00001n0/n1.6452.5763.2913.8904.4174.892 任何瞬间电路噪声值基本上是在任何瞬间电路噪声值基本上是在 4 4 n n之间之间，这在噪声测量中，这在噪声测量中有一定实用价值。有一定实用价值。 用示波器观察噪声波形时，能够看到的最大噪声电压峰峰值用示波器观察噪声波形时，能够看到的最大噪声电压峰峰值V Vp-p-p p
27、可以认为是有效值可以认为是有效值 n n的的4 4 2 2倍，被测噪声电压有效值倍，被测噪声电压有效值 n n=V=Vp-pp-p/8/8。测量噪声电压时，测量放大器的动态范围必须大于测量噪声电压时，测量放大器的动态范围必须大于3 3至至4 4倍的被测倍的被测噪声有效值，噪声有效值，否则噪声峰值可能被限幅，使测量带来误差。否则噪声峰值可能被限幅，使测量带来误差。 1.21.2噪声的功率谱密度噪声的功率谱密度 电噪声测量计算主要是噪声功率，噪声功率谱密度是一个主要统电噪声测量计算主要是噪声功率，噪声功率谱密度是一个主要统计特征量。设噪声电压计特征量。设噪声电压n n( (t t) )的功率为的功
28、率为P Pn n，在频率，在频率f f与与f f+ + f f之间的功率之间的功率为为 P Pn n，则噪声的功率谱密度定义为，则噪声的功率谱密度定义为0()limnnfPSff1() ()2nnnPSfdfSd功率谱密度的单位为功率谱密度的单位为V V2 2/Hz/Hz或或A A2 2/Hz/Hz。输出噪声受电路带宽（输出噪声受电路带宽（f f1 1、f f2 2）限制）限制。低噪声放大器的基本要求是在信号频带范围内尽量降低输出噪声功率低噪声放大器的基本要求是在信号频带范围内尽量降低输出噪声功率谱密度，带宽限制在能使信号的特征频谱分量通过即可。谱密度，带宽限制在能使信号的特征频谱分量通过即可
29、。 单边功率谱密度为单边功率谱密度为 ( )2( ), 0( )0, 0nnnFfSffFff0( )nnPFf df电路中遇到的噪声一般具有平坦的功率谱密度，称白噪声。电路中遇到的噪声一般具有平坦的功率谱密度，称白噪声。实际上，严格的实际上，严格的白噪声是没有的，因为白噪声意味着具有无限大的噪声功率。白噪声是没有的，因为白噪声意味着具有无限大的噪声功率。电路中存在另一类噪声，其电路中存在另一类噪声，其S Sn n( (f f) )不是常数，称有色噪声不是常数，称有色噪声。像电子器件中经常。像电子器件中经常存在的存在的1/1/f f噪声，其功率谱密度噪声，其功率谱密度S Sn n( (f f)
30、 ) 1/1/f f，这种噪声有很强的低频成分，称，这种噪声有很强的低频成分，称为为低频噪声或红噪声低频噪声或红噪声。以后还可以遇到晶体管在。以后还可以遇到晶体管在f f很大时的噪声，其功率谱很大时的噪声，其功率谱密度密度S Sn n( (f f) ) f f2 2，这种噪声有很强的高频成分，称为，这种噪声有很强的高频成分，称为高频噪声或蓝噪声高频噪声或蓝噪声。 电路噪声可能有白色高斯噪声，也可能有白色非高斯噪声，还可能有既电路噪声可能有白色高斯噪声，也可能有白色非高斯噪声，还可能有既非白色，又非高斯分布的噪声。非白色，又非高斯分布的噪声。 线性电路中噪声一般是高斯白噪声，仅在很高频或低频时才
31、可能可出现线性电路中噪声一般是高斯白噪声，仅在很高频或低频时才可能可出现有色噪声。有色噪声。 而非线性电路（例如：高斯噪声经检波后输出）一般为非高斯噪声，常而非线性电路（例如：高斯噪声经检波后输出）一般为非高斯噪声，常见的有瑞利分布、莱斯分布等。见的有瑞利分布、莱斯分布等。 1.3 1.3 噪声相关函数噪声相关函数噪声在不同时刻取值之间的相关性，是电噪声的一个主噪声在不同时刻取值之间的相关性，是电噪声的一个主要统计特征。要统计特征。噪声自相关函数噪声自相关函数112( , 2) ( ) ( )nR t tE n t n t对于具有各态经历的平稳随机过程，统计平均（或称集平均）对于具有各态经历的
32、平稳随机过程，统计平均（或称集平均）可用时间平均表示，由于统计特征量与时间起点无关，可以令可用时间平均表示，由于统计特征量与时间起点无关，可以令t t1 1= =t t，t t2 2= =t t1 1- - ，则，则R Rn n( (t t1 1, t, t2 2)= R)= Rn n( (t t, , t t- - ) )，简记为，简记为R Rn n( ( ) )。平平稳随机过程的噪声自相关函数为：稳随机过程的噪声自相关函数为：( ) ( ) ()1 lim( ) ()2nTTTRE n t n tn t n tdtT自相关函数具有下列重要特性（1）Rn()仅与时间差有关，而与t计算时间的起
