1、二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分的审敛法 函数 第五五章 一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法定理定理1.,0)(, ),)(xfaCxf且设若函数xattfxFd)()(.d)(收敛则反常积分axxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,),上有上界在a证证:,0)(xf,),)(上单调递增有上界在axF根据极限收敛准则知 xaxxttfxFd)(lim)(lim存在 ,.d)(收敛即反常积分axxf定理定理2
2、 . (比较审敛原理), ),)(aCxf设有分大的x且对充)()(0 xgxf, 则收敛xxgad)(收敛xxfad)(发散xxfad)(发散xxgad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 不失一般性 ,),时设 ax)()(0 xgxf,d)(收敛若xxga有则对at xxftad)(xxgtad)(xxgad)(的是故txxftad)(因此 单调递增有上界函数 , xxfxxfatatd)(d)(lim.d)(收敛即反常积分xxfa机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,d)(发散若xxfa时有因为at xxgxxftatad)(d)(0,t令.)(必发散可见反常积分xdxga说
3、明说明: 已知xxapd11,p收敛1,p发散)0( a,)0()(作比较函数故常取AxAxgp得下列比较审敛法.极限存在 ,定理定理3. (比较审敛法 1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),)(aCxf设非负函数,0) 1M若存在常数有使对充分大的xpxMxf)(;d)(收敛则xxfa,0)2N若存在常数有使对充分大的xpxNxf)(.d)(发散则xxfa, 1p, 1p. )0( a例例1. 判别反常积分xxxd1sin1342解解:的敛散性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 3421sin0 xx341x341x由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .思考题思考题: 讨论反常积分x
4、xd11133的敛散性 .提示提示: 当 x1 时, 利用 11) 1(1113333xxx可知原积分发散 .定理定理4. (极限审敛法1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0)(, ),)(xfaCxf且若;d)(收敛时xxfa.d)(发散时xxfalp0, 1lp0, 1lxfxpx)(lim则有: 1) 当2) 当证证:,1时当p根据极限定义 , 对取定的,0当 x 充分大时, 必有lxfxp)(, 即pxMxf)(0)(lM;d)(收敛可见xxfa满足当机动 目录 上页 下页 返回 结束 .d)(发散可见xxfa,1时p可取,0必有lxfxp)(即pxlxf)()(lNxN,0l使
5、时用任意正l (, )lN 代替数pxxpxxfxfx1)(lim)(lim注意注意: 此极限的大小刻画了.0)(的快慢程度趋于时xfx例例2. 判别反常积分121dxxx的敛散性 . 解解:2211limxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 11lim21xx1根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 . 例例3. 判别反常积分xxxd11223的敛散性 . 解解:21lim2321xxxx221limxxx1根据极限审敛法 1 , 该积分发散 . 定理定理5.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,d, ),)(收敛）（且若axxfaCxf.d)(收敛则反常积分axxf证：证：, )()()
6、(21xfxfx令则)()(0 xfx ,d 收敛）（axxf,d)(也收敛axx)()(2)(xfxxfxxfxxxxfaaad)(d)(2d)(而.d)(收敛可见反常积分xxfa定义定义. 设反常积分,d)(收敛xxfaxxfad)(,d)(收敛若axxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称绝对收敛 ; xxfad)(,d)(发散若axxf则称条件收敛 . 例例4. 判断反常积分)0,(dsin0abaxbxexa为常数的敛散性 .解解:,sinxaxaexbe因,d0收敛而xexa根据比较审敛原理知,dsin收敛axaxbxe故由定理5知所给积分收敛 (绝对收敛) .无界函数的反常积
7、分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法,)(, ,()(的瑕点为设xfabaCxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义 babaxxfxxfd)(limd)(0则有令,1tax例如1120d)1(limd)(abtttafxxfbaabtttaf12d)1(因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来 .定理定理6. (比较审敛法 2)定理3 目录 上页 下页 返回 结束 为设非负函数abaCxf, ,)(,0) 1M若存在常数qaxMxf)()(;d)(收敛则xxfba,0)2N若存在常数axNxf)(.d)(发散则xxfb
8、a, 1q瑕点 ,有有利用xaxbaqd)(11,q收敛1,q发散有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法. 使对一切充分接近 a 的 x ( x a) .定理定理7. (极限审敛法2)定理4 目录 上页 下页 返回 结束 ，且若0)(, ,()(xfbaCxf;d)(,收敛时xxfba.d)(,发散时xxfbalq0, 10lq0, 1lxfaxqx)()(lim则有: 1) 当2) 当例例5. 判别反常积分.lnd31的敛散性xx解解:,1为瑕点此处x利用洛必达法则得xxxln1) 1(lim1xx111lim1根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .例例6. 判定椭圆积分定理4 目录 上页
9、 下页 返回 结束 ) 1()1)(1 (d210222kxkxx散性 . 解解:,1为瑕点此处x由于 1limx的敛21) 1( x)1)(1 (1222xkx)1)(1 (1lim221xkxx)1 (212k根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 . 类似定理5, 有下列结论:,)(d)(baaxxf收敛为瑕点若反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 判别反常积分xxxdln10的敛散性 .解解:,d)(baxxf收敛称为绝对收敛 . ,0为瑕点此处x,0lnlim410 xxx因, 1ln,41xxx 有的故对充分小从而 4141lnlnxxxxx411x据比较审敛法2,
10、所给积分绝对收敛 .则反常积分 三、三、 函数函数1. 定义定义:函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面证明这个特殊函数在0s内收敛 . 1121011d,dxexIxexIxsxs.) 11I讨论)0(d)(01sxexsxs令;,11是定积分时当Is ,10时当 sxsxsexex1111sx11, 11s而.21收敛知根据比较审敛法I)(的反常积分含参变量s机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(1xsexxsxex1lim.)22I讨论2lim xx0112d xexIxs.12收敛知根据极限审敛法I综上所述 , 21)(IIs.0上收敛在s2. 性质性质(1) 递推公式机动 目
11、录 上页 下页 返回 结束 证证: 0d) 1(xexsxs)0()() 1(ssss(分部积分)0dxsex01d0 xexsexxsxs)(ss注意到:0d) 1 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!n(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: ,) 1()(sss.)(,0ss时当1) 1 (,0)(连续在且可证明ss)(,0ss时(3) 余元公式: ) 10()sin()1 ()(ssss有时当,21s)(21(证明略)(4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 得令,2ux 的其他形式)(s)0(d)(01sxexsxs)0(d2)(012
12、2suuessu,12ts再令,21 ts即得应用中常见的积分) 1(2121d02ttueuut这表明左端的积分可用 函数来计算.例如,0d2ueu21212内容小结内容小结 1. 两类反常积分的比较审敛法比较审敛法和极限审敛法极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课 目录 上页 下页 返回 结束 可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛 .3. 函数的定义及性质 .思考与练习思考与练习P263 题1 (1), (2), (6), (7) P264 题5 (1), (2) 作业作业P263 1 (3), (4), (5), (8)2 ; 3
