1、概率空间概率空间电子科技大学第一章第一章 概率论概要概率论概要概率空间概率空间随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量的函数随机变量的函数* 随机变量的数字特征随机变量的数字特征* 特征函数特征函数概率空间概率空间电子科技大学1.1 概率空间概率空间一、随机事件的公理化定义一、随机事件的公理化定义 回顾初等概率论中引进古典概率、几何回顾初等概率论中引进古典概率、几何概率等定义，有如下问题：概率等定义，有如下问题： 1) 联系于随机试验联系于随机试验E的样本空间的样本空间的结的结构？构？ 2) 对于随机试验对于随机试验E的样本空间的样本空间,是否是否的每一个子集的每一个子集( (事件事件) )都
2、能确定概率都能确定概率? ?概率空间概率空间电子科技大学 定义定义1.1.1( (代数代数) )：设随机试验：设随机试验E 的样本的样本空间为空间为, ,F 是是的子集组成的集族，满足的子集组成的集族，满足(2)若若AF, ,则则 . .（对逆运算封闭）（对逆运算封闭）FA (3) 若若 则则（对可列并运算封闭）（对可列并运算封闭）), 2 , 1( , iFAi 1iiFA可加可加 称称F 为为的一个的一个- -代数代数（事件体）（事件体）, , F 中中的集合称为的集合称为事件事件. .(1) F ; ;概率空间概率空间电子科技大学 Ex.1 在编号为在编号为1,2, , n 的的 n个元
3、件中取一件个元件中取一件. .样本空间为样本空间为1,2, n 构造如下事件构造如下事件:), 2 , 1(nkkAk ,1,2,nskAAAsksk nskiAAAAskiski,1,2, 1. 考虑元件的编号，则全体基本事件为考虑元件的编号，则全体基本事件为概率空间概率空间电子科技大学),1,2,(121,1211n21niiiAAAAniiiiiin ,121, niiiskkAAA 可验证集族可验证集族组成一个组成一个代数代数. 2. 考虑元件是正品或次品，则基本事件为考虑元件是正品或次品，则基本事件为 A1=取到正品取到正品, , A2=取到次品取到次品 ,F21AA 则则 为一个为
4、一个代数代数. .F , .A AA 通通常常称称是是由由 产产生生的的最最简简单单代代数数概率空间概率空间电子科技大学 Ex.2 测量一个零件测量一个零件, ,考虑其测量结果与考虑其测量结果与实际长度的误差实际长度的误差. . 基本事件为基本事件为x, ,样本空间为样本空间为11:RRxx 则则R1 1的子集全体：的子集全体： , ,单点集单点集 x ，一切，一切开的开的, ,闭的，半开闭区间等组成的集族闭的，半开闭区间等组成的集族F是一是一个代数个代数. ., 另外，令另外，令 0:0:21 xxAxxA= =出现正误差出现正误差= =出现负误差出现负误差概率空间概率空间电子科技大学则则
5、为一个为一个代数代数. ,21AAF 注：注：对同一研究对象的同一试验对同一研究对象的同一试验, 试验目的试验目的不同不同, 其样本空间和其样本空间和代数的结构会不同代数的结构会不同. 定义定义1.1.2(可测空间可测空间) 样本空间样本空间和和代数代数的二元体的二元体(, F) 称为可测空间称为可测空间.可测空间有如下可测空间有如下性质性质： 1. ;F 2. 对可列交运算封闭对可列交运算封闭. 若若),1,2,( iFAi概率空间概率空间电子科技大学 1FiiA 证证,11 iiiiAA因因FF iiAA 11FFiiiiAA3. 对有限并对有限并, ,有限交封闭有限交封闭: :若若 则则
6、niAi,1,2,F niiniiAA11FF, 或或概率空间概率空间电子科技大学4. .对差运算封闭对差运算封闭,即即若若 则则 . .,AF BF ABF ABABF 二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义柯氏公理体系是现代概率论的基石柯氏公理体系是现代概率论的基石. 定义定义( (概率概率) )：设设(, F)是一可测空间是一可测空间, ,对对 定义在定义在F上的实值集函数上的实值集函数P(A), 满足满足AF 1) 非负性：对非负性：对 , 0()1;AFP A 2) 规范性规范性: :P() = 1; ;概率空间概率空间电子科技大学3) 完全可加性完全可加性, ,对对 ;,;1,2
7、,F,jiAAiAjii 有有 11)(iiiiAPAP称称P是是(,(,F) )上的上的概率概率( (测度测度),),P(A)是事件是事件A的概率的概率. . 三元体三元体(, F , P)称为称为概率空间概率空间. Ex.3 设某路口到达的车辆数为设某路口到达的车辆数为m, ,基本基本事件为事件为m, ,样本空间样本空间 F是是的的一切子集组成的集族，则一切子集组成的集族，则F是一个是一个代数代数. . ,0,1,2, 概率空间概率空间电子科技大学令令 P( )=0, 并对并对AF 令令 AkkkeAP0,!)(证明证明P为可测空间为可测空间(,(,F) )上的概率测度上的概率测度. .