33、点无关。（2）Rn()随的增加，逐渐衰减，表示在时间上相关性逐渐 减少。特别是对零均值噪声，当时，Rn()0。（3）Rn()是一种偶函数，即Rn()=Rn(-)( ) ( ) ()1 lim( ) ()2nTTTRE n t n tn t n tdtT21(0)lim( ) ( )2TnTTRn t n t dtE nT（4）当=0时Rn()具有最大值，且特别当En=0时， Rn0= Dn=n2 噪声的功率谱密度Sn()及自相关函数Rn()是随机过程重要的统计特征量，称为二阶统计特征。由于高斯过程高阶统计量为零，这两个统计特征量对于一个高斯过程来说完全足够，但对于非高斯过程则是高阶统计量研究。
34、平稳随机过程自相关函数R()及功率谱密度S(f)之间满足傅里叶变换关系（为一般起见，下标n省略），这就是著名的维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理：1( )( )2jRSeddeRfSj)()( ( ) R( )S f dfd 及0( )2( )cosRS fdf0( )2( )cosS fRd 由于R()及S(f)均为偶数，故噪声的互相关函数1212( , ) ( ) ( )xyRt tE x t y t对于具有各态经历的平稳随机过程，则Rxy(t1, t1)可以写成Rxy()，其中t1=t，t2=t-，其互相关函数可表示为： 1( )lim( ) ()2TxyTTRx t y
35、 tdtT1( )lim() ( )2TxyTTRx ty t dtT两个随机过程互不相关时，则一定有Rxy()=Ryx()=0。例如，被检测信号与系统的观察噪声之间不存在相关性，因此采用互相关方法有利于抑制观察噪声。互相关函数具有下列重要特性： （1）Rxy()仅与时间差有关，而与计算时间t的起点无关。 （2）Rxy()=Rxy(-) （3）( )(0)(0)xyxyRRR两个随机过程的互功率谱密率Sxy()及Syx()互相关函数之间傅里叶变换：1( )( )2( )( )jxyxyjxyxyRSedSRed1( )( )2( )( )jyxyxjyxyxRSedSRed互相关函数特性对于从
36、噪声中检测微弱信号极为有用。互相关器，输入信号为两路，x(t)=s(t)+n(t)为被检测的信号及混入的观察噪声；y(t)为参考信号，要求与被检测信号s(t)相关。1( )lim ( )( ) ()2 ( )( )( )TxyTTsynysyRs tn ty tdtTRRR1-4 1-4 常见的电噪声统计特征常见的电噪声统计特征随机正弦信号随机正弦信号参量参量U Um m， 0 0或或 具有随机变量，则称此种信具有随机变量，则称此种信号为随机正弦信号。最常见的随机正弦信号是相位号为随机正弦信号。最常见的随机正弦信号是相位 为随机变为随机变量，又称随机相位正弦信号。量，又称随机相位正弦信号。 0
37、( )sin()ms tUt1( ),022p 2001sin()02mE sUtd220001( )sin()sin()2smRUttd20( )cos2msUR 212)(sin2002dt02)cos()sin(2000dtt随机相位正弦波的二阶统计特征不随时间变化，因此是属于广义平稳随机过程。特别是因为时间平均与集平均完全相同，是具有各态经历的平稳随机过程。2001( )limsin()sin()2TsmTTRUttdtT20cos2mU 具有随机幅度及相位的正弦信号不属于各态经历的平稳随机过程 具有随相相位的正弦信号自相关函数 j2j0( )( )cos2smSRedUed 200(
38、 )()()2mUS j1( )2xxed白噪声0( )2nNSjj01( )( )24nnRSedNed0( )( )2nNR N 0为白噪声的单边功率谱密度 图1-5为白噪声的功率谱密度及自相关函数。可见，白噪声具有一个明显的特征，即不同时刻取值是不相关的。这对白噪声中取信号极为有用。 自相关函数计算电路，输入信号为x(t)=s(t)+n(t)，其中s(t)为被测信号；n(t)为观察噪声。自相关输出就是自相关函数，即 1( )lim( )( )()()2( )( )( )( )TTTssnnsnRs tn ts tn tdtTRRRR)()()(nsRRR观察噪声n(t)为白噪声，则只要延
