1、微积分下全册配套完整课件微积分下全册配套完整课件2第六章第六章 定积分及其应用定积分及其应用6.1定积分的概念6.2定积分的性质6.3微积分学基本定理6.4定积分的计算方法6.5广义积分6.6定积分的应用( )?baf x dx 3第六章第六章 定积分及其应用定积分及其应用4.如何计算定积分和应用定积分? 前一章讨论了已知一个函数的导数, 如何求原来的函数,这样一个积分学的基本问题不定积分.这一章将讨论积分学的另一个基本问题定积分.1.什么是定积分?2.定积分有哪些性质?3.定积分与不定积分有何关系?本章的主要问题有本章的主要问题有:10cos?xdx 4一一.引例引例(曲边梯形的面积曲边梯形
2、的面积)定义定义1.1. 在直角坐标系中在直角坐标系中,由一条连续曲线由一条连续曲线y=(x)和三条直线和三条直线x = a、 x = b和和y = 0 (x轴轴) 所围成的图形所围成的图形, 称为曲边梯形称为曲边梯形, 如右图如右图AabBA (与直边梯形与直边梯形AabB的区别的区别) .oxyy=0 y=(x)x=ax=babBA6.1 6.1 定积分的概念定积分的概念 当y = (x) 0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的面积来求曲边梯形AabB的面积.问题问题: :5abxyoabxyo思路：思路：用已知代未知，利用极
3、限由近似到精确。用已知代未知，利用极限由近似到精确。 一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲边梯形面积边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）用用矩形矩形面积近似面积近似曲边梯形曲边梯形面积：面积：6观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系7观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系8观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割
4、加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系9观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系10观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系11观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系12观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形
5、面积的关系13观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系14从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积:I.化整为零(或分割)任意划分(如图)用分点0121nnaxxxxxboxyy=(x)0ax1x2x1ixixnxb1nxix将区间a,b任意地划分为n个小区间01121,nnxxx xxx记第 i 个小区间的长度为1(1,2, ),iiixxxin过每个分点作垂直于x轴的直线, 将曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形(如图).若用S表示曲边梯形的面积, 表示第i个窄曲边
6、梯形 (阴影部分)的面积, 则有iS121nniiSSSSS II.近似代替(或以直代曲)任意取点i( )if在每个小区间1,(1,2, )iixxin上任1(),iiixx以小区间 的长度为底1,iixx 取一点 i以 为高、)(if15 为了从近似过度到精确, 将所有的窄矩形的面积相加, 就得曲边梯形的面积的近似值, 即11( )nniiiiiSSfxIII.求和、取极限作窄矩形 (如右图).iS( )iifx( )iiifxS 则该窄矩形的面积近似等于 , 即记各小区间的最大长度为12max,nxxx当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 1max0ii nx 对上述和式取极限就得曲边梯
7、形的面积, 即01lim()niiiSfx162 、 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( （1）分割：）分割：iinitvs)(1（2）求和：）求和：（3）取极限：）取极限：,max 21nttt记iniitvs)(lim10路程的精确值路程的精确值173.收益问题收益问题, 1210bxxxxxabann内插入若干个分点，在iiiiiiiiiixpRpxxxnixx)(,)(,), 2 , 1(,11则收益近似为价格作为该段的近似，把点在每个销售段中任取一的销售量每个销售段niiixpRn1)(,得总收益的近似值段的收益
