1、全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、全微分方程一、全微分方程二、积分因子法二、积分因子法 第十二章 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),( 为全微分方程 则求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .一、全微分方程一、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxyxo例例1
2、. 求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因为yP236yyx ,xQ故这是全微分方程. , 0, 000yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0 ,(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解. 将方程改写为0ddd2xxyyxxx即, 0d21d2xyx故原方程的通解为021d2xyx或Cxyx221,xQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、积分因子法二、积
3、分因子法思考思考: 如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程 ,12x就化成例2 的方程 .,0),(yx使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx为全微分方程,),(yx则称在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘0d),(d),(yyxQxyxP若存在连续可微函数 积分因子.例2 目录 上页 下页 返回 结束 常用微分倒推公式常用微分倒推公式:)(ddd) 1 yxyx )(ddd)2xyyxyx)(ddd)3yyxx)(2221yx )(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyx
4、xyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan)(ddd)822yxyyxx22yx 积分因子不一定唯一 .0ddyxxy例如, 对可取,1yx221yx ,21y,21x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解0d)1(d)1(yxyxxyyx解解: 分项组合得)dd(yxxy即0)dd()(d22yyxxyxyx选择积分因子,),(221yxyx同乘方程两边 , 得0dd)()d(2yyxxyxyx即0)lnd()lnd(1dyxyx因此通解为,lnln1Cyxyx即yxeCyx1因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . 0)dd(yxxyyx机动 目
5、录 上页 下页 返回 结束 作业作业P285 1(2), (4), (7); 2(2), (5); 4 习题课1 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 解方程.0d)(dyxyxy解法解法1 积分因子法. 原方程变形为0d)dd(yyyxxy取积分因子21y0ddd2yyyyxxy故通解为Cyyxln此外, y = 0 也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 化为齐次方程. 原方程变形为xyyxyddxyxy1,xuy 令，则uxuyuuuxu1xxuuudd)1 (2积分得Cxuulnln1将xyu 代入 ,Cyyxln得通解此外, y = 0 也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法3 化为线性方程. 原方程变形为11ddxyyx1,1QyPyyexd1 ) 1(yyed1Cy dyyyCd1yCyln其通解为yxxPed)(CxexQxxPd)(d)(即此外, y = 0 也是方程的解.Cyyxln机动 目录 上页 下页 返回 结束