8、证证 1) 01!kkkkkekeP, 0!0 kekk有有，对，对2) 因因概率空间概率空间电子科技大学; 1!)(0 AkkkkkekeAP3) 设设),( , )1,2,(,FjiAAiAjii iiAkkiikeAP1!1. )(!11 iAkiikiAPke有有概率空间概率空间电子科技大学三、乘积样本空间三、乘积样本空间设设A 和和 B 是两个集合，称是两个集合，称 ByAxyxBA ,:),(为为A与与B 的的积集积集. 定义定义1.1.3 设随机试验设随机试验Ei , i=1,2, n的样本的样本空间分别为空间分别为i , ,i=1,2, n, ,称称12n=(1, 2, n)
9、, i i i=1, 2, , n为为乘积样本空间乘积样本空间.概率空间概率空间电子科技大学 Ex.3 设抛一枚均匀硬币试验设抛一枚均匀硬币试验E1的样本空的样本空间为间为,1HT 掷一颗均匀硬币骰子试验掷一颗均匀硬币骰子试验E2的样本空间为的样本空间为6, 5, 4, 3, 2, 12 先抛一枚均匀硬币先抛一枚均匀硬币,再掷一颗均匀骰子试验再掷一颗均匀骰子试验的样本空间可设为的样本空间可设为=12=(1,2) , i i i=1, 2有有 =(T, i) , = (H, i) , i=1,2, ,6. 概率空间概率空间电子科技大学 Ex.4 n次独立重复抛一枚均匀硬币试验次独立重复抛一枚均匀
10、硬币试验E的样本空间为的样本空间为n=(1, 2, n) , i , i=1, 2, , n=n称为称为的的n维维乘积空间乘积空间.如如 (T, T, H) , (H, T, H) 3=3. 四、概率性质四、概率性质设设(,(,F, P) )是概率空间是概率空间, ,则概率则概率P 有如下性质有如下性质: :概率空间概率空间电子科技大学1) P( )=0;2)有限可加性有限可加性: 若若 )( ,;,1,2,FjiAAniAjii ; )(11 niiniiAPAP则则推论推论1:; 1)()( APAP 推论推论2 (单调性单调性):):若若 ，则，则AB P(AB)=P(A)P(B) 且且
11、),()(BPAP 概率空间概率空间电子科技大学3) 概率的连续性概率的连续性. 0)(lim nnAP则则,1 inA且且若若,21 AAA1AnAn+1证：证： 211 nnnnnAAAAA 1,2,1k nBAAnkknkk概率空间概率空间电子科技大学其中其中B1,B2,互不相容，特别由完全可加性有互不相容，特别由完全可加性有 0)()(11111 kkkkkAAPBPAP收敛级数的余项极限为收敛级数的余项极限为0,( (as ), ),即即 n.0,)()(1 nasAAPAPnkkkn则则且且若若,121AAAAnn 推论推论1： lim()( ).nnP AP A 概率空间概率空间
12、电子科技大学推论推论2： 则则且且若若,121 nnAAAAlim()( ).nnP AP A 证：在推论证：在推论2中中 ,21 BBAABnn则则令令 11)(nnnnAAB且且 AAAAnn1概率空间概率空间电子科技大学0)(lim nnBP nasAPAPn),()(ABn= A An. 0)()()( nnAAPAPAP概率空间概率空间电子科技大学.)1( )()(11111 niinnkikiniiniiAPAAPAPAP推论推论：概率具有次可加性：概率具有次可加性 .11 niiniiAPAP有有设设,1,2,F,niAi 4）多除少补原理）多除少补原理概率空间概率空间电子科技大
13、学五、条件概率五、条件概率)()()(BPABPBAP 定义：定义：设设(,F, P)是概率空间，是概率空间，A, BF，且且P(B)0 称为已知事件称为已知事件B发生的条件下，事件发生的条件下，事件A 发生的发生的条件概率条件概率.概率空间概率空间电子科技大学1;)()2 BP. )(11 iiiiBAPBAP则则且且),( ,1,2,F)3jiAAiAjii 条件概率条件概率是概率是概率. .; 1)(0F,)1 BAPA 定理：定理：设设(, F, P)是概率空间是概率空间,BF,且且P(B)0,则对则对 有有 对应对应, 集函数集函数 满足三条公理满足三条公理: : )(BAPF, A)( BP 概率空间概率空间电子科技大学六、全六、全概率公式与概率公式与Bayes公式公式 定理定理 设设 (,F, P)是概率空间是概率空间,若若 1) A iF, 且且 P(Ai)0 ，(i=1,2, );完备性完备性条件条件.则对任意则对任意BF 有有1) ; )()(1 iiiABPAPBP.,1 jiiiAAA2) 概率空间概率空间电子科技大学 .1,2,)()()()()()21 jABPAPABPAPBAPiiijjj