8、相加把小 设某商场的价格p是销售量x的函数p=p(x),要计算：当销售量从a变动到b时收益R为多少？时的收益变动到即为销售量从，则，令记baxpRxniiiini101)(lim0max 上述三个实际问题解决的方法是一致的，由此，引出定积分的定义18记记,max21nxxx ，在在,ba中中任任意意插插入入分分点点 bxxxxxann 1210,1iiixx ， 定义定义二、定积分的定义二、定积分的定义只要只要 ， 也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上 点点 i怎怎样样的的取取法法， 总总有有 S 趋趋于于确确定定的的极极限限 I， 如果如果不论对不论对 a, ,b 怎样的分法怎样的
9、分法， 就就称称 f 在在 a,b 上上可积可积，并，并称称 I 为为f 在在a,b上的上的定积分定积分， 19 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量.,积分区间ba记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和20注注3 3. 极限过程极限过程 , ,既保证了分点个数无限增多既保证了分点个数无限增多( ),( ),又保证了区间分割无限细密又保证了区间分割无限细密( (即所有小区间的长度都趋于即所有小区间的长度都趋于0).0).0n i01lim( )niiifx常数注注4.4. ( (x) )在区间在区间 a, b上可积的
10、充要条件是极限上可积的充要条件是极限且此极限值与且此极限值与 a, b的分法和的分法和 的取法无关的取法无关. .因此, 对于可积函数(x), 若要用定义来计算( ),baf x dxi则可选择较为方便的区间分法和 的取法, 使得计算简便.( )( )( )bbbaaaf x dxf u duf t dt分变量的字母无关分变量的字母无关, , 即即注注2. 定积分定积分与被积函数与被积函数( (x) )和积分区间和积分区间 a, b有关有关, , 而与积而与积注注1.1.若若( (x) )在区间在区间 a, b上可积上可积, ,则定积分则定积分( )baf x dx C 常数常数, ,21定理
11、定理1.1. 若若(x)在区间在区间a, b 上无界上无界, 则则(x)在在a, b上必不可积上必不可积.下面给出函数可积的几个定理: 其等价命题为 “可积函数必有界” 函数可积的必要条件. 以下三个定理是函数可积的充分条件.定理定理2.2.若若(x)在区间在区间a, b上连续上连续, 则则(x)在在a, b上可积上可积.定理定理3.3.若若(x)在区间在区间a, b上有界且只有有限个间断点上有界且只有有限个间断点, 则则 (x)在在a, b上可积上可积.定理定理4.4.若若(x)在区间在区间a, b上单调有界上单调有界, 则则(x)在在a, b上可积上可积.三三.函数可积的条件函数可积的条件
12、22注注5.5.前面的讨论中已默认区间前面的讨论中已默认区间 a, b 中的中的a b呢呢? ?为方便作如下规定为方便作如下规定: :从而可消除对定积分上下限的大小限制.( )0.baf x dx .若a=b, 则( )( ).baabf x dxf x dx .若ab, 则且ab时, ( )0f x 由定义1知, 当连续函数四四.定积分的几何意义定积分的几何意义( )baf x dx表示一个在 x 轴上方的曲边梯形的面积;定积分23当(x)在a, b上有正有负时, 定积分( )baf x dx形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差(即面积的代数和).的值就是 x 轴上方的曲边梯( )0,
13、f x ( )baf x dx且 a b时, 定积分表示一个在 x 轴下方的曲边梯形的面积的相反数.当24有了函数可积的充分条件有了函数可积的充分条件, , 就可借助定义来就可借助定义来例例1 利用定积分定义计算定积分利用定积分定义计算定积分40(23)xdx. .将某些极限问题转换为一个定积分将某些极限问题转换为一个定积分. . .计算给定的定积分的值计算给定的定积分的值; ;可将区间0, 4 特殊划分并特殊取点.解 因(x)=2x+3 在 0, 4 上连续, 故它在a,b上可积, 从而,i不妨在区间不妨在区间0, 4 内插入内插入 n 个等分点个等分点分成分成 n 个小区间个小区间, 取右
14、端点为取右端点为 4(1,2, )ixi inn ,iix即4ixn则 11 ( )( )nnniiiiiiSfxf xx且1(23)niiixx184(3)niinn1、用定积分的定义求定积分25221483niinn214(83 )niinn224(1)18316(1)122n nnnn1limlim16(1)1228nnnSn40(23)28xdx故例例2 2 计算计算.10dxex解解为便于计算，nxi1n10 等分，于是等分，于是，把区间把区间xdex 10iniixe 0limneninin1lim11)(1lim1210nnnnneeeen26.1e连连续续 ttee1lim)1