39、时 0，则一定有Rn()=0.)()(sRR实际上很难有理想白噪声，此时Rn()为一种衰减的曲线，见图1-7。此时要做到Rn()足够小，则必有一定值。令Rn()的相关时间e定义为 0( )( )(0)( )nnennRRdRR显然，白噪声的Rn()=0（当 0），即即e=0 。e越大，表示Rn()越大，即表示该噪声不同时刻的相关性越大。因此，要充分减小Rn()，则须要求延迟电路的 e。 限带白噪声 限带白噪声是指白噪声经滤波器输出的噪声，因此其噪声功率谱密度占据一定带宽。图1-8（a）为低频限带白噪声，其带宽为B。根据维纳-辛钦定理，则限带白噪声的自相关函数为2020( )4sin22BjnB
40、NRedBN BB 00(0)2BnBNRdfN BRn(0)= N0B为限带白噪声功率。 00( )( )(0)( )sin2124nnennRRdRRBdBB B越大，则e越小，当B时，即为白噪声情况，故e=0 窄带噪声 窄带噪声是指噪声通过带通滤波器输出。带通滤波器的带宽远小于中心频率0，输出窄带噪声，可以认为通带内为白噪声。 00sin( )cosnBRN BB 图1-9(b)为窄带噪声的自相关函数，其相关时间e=1/2B。由图可见，窄带噪声的自相关函数可以看成由慢变化部分a()=N0BsinB/B及快变化部分cos0组成，即可表示为0( )( )cos( )n tA ttt0( )(
41、 )cosnRa 窄带噪声从波形来看也有一定特点，这是因为窄带噪声为噪声经窄带带通滤波器输出，所以可以看成很多频率接近0的正弦波合成，相当是一种随机调幅调频波，如图1-10所示。它可以表示为 式中A(t)及(t)分别表示随机振幅及随机相位。通常信号检测系统中经窄带滤波器后往往要经检波或鉴频才能提取需要的信息，例如，收音机中就是如此。因此，随机振幅A(t)及随机相位(t)的统计特征也是很重要的，因为它们直接决定了检波器或鉴频器输出噪声。 00( )( )cos( )sincsn tn ttn tt22( )( )( )( )( )( )csscA tn tn tn ttarctgn t（1 1）
42、n nc c( (t t) )及及n ns s( (t t) )的统计特征的统计特征 对对n nc c( (t t) )求一阶导数，考虑到求一阶导数，考虑到n nc c( (t t) )及及n ns s( (t t) )为慢变化部分，忽略为慢变化部分，忽略( )( )csn tn t及1000( )( )sin( )coscsn tn ttn tt 1000( )( )cos( )sincn tn ttn tt1000( )( )cos( )sinsn tn ttn tt只要只要n n( (t t) )为高斯噪声，则为高斯噪声，则n nc c( (t t) )及及n ns s( (t t) )
43、也是高斯噪声也是高斯噪声 )()()()()(atntnEtntnEsscc0)(, 0)(tnEtnEsc0)()(21tntnEcsn nc c( (t t) )及及n ns s( (t t) )为互不相关的零均值高斯噪声，而且具有为互不相关的零均值高斯噪声，而且具有相同的自相关函数。相同的自相关函数。 可以根据可以根据n nc c( (t t) )，n ns s( (t t) )的概率分布，求出的概率分布，求出A A( (t t) )及及 ( (t t) )的的概率分布。为此，先写出概率分布。为此，先写出n nc c及及n ns s的二维概率分布。的二维概率分布。n nc c及及n ns
44、 s为互相独立的高斯分布，且其均值为零，方差为互相独立的高斯分布，且其均值为零，方差 2 2=a=a(0)=(0)=N N0 0B B，故，故22222exp21)()(),(scscscnnnnnn二维概率密度转换公式为),(),(scnnJApAAAAAAAJsinsincoscos22222222exp22exp2),(AAnnAApsc0,2exp),()(22220AAAdApAp20 ,21),()(0dAApp随机振幅服从瑞利分布，随机相位服从均匀分布。瑞利分布是随机过程中一种十分重要的概率分布形式。均值（数学期望）及方差分别为： 2AE 224ADnsSource: Dave Allan“With five parameters I can fit an elephant.”- “With five parameters I can fit an elephant.”- EnricoEnrico Fermi Fermi
