1、试卷第 1页，共 5页河北省衡水中学河北省衡水中学 2022 届高三上学期高考模拟卷届高三上学期高考模拟卷（二二）数学试数学试题题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1已知集合( , )0Ax y xy，(1,1),(1, 1),(2,2)B ，则AB （）A(1,1)B(1, 1)C( 1,1)D1, 12如果复数2i12ib（其中i为虚数单位，b为实数）为纯虚数，那么b （）A1B2C4D43“12a”是命题p：(4,)x ，log20ax 成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4 设直线3450 xy与圆221:9Cxy交于A，B两点，
2、 若圆2C的圆心在线段AB上，且圆2C与圆1C相切，切点在圆1C的劣弧AB上，则圆2C的半径的最大值是（）A1B2C3D45 在平行四边形ABCD中，2,1,60ABADA， 点 M 在 AB 边上， 且13AMAB，则DM AC等于（）A13B13C1D26设0 x ，0y ，且2116yxyx，则当1xy取最小值时，221xy（）A8B12C16D1637已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，右顶点为A，上顶点为B，以线段1F A为直径的圆交线段1FB的延长线于点P，若2/F B AP且线段AP的长为22，则该椭圆方程为（）试卷第 2页，共 5页A22142xy
3、B22183xyC22154xyD22184xy8已知函数( )sincosf xxx，( )g xx，直线3944xtt 与函数( )f x，( )g x的图象分别交于N，M两点，记( ) |h tMN，函数( )h t的极大值为（）A32B53C3222D312二、多选题二、多选题9已知(1,2)a ，( 4, )bt ，则（）A若ab，则8t B若ab，则2t C|ab的最小值为 5D若向量a与向量b的夹角为钝角，则2t 10将函数( )2sin()(0)3f xx的图象向左平移3个单位，得到函数( )yg x的图象，若( )yg x在0,4上为增函数，则的值可能为（）A13B2C3D4
4、11如图，棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P为线段1AB上的动点，则下列结论正确的是（）试卷第 3页，共 5页A1APD的最大值为90B1APPD的最小值为22C11DPC DD点P与1A不重合时，平面1A AP 平面11AD P12已知等差数列 na的前n项和为nS，若35a ，59a ，则（）A21nanB2nSnC29nnSa取得最小值时n等于 5D设11nnnba a，nT为 nb的前n项和，则12nT 三、填空题三、填空题13若双曲线22221xyab(a0，b0)的离心率为 2，则其两条渐近线所成的锐角为_.14在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c
5、os2 cos2 coscosbAcBbCaB，则sinsinAC_.15如图，在长方体1111ABCDABC D中，3cmAB ，2cmAD ，11cmAA ，则点1B到平面1ABD的距离为_cm.试卷第 4页，共 5页四、双空题四、双空题16已知函数( )f x满足：定义域为R；对任意xR，有(2)2 ( )f xf x；当 1,1x 时，( )| 1f xx .则(2022)f_； 方程4( )log |f xx在区间 10,10内的解的个数是_个.五、解答题五、解答题17随机抽取某电子厂的某种电子元件 400 件，经质检，其中有一等品 252 件、二等品100 件、三等品 40 件、次
6、品 8 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 元、2 元、1 元，而 1 件次品亏损 2 元.设 1 件产品的利润（单位：元）为X.（1）求 1 件产品的平均利润（即X的数学期望） ；（2）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%，一等品率提高为 70%，如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.75 元，则三等品率最多是多少？18在数列 na中，142nnSa，11a .（1）设2nnnac ，求证数列 nc是等差数列；（2）求数列 na的通项公式.19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan2tanAcbBb.（1）求角A的大小；（2）若2