15、 (00011lim) 1(1nnenenneen1111lim1lim)1 (0ttetent127用等分分点法所得的积分和为1011limlimnnnniiSxdxn n1( )nniiiSfx11niin n1,)iiiixxnn(其中12201 lim(2).nnnnxdxn则221112 (2)()nnnnnnnnn解11niin n例例3 3 将221lim(2)nnnnn表示成定积分在区间0, 1上可积, ( )f xx而28例例4 4 利用定积分的几何意义, 计算曲线 y = sinx、直线120SS表示由曲线y = sinx 、直线x=0 、 x=2 12SSS但及 x 轴所
16、围成的曲边梯形的面积, 即12SSS2200sin(sin)sinxdxxdxx dx 解 根据题意,所求曲边梯形的面积如右图.x=0 、 x=2及x轴所围成的曲边梯形的面积.利用定积分的几何意义知20sin xdx29曲边三角形面积为曲边的上，以抛物线，、求在区间例2xy1042、用定积分的几何意义计算定积分dxx2) 1 (31dxxRR022)2(262) 3(xdx解法详见书本159页306.2 6.2 定积分的的性质定积分的的性质性质性质1 1 若若(x)=1, 则则( )bbaaf x dxdxba性质性质2 2 若若(x)与与g(x)在在a, b上可积上可积, 则则(x) g(x
17、)在在a, b上也可积上也可积, 且且 ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx注注1 1 性质2可推广到有限个, 即11( )( )nnbbiiaaiif x dxf x dx0011lim( )lim( )nniiiiiifxgx ( )( )baf xg x dx证证01limnbiaidxx证证ba01lim ( )( )niiiifgx( )( )bbaaf x dxg x dx 下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小下限的大小31性质性质3 3. 若若(x)在在a, b上可积上可积
18、, k为常数为常数, 则则k(x)在在a, b上也可积上也可积, 且且( )( )bbaakf x dxkf x dx01lim( )( ).nbiiaikfxkf x dx01( )lim( )nbiiaikf x dxkfx证证性质性质4 4(区间可加性区间可加性) 若若(x)在点在点 a、 b 、 c 所成区间中最大所成区间中最大的一个上可积的一个上可积, 则则(x)在其余两个区间上也可积在其余两个区间上也可积, 且且( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx32,kxc从而11( )( )knniiiiii kSfxfx 因而可将点 c 作为区间的一个分点, 并
19、记( )( )( ).bcbaacf x dxf x dxf x dx积分和, 当 时,11( )( )kniiiiii kfxfx 其中和0分别是(x)在a, c与c, b上的对上式两边取极限, 有证证 分两种情形讨论.若acb,则因(x)在a, b上可积知, 其积分和的极限存在且与a, b的分法和 的取法无关.i33. 若点 c不在内.不妨设 ab0).证曲线证曲线y =(x)在在 a, a上是上凹的上是上凹的. ( )() ( )() ( )xaaxf xxtt dttxt dt( )( )xxaaxt dttt dt( )( )aaxxtt dtxt dt( )( )xaaxt dtt
20、t dt( )( )( )2 ( )0fxxxx51定理定理6 6 (原函数存在定理原函数存在定理)注注3 3 由定理由定理5 5知积分上限的函数是被积函数的一个原函数知积分上限的函数是被积函数的一个原函数. .( )( )xaxf t dt若(x)在a, b上连续, 则 的一个原函数的一个原函数.是(x)在a, b上注注4 4 此定理既肯定连续函数的原函数的存在性此定理既肯定连续函数的原函数的存在性, , 又揭示了又揭示了定积分与原函数的关系定积分与原函数的关系, ,下面利用此定理来推导通过原函数下面利用此定理来推导通过原函数来计算定积分的公式来计算定积分的公式. .52二二. . 牛顿牛顿
21、莱布尼兹公式莱布尼兹公式 定理定理7 7 (微积分学基本定理微积分学基本定理) 若(x)在在a, b上连续上连续, 而而F(F(x) )是是(x)在在a, b上的一个原函数上的一个原函数, 则则( )( )( )( )babf x dxF bF aF xa( )( )( )( )babf x dxF bF aF xa于是 (x)= F(x)F ( a) 令x=b, 则上式有(b) = F(b)F(a), 故( )( )xaxf t dt证证 因F(x)与均为(x)的原函数, 所以有(x) = F(x) + CC =(a)F ( a)= F(a),( )( )0,aaaf t dt由得53注注5
