1、习题课1. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、体积、 弧长、 表面积 .物理方面物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、2. 基本方法基本方法 : 微元分析法微元形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.转动惯量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第六六章 例例1. 求抛物线21xy在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为)1 ,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1 (2xXxxY它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2) 1(21221
2、02d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且为最小点 . 故所求切线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一驻点33x11MBAyx, 1 , 0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axxfxfx
3、23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得机动 目录 上页 下页 返回 结束 又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小点,因此5a时 V 取最小值 .xoy1xoy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明曲边扇形),(0,0rr 绕极轴.dsin)(323rVox)(rr xdrd证证: 先求d,上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积.doxV体积微元rrddrsin2 ro
4、xVddsin2rrrd)(02dsin)(323r故dsin)(323rVox旋转而成的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy224xxyo)d5(dxu 故所求旋转体体积为xxxd5)2(225157516xxxVd5)2(222051uVdd2APxd2ud例例4. 求由xy2与24xxy所围区域绕xy2旋转所得旋转体体积.解解: 曲线与直线的交点坐标为),4,2(A曲线上任一点)4,(2xxxP到直线xy2的距离为xx2251),(2如图为数轴以uxy u则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 半径为 R , 密度为的球沉入深为H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密
5、度多少功 ? 解解: 建立坐标系如图 .则对应d,xxx上球的薄片提到水面上的微功为1dWxy d2提出水面后的微功为2dW)(dg2xRxyxxRxRd)(g22,0 xxRHxRd)(g)(220H),(yxxyxo现将其从水池中取出, 需做微元体积所受重力上升高度g)(0)(xRH机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此微功元素为21dddWWWxxRd)( g22球从水中提出所做的功为WxxRxRHRRd)()()( 2200g“偶倍奇零偶倍奇零”xxRRd)(220g)(34003RHR)( g200RHH)(0)(0 xR Hxoyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设
6、有半径为 R 的半球形容器如图.(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最少应为多少 ? 解解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为2x22yyR hR设经过 t 秒容器内水深为h ,. )(thh 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyhR(1) 求thdd由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素:yx d2222yyRx)(hVyyRyhd)2(20故有t ayyRyhd)2(20两边对 t 求导, 得)2(2hRhthddathdd)2(2hRhaat (升) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 将满池水全部抽出所做的最少功 为将全部水提对应于d,yyyyx d2微元体积:微元的重力 :yx dg2薄层所需的功元素oxRyWdyx dg2)(yR yyRyRyd)(2(g2故所求功为WR0gyyyRyRd)32(3224g4Ry到池沿高度所需的功.机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P288 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9机动 目录 上页 下页 返回 结束