7、a ，求ABC面积的最大值及此时边b，c的值.20 如图所示的多面体是由三棱锥ABDE与四棱锥DBCFE对接而成， 其中EF 平面AEB，AEEB，/ / /ADEFBC，24BCAD，3EF ，2AEBE，G是BC的中点.试卷第 5页，共 5页（1）求证：BDEG；（2）求平面DEG与平面AEFD所成锐二面角的余弦值.21已知F为抛物线2:2(0)C ypx p的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点当直线与x轴垂直时，| 4AB （1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为 1 且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标22
8、已知函数( )(1)lnf xaxbx的图象在(1,(1)f处的切线为1yx.（1）若函数1( )( )1xg xf xx，求函数( )g x的单调区间；（2）设函数( )exh x 图象上存在一点00,M x h x处的切线为直线l，若直线l也是曲线( )yf x(1,)x的切线，证明：实数0 x存在，且唯一.答案第 1页，共 15页参考答案参考答案1B【分析】根据给定条件结合交集的定义直接计算即可判断作答.【详解】因集合( , )0Ax y xy，(1,1),(1, 1),(2,2)B ，所以(1, 1)AB .故选：B2A【分析】根据给定条件利用复数的除法运算化简复数，再结合复数的分类即
9、可作答.【详解】2i(2i)(1 2i)(22 )(4)i224i1 2i(1 2i)(1 2i)555bbbbbb ，因复数2i12ib为纯虚数，于是得2205b且405b ，解得1b ，所以1b .故选：A3C【分析】分别分析每一个结论后就可以判断.【详解】当12a时，logayx在(4,)上单调递增，而此时2xa，所以(4,)x ，log20ax 成立，因此“12a”是命题p：(4,)x ，log20ax 成立的充分条件；若(4,)x ，log20ax ，则可知1a ，且(4,)x 时，2xa恒成立，因此24a ，从而可得12a，故必要性成立.故选：C4B【分析】根据给定条件可得圆2C与
10、圆1C内切， 再借助两圆内切圆心距等于两圆半径差的绝对值列式，答案第 2页，共 15页然后分析计算作答.【详解】圆221:9Cxy的圆心为原点(0,0)O，半径13r ，依题意，圆2C的圆心2C在圆1C内，设半径为2r，如图，因圆2C与圆1C内切，则212|OCrr，即212|rrOC，而点2C在线段 AB 上，过 O 作OPAB于 P，则22| 5|134OP，显然2| |OCOP，当且仅当点2C与点 P 重合时取“=”，于是得 21max| 3 12rrOP ，所以圆2C的半径的最大值是 2.故选：B5A【分析】作 DEAB 于 E，CFAB 于 F，用=DMDEEM，=ACAFFC进行转
11、化，运算即可.【详解】如图，作 DEAB 于 E，CDAD 于 F，易得12AEBF，32DECF，16EM =DM ACDEEMAFFCDE AFDE FCEM AFEM FC DE FCEM AF31112=4623 .故选：A.6B答案第 3页，共 15页【分析】首先利用基本不等式的性质得到2xy时，1xy取最小值，再计算221xy即可.【详解】0 x ，0y ，当1xy取最小值时，21xy取最小值，222112xxxyyy，2116yxyx，221216xyxyyx，212162416416216xyxxyxyxyyxyyxyx，14xy ，当且仅当416xyyx即2xy时取等号，22
12、2112162164122xyxyyxxyyyxyyy.故选：B7D【分析】推导出12BFF、1APF是等腰直角三角形，可得出122 22AFAPac以及2ac，可求出a、c的值，进而可求得b的值，由此可得出该椭圆的方程.【详解】设椭圆的半焦距为c，因为点P在以线段1F A为直径的圆上，所以1APPF.又因为2/F B AP，所以21F BBF.又因为21F BBF，所以12FF B是等腰直角三角形，于是1F AP也是等腰直角三角形，21F BBFa，222cos452OFcBFa，12F AAP，得2 22ac，解得2 2a ，2c ，得2224bac，答案第 4页，共 15页所以椭圆方程为
13、22184xy.故选：D.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，解答关键就是求出a、b、c的值，考查计算能力，属于中等题.8D【分析】由题意可得( ) | |sincos|(sincos )h tMNtttttt ，利用导数研究其单调性，进一步求得极值得答案【详解】39( ) | |sincos|(sincos )()44h tMNttttttt ，( )1cossin2sin()14h tttt ，由( )0h t，得2sin()42t ，522444ktk ，kZ，解得3342t，或924t 由( )0h t，得2sin()42t ，322444ktk ，kZ，解得322t 所以 h（t）在33