22、 5 上式就是牛顿上式就是牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式. .由牛顿莱布尼兹公式知: 要求(x)在a, b上的定积分( ),baf x dx只须先求出(x)在a, b上的一个原函数F(x),再再计算F(x)在a , b上的改变量F(b) F(a)即可. 它不仅给出了计算定积分的统一、简便的计算方法, 而且也揭示了不定积分与定积分在计算方法上的关系.注注6 6 牛顿牛顿莱布尼兹公式当然也可莱布尼兹公式当然也可( )( )babf x dxf x dxa这样记.54例例3 3 计算下列定积分3(1)bax dx131 (2)dxx1311ln3dxxx解434babxx dxa解441()4baln
23、1ln3ln3 .)cos23()3(202dxxx解解203|)sin2(xx原式283 402tan)4(d40|)(tan41 402)1set(d原式解解55解 令10( ),f x dxA两边从0到1积分, 得11200( )(2 )f x dxAxA dx123A13A 于是2( )2 ,f xxA则例例5 5 设120( )2( ),f xxf x dx求(x).22 ( )3f xx故例例4 4 求求 31-|2|dxx322122|)22()22(xxxx5 3221-)2()2(dxxdxx原式解56)11211111(1)212111( nnnnnnnn解于是，其中上的积
24、分和在上式可看作函数,1,)( 1 , 011)(1nxnixfxxfiiinii1011111limxdxnninin原式2ln)1ln(10 x)212111(lim nnnn计算例例657解解 所求所求面积面积xyo 0sin xdxAx0| )cos(. 2 58 因用凑微分法计算不定积分时自始至终没有引入新变量, 故用凑微分法计算定积分时, 也应自始至终不改变积分限. 下面举例说明.6.4 6.4 定积分的计算方法定积分的计算方法一一.凑微分法凑微分法(第一类换元法第一类换元法)而由第五章知求函数的原函数(即不定积分)的方法有凑微分法、换元法和分部积分法. 因而在一定条件下, 也可用
25、这几种方法来计算定积分 .由牛顿莱布尼兹公式知: 计算定积分( )baf x dx的关键在于求出(x)在a, b上的一个原函数F(x); 59例例1 计算计算 下列定积分下列定积分 30 3) 1 (dxex30 3dxex解解30 3)3(3xdex303x|3e) 1( 3e10 241)2(dxx解解10 241dxx10 2)2(1121dxx10|2arcsinx10 2)2()2(11xdx6206cossinxdxx 解解 206cossinxdxx)sin(sin206 xxd207|7sinx71 604646)2(cos2 21 21xxddx|2sin21)64(2146
26、x)211 (2112218124例例2 计算计算 下列定积分下列定积分462cos ) 1 (xdx462cos ) 1 (xdx解解4622cos1 dxxedxxx1 ln1 )2(edxxx1 ln1 )2( exdx1 )ln1()ln1(ex 1 2|2)ln1 ( 212 23 61例例3 3 计算120(1)1xx dx1211222001 1(1)(1)2xx dxxdx解32211 2(1)02 3x350 (2)sinsinIxxdx33222211(11 )(10 ) (2 21)333532sinsinsin(1 sin)xxxx解因32cossinxx3232cos
27、sin0,)2cossin,2xxxxxx3322220sinsinsinsinxdxxdx552222224sinsin0555xx2233220 cossincossinIxxdxxxdx故62(1) 在在,上单调连续且具有连续导数上单调连续且具有连续导数; ;(2) ()= a, ()= b, 则则( )( ( )( )baf x dxftt dt二二.换元积分法换元积分法定理定理8 8 若若(x)在在a, b上连续上连续, 而而 x = = (t) 又满足又满足证证 设F(x)是(x)的一个原函数, ( )( )F xf x即 ( )( )( )baf x dxF bF a故 ( )
28、( )( )dFtFttdt而 ( )( )ftt ( ) ( )( )Ftftt是的一个原函数,且( ) ( )( )baf x dxftt dt此式称为定积分的换元公式. ( ) ( )( )( )FFF bF a ( )( )ftt dt ( )Ft63在应用换元公式计算定积分时在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题应注意以下几个问题:(1) 所选择的代换式所选择的代换式x= (t)必须满足定理中的两个条件必须满足定理中的两个条件;(2) 换元积分的关键是换限换元积分的关键是换限.记住记住“上限对上限上限对上限,下限对下限下限对下限”;(3) 求出求出 ( )( ) ( ) (
29、 ) ftttFt的一个原函数求不定积分那样把求不定积分那样把 (t)还原成还原成 x 的函数的函数, 而只须直接将而只须直接将 t 的上、下限代入相减即可的上、下限代入相减即可.后,不必象64例例1 1 计算计算 30 1 dxxx（1）根号下为）根号下为 的一次式的一次式x解解，设设tx 1，即12 tx，则dttdx2时，且当0 x；1t时，当3x，2t21 2) 1(2dtt30 1 dxxxdtttt2121 2213| )3(2tt38 65解解，设tx ,2tx 即，则dttdx2时，且当0 x；0 t时，当4x，2t例例2 2计算计算 4011 dxxtdtt211204011
30、 dxx20)111 (2dtt20|)1 |ln(2tt3ln2466解解t，xsin设，t22，则dttdx cos时，且当0 x；0t时，当21x，6t 例例3 3 计算计算 210221) 1 (dxxx210221dxxxtdtttcoscossin 60 260 2sin tdtdtt60 22cos1 60| )2sin21(21tt 3sin216218312（2）根号下为）根号下为 的二次式的二次式x6722 sin ,cos ,cosxataxatdxatdt解 令有0,0;,2xtxa t且220 (2)aax dx222200coscoscosat atdtatdt22
31、0aax dx2201cos22tadt2221(2sin2 )044atta注注1 1 由几何意义知, 此定积分即为圆220 aax dx222xya在第象限的面积.68解解t，xtan设，t22，则dttdx2sec时，且当0 x；0t时，当1x，4t 例例4 4计算计算 10232)x1 (dxtdtt223240 sec)tan1 ( 40 232sec)sec(1dttt40|sint10232)x1 (dx40 sec1dtt 40cos dtt22 69.dcossin204xxx例例5 求求，则时，当时，当1200txtx104204ddcossinttxxx，则令txxtxd
32、dcossin解 方法一.5151105t方法二204204)d(sinsindcossinxxxxx205sin51x.5151 0sin2sin5570性质性质1 1 设设(x)在在a, a上连续上连续, 则则02( ),( )( )0,( )aaaf x dxf xf x dxf x当为偶函数时当为奇函数时证证 00( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx因 (1)若为若为(x)偶函数偶函数, 则有则有(x)=( x) 令x = t, 则 d x = d t, 且00( )() ()aaf x dxft dt从而00( )( )( )aaaaf x dxf x dx
33、f x dx00( )( )aaf t dtf x dx 02( )af x dx71(2)若为若为(x)奇函数奇函数, 则有则有(x)=( x) 令x = t, 则 d x = d t, 且00( )() ()aaf x dxft dt00( )( )aaf t dtf x dx 从而00( )( )( )0aaaaf x dxf x dxf x dx注注2 2 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的定积分的计算定积分的计算.72例例6 6计算2742122221(arctan ) cos2(1) (2)(1)5xxxdxdxxx解解 (1)
34、 被积函数为奇函数被积函数为奇函数. 则原式则原式= 0.0,0,1,4xuxu且112222102(1)(1)dxdxxx(2) 被积函数为偶函数被积函数为偶函数, 故故12422410112sec(1)secdxuduxu2402cos udu令令x = = tanu, 则则 2secdxudu224(1)secxu401(1cos2 ) 22u d u411(2sin2 )(1)022 2uu73例例7 7 求求.d1)(arctansin1122xxxx, 0d1sin1 , 11sin1122xxxxx上为奇函数，则有在区间其中,d1)(arctand1sind1)(arctansi
35、n11221121122xxxxxxxxxx解上为偶函数，则有在区间而1 , 1122)(arctanxxxxxxxxd1)arctan(2d1)arctan(10221122)(arctand)arctan(2 102xx,96)(arctan323103x74例例8.8.设241,0( ) ,(2).1,101cosxxexf xf xdxxx 求解解 设设x = = t +2, 则则 t = x2, d x = d t1,1,4,2xtxt 且4211(2)( )f xdxf t dt0210( )( )f t dtf t dt4111tan222e2021011costdttedtt2
36、02210211()22cos2tdtedtt75性质性质2 2 设设(x)在在0, 1上连续上连续, 则则2200(1)(sin )(cos )fx dxfx dx ,22xttx dxdt 则证令有, ,xttx dxdt 令证则有022002(sin )(cos )(cos )fx dxft dtfx dx 0,022xtxt且0,0 xtxt且00(2)(sin )(sin )2xfx dxfx dx00(sin )() sin()xfx dxt ft dt 7600(sin )(sin )2xfx dxfx dx00(sin )(sin )fx dxxfx dx00(sin )(si