14、42t时单调递增，在322t 时单调递减，在924t 时单调递增，当32t时，函数( )h t有极大值33333()(sincos)122222h故选：D.9BC【分析】A：两向量平行，成数乘关系，坐标成比例；B：两向量垂直，数量积为零；C：当两向量同向时，它们差的模最小；D：两向量夹角为钝角时，数量积为负且夹角不能为 18.答案第 5页，共 15页【详解】由ab，得8t = -，A 不正确；由ab，得420t ，2t ，B 正确；22|( 5)(2)abt，当2t 时，|ab取得最小值 5，C 正确；当0a b时，即420t ，得2t ，当a与b反向时，8t = -，故若向量a与向量b的夹角
15、为钝角，则8t ，或82t ，D 不正确.故选：BC.10AB【分析】根据给定条件求出函数 g x的解析式，进而求出 g x的含有数 0 的单调区间，再借助集合的包含关系列式作答.【详解】依题意，( )2sin ()2sin33g xxx，由22x，0得：22x，于是得( )yg x的一个单调递增区间是,22，因( )yg x在0,4上为增函数，因此，0242,，即有24，解得02，所以，选项 C，D 不满足，选项 A，B 满足.故选：AB11BCD【分析】令12 (01)APtt ，求出1,AP D P即可计算判断 A；把1AAB与矩形11A BCD展开在同一平面内，计算1AD即可判断 B；
16、证明1C D 平面11A BCD可判断 C；由11AD 平面11ABB A可判断 D 作答.【详解】对于 A，在正方体1111ABCDABC D中，连接111,AD CD C D，如图，而1AB ，则12A B ，令12 (01)APtt ，答案第 6页，共 15页在1AAP中，145AAP，由余弦定理得22221( 2 )2 12 cos45221APtttt ，而11A BCD是矩形，则222211( 2 )12D Ptt ，1APD中，12AD ，222111112 (21)cos22APD PADttAPDAP D PAP D P，当102t 时，1cos0APD，即1APD是钝角，A
17、 不正确；对于 B，把1AAB与矩形11A BCD展开在同一平面内，连接1AD交1AB于点P，如图，在1AAD中，1135AAD，由余弦定理得：221112 1 cos13522AD ，因点 P 在线段1AB上，111APPDADAPP D，当且仅当点 P 与P重合时取“=”，所以1APPD的最小值为22，B 正确；对于 C，因11AD 平面11CDDC，1C D 平面11CDDC，则111ADC D，正方形11CDDC中，11CDC D，1111ADCDD，111,AD CD 平面11A BCD，于是得1C D 平面11A BCD，又1D P 平面11A BCD，因此，11DPC D，C 正
18、确；答案第 7页，共 15页对于 D，因11AD 平面11ABB A，而11AD 平面11AD P，于是得平面11ABB A 平面11AD P，即平面1A AP 平面11AD P，D 正确.故选：BCD12ABD【分析】根据给定条件求出等差数列 na的公差 d，再逐项分析计算即可判断作答.【详解】在等差数列 na中，因35a ，59a ，则公差53253aad，则3(3)21naandn，21 (21)2nnSnn，A，B 正确；2229291 (21) 11161117131(21)1321421421222nnSnnnannn，当且仅当1172121nn ，即1 3 132n时取“”，因*
19、Nn，且13 13526，55295469Sa，662965611Sa，则29nnSa取最小值时，n等于 6，C 不正确；因1111()(21)(21)2 2121nbnnnn，则12nnTbbb111111(1)()()23352121nn111(1)2212n，D 正确.故选：ABD133【分析】根据离心率为 2，得到ba，从而得到两条渐近线方程即可.【详解】2ca，224ca，故2224aba，所以3ba，两条渐近线方程为：3yx ，两条渐近线所成的锐角为3.答案第 8页，共 15页故答案为：3【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.1412【分析】
20、利用正弦定理化边为角， 再逆用两角和的正弦公式化简，结合三角形的内角和以及诱导公式即可求解.【详解】因为cos2 cos2 coscosbAcBbCaB，由正弦定理可得：sincos2sincos2sincossincosBACBBCAB，即sincossincos2sincos2sincosBAABBCCB，所以sin2sinABBC，在ABC中，因为ABC，所以sin 2sin CA，即sin2sinCA，所以sin1sin2AC，故答案为：12152 55【分析】利用三棱锥11BABD和三棱锥11DABB体积相等即可得解.【详解】在长方体1111ABCDABC D中，AB 平面11ADD
21、 A，则有1ABAD，又3cmAB ，2cmAD ，11cmAA ，于是有15AD ，1113 522ABDSAB AD，而111,ABBB D A平面1ABB，111322ABBSAB BB，设点1B到平面1ABD的距离为 h，由1111BABDDABBVV得：11111133ABDABBShSD A，即3 53222h ，解得2 55h ，答案第 9页，共 15页所以点1B到平面1ABD的距离为2 55.故答案为：2 55161011211【分析】(1)根据(2)2 ( )f xf x得 f(2022)1011(02 1011)2(0)ff ；(2)根据题意作出 yf(x)和 y4log
22、|x在10，10之间的图像，数形结合即可得答案.【详解】(2)2 ( )f xf x，f(2022)f(20202)2f(2020)2f(20182)22f(2018)10111011(02 1011)2(0)2ff ；在同一坐标系中画出满足条件：定义域为R；xR ，有(2)2 ( )f xf x；当 1x ，1时，( )| 1f xx 的函数( )f x与函数4log |yx的图像：观察图像可得：两个函数的图像共有 11 个交点，则方程4( )log |f xx在区间 10，10内的解的个数是：11故答案为：11答案第 10页，共 15页17（1）4.34；（2）1%.【分析】(1)X 的所
23、有可能取值有 6，2，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列(2)设技术革新后的三等品率为x， 求出此时 1 件产品的平均利润为( )4.76(00.29)E xxx ，由此能求出三等品率的最大值（1）X的所有可能取值有 6，2，1，2.252(6)0.63400P X ，100(2)0.25400P X ，40(1)0.1400P X ，8(2)0.02400P X ，故X的分布列为X6212P0.630.250.10.02()60.6320.251 0.1( 2)0.024.34E X .（2）设技术革新后的三等品率为x，则此时 1 件产品的平均利润为( )60.72(10.
24、70.01)( 2)0.014.76(00.29)E xxxxx .依题意，( )4.75E x ，即4.764.75x，解得0.01x ，三等品率最多为 1%.18（1）证明见解析；（2）2(31) 2nnan.【分析】(1)根据给定的递推公式结合1(N ,2)nnnaSSnn进行变形，再将2nnnac代入整理即可得解.(2)利用(1)的结论求出数列 nc的通项公式即可计算作答.答案第 11页，共 15页（1）在数列 na中，Nn ，142nnSa，则当2n时，有142nnSa，两式相减得：1144nnnaaa，而2nnnac ，即2nnnac，则有111124242nnnnnnccc ，整
25、理得112nnnccc，即112nnnccc，所以数列 nc是等差数列.（2）由142nnSa得：12142aaa，而11a ，则25a ，11122ac ，222524ac ，因此，等差数列 nc公差513424d ，即 nc是以12为首项，34为公差的等差数列，则1331(1)2444ncnn，即3124nnan，于是得：2(31) 2nnan，所以数列 na的通项公式2(31) 2nnan.19 （1）3A； （2）ABC的面积最大值为3，此时2b ，2c .【分析】（1）结合正弦定理化简已知条件，求得cosA，从而求得A的大小.（2）利用余弦定理列方程，结合基本不等式求得4bc ，从而
26、求得三角形ABC面积的最大值，结合基本不等式等号成立的条件求得此时, b c的值.【详解】（1）在ABC中由正弦定理得：2 sincRC，2 sinbRB，tan2sin1tansinACBB，tan2sin1tansinACBB 化简得：cossinsincos2sincosABABCA.即sin2sincosABCAABC，sinsin0ABC，1cos2A ，0A，3A.（2）由余弦定理得2222cosabcbcA，又3A，224bcbc，又222bcbc，4bc ，则113sin43222ABCSbcA ABC的面积最大值为3，当且仅当2bc时等号成立.即此时2b ，2c .答案第 1
27、2页，共 15页20（1）证明见解析；（2）33.【分析】(1)根据给定条件证得EB，EF，EA两两垂直，再建立空间直角坐标系，借助空间向量即可计算推理作答.(2)利用(1)中空间直角坐标系，求出平面DEG与平面AEFD的法向量即可计算作答.（1）依题意，EF 平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，则有EFAE，EFBE，又AEEB，即EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，射线EB，EF，EA分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，因/ / /ADEFBC， 则(0,0,0)E，(0,0,2)A，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,3,0)F，(0,2,2)D
28、，(2,2,0)G，则(2,2,0)EG ，( 2,2,2)BD ，因此，22220BD EG ，即BDEG ，所以BDEG.（2）由(1)知：(2,0,0)EB 是平面AEFD的一个法向量，设平面DEG的法向量为( , , )nx y z，而(0,2,2)ED ，(2,2,0)EG ，则220220n EDyzn EGxy ，令1x ，得(1, 1,1)n ，设平面DEG与平面AEFD所成锐二面角的大小为，答案第 13页，共 15页则|23cos|cos,|3|2 3n EBn EBn EB ，所以平面DEG与平面AEFD所成锐二面角的余弦值是33.21 （1）24yx； （2）1, 2P【
29、分析】（1）由题意可得| 24ABp，即可求出抛物线的方程，（2）设直线AB的方程为1yx，联立241yxyx消去x，得2440yy，根据韦达定理结合直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，即可求出点P的坐标【详解】解： （1）因为(,0)2pF，在抛物线方程22ypx中，令2px ，可得yp 于是当直线与x轴垂直时，| 24ABp，解得2p 所以抛物线的方程为24yx（2）因为抛物线24yx的准线方程为1x ，所以( 1, 2)M 设直线AB的方程为1yx，联立241yxyx消去x，得2440yy设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则124yy，124y y 若点0(P x，0)y满足条
30、件，则2PMPAPBkkk，即0010200102221yyyyyxxxxx，因为点P，A，B均在抛物线上，所以222012012,444yyyxxx代入化简可得00122200120122(2)24()yyyyyyyyyy y，将124yy，124y y 代入，解得02y 将02y 代入抛物线方程，可得01x 于是点(1, 2)P为满足题意的点【点睛】答案第 14页，共 15页本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，属于中档题22（1）( )g x的单调递增区间为(0,1)和(1,)；（2）证明见解析.【分析】(1)根据给定条件结合导数的几何意义求出函数(
31、)f x，再借助导数求出函数( )g x的单调区间.(2)利用导数的几何意义求出直线l，设出l与曲线( )yf x(1,)x相切的切点，写出由该切点所得的切线l，再借助函数 g x性质，结合函数的零点即可推理作答.（1）函数( )f x定义域为(0,)，求导得：( )1bfxax ，因( )f x的图象在(1,(1)f处的切线为1yx，则有(1)10(1)11fafab ，解得11ab，即( )lnf xx，因此，11( )( )ln11xxg xf xxxx，0 x 且1x ，212( )0(1)g xxx，所以函数( )g x的单调递增区间为(0,1)和(1,).（2）由函数( )exh
32、x 得，( )exh x，00()exh x，则切线l的方程为000)ee (xxyxx，即0000eeexxxyxx，设直线l与曲线( )yf x相切于点111)(,)(1lnxxx，由( )lnf xx求导得：1( )fxx，则直线l的方程也为1111lnyxxxx，即111ln1yxxx，因此有：0001011eeeln1xxxxxx，即0101111e1ln1xxxxxx，整理得：01111ln1ln1xxxxx ，由(1)知，1( )ln1xg xxx在区间(1,)上递增，又e 12(e)lne0e 11ge ，222222e1e3elne0e1e1g，答案第 15页，共 15页于是得方程( )0g x 必在区间2e,e上有唯一的根，即方程( )0g x 在(1,)上有唯一的根，因1(1,)x ，1( )0g x，因此，方程( )0g x 在(1,)上唯一的根就是1x，而01lnxx ，所以0 x存在，且唯一.【点睛】结论点睛：函数 y=f(x)是区间 D 上的可导函数，则曲线 y=f(x)在点00(,()xf x0()xD处的切线方程为：000()()()yf xfxxx.