37、n )ft dttft dt（3）,dcosdsin2020 xxxxnn，则时，当时，当，则令02,20dd2txtxtxtx证明ttxxnnd2sindsin0220.dcosdcos2020 xxttnn77证证 因d(uv) = udv + vdu, 两边积分得().bbbbaaaabudvd uvvduuvvdua注注3 3bbaabudvuvvdua.bbaabuv dxuvu vdxa注注4 4 用分部积分法计算定积分用分部积分法计算定积分, ,因没有引入新的变量因没有引入新的变量, ,故故在计算过程中自始至终均不变限在计算过程中自始至终均不变限, ,u 、 v的选择与不定积的选
38、择与不定积分的分部积分法相同分的分部积分法相同. .三三.分部积分法分部积分法定理定理9 9 若若u = = u(x)及及v = = v(x)在在a, b上有连续导数上有连续导数, 则则bbaabudvuvvdua78112001 arctanarctan2xxdxxdx解122011arctanarctan 02xxx dx1120011821dxdxx212012 41xdxx1111arctan082242x例例1 1 计算10(1)arctanxxdx20 (2)sinxexdx2200sinsinxxexdxxde解220sincos0 xxexexdx220cosxexde2220
39、cossin0 xxeexexdx2201sinxeexdx2201 sin(1)2xexdxe故79解解10 2) 1 (dxxex 10 2)(21xexd10 2102| )(21dxexexx1022|2121xee)1(412 e例例2 2 计算计算10 2) 1 (dxxex.de) 2 (10 xxe210et，则令ttxtxtxd2d,)2(2101010de2 de2dettxtttx，则时，当时，当1100txtxttttde2e21010. 21)e (e280例例3 3 计算计算.arcsin210 xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(11
40、2120221xdx 12 2102|1x. 12312 解法解法1 1210)(arcsinxxd原式)(sin 60sinarcsintdttxxt令原式解法解法2 260|sintt 60sin tdt216 60|cost. 12312 81例例4 4 设设 在在0, 1上连续上连续, 求求( )fx1( )01( ).f xxfx edx解 11( )( )00( )( )f xf xxf x edxxedf x1( )0 1( )f xxfx edx故1( )0f xxde1( )( )010f xf xxeedx( )(1)10f xfxee82)3 , 2 , 1(cossin
41、 52020ndxxdxnn和计算例，可得令解tx2 200220sin)2(coscosxdxdttxdxnnn时，用分部积分法得当2n201201201)(sincos)sincos()(cossinIxxdxxxxdnnnn832022sin)sin1 () 1(xdxxnn2022sincos) 1(xdxxnn20202sin) 1(sin) 1(xdxnxdxnnnnnInIn) 1() 1(2移项整理后可得递推公式移项整理后可得递推公式)2(12nInnInnn201200I1sin,2求得重复利用递推公式就可由于xdxIdxI84 前面讨论的定积分不仅要求积分区间a, b有限,
42、 而且还要求被积函数(x)在a , b上有界. 然而实际还经常遇到无限区间或无界函数的积分问题. 这两类积分统称为广义积分. 其中前者称为无穷积分, 后者称为瑕积分. 对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的, 即先将广义积分转化为定积分, 再对该定积分求极限.6.5 广义积分广义积分下面举例说明的曲边梯形的面积轴所围成及直线由曲线求Oxbbxxxy) 1(, 1,1 285，时，当9 . 010111d1101011012xxxAb，计算，可以用下面的定积分的曲边梯形的面积轴所围成及直线由曲线bbxxxAAOxbbxxxybb11) 11(1d1 :) 1(, 1,1 1122，时，当99.
43、 0100111d1100100110012xxxAb，时，当999. 01000111d1000 110001100012xxxAb86，的极限，即时曲边梯形的面积的面积，因此，我们把也愈来愈接近开口图形面积形的值愈来愈大时曲边梯而当时，则有当1)11 (limd1limlim . 112bxxAAbAbAbbbbb.d1limd1 d1 )1 11212122xxxxxxxyAbb，即的广义积分，记作，在区间数为函限面积，并称定积分的极定义为所求开口图形的87lim( )babf x dx( )af x dx定义定义1 1 设设(x)在在a, +)上连续上连续, 且当且当 ba 时时, 若
44、极限若极限收敛收敛; 存在存在, 则称无穷积分则称无穷积分( )af x dx发散发散.否则否则,就称无穷积分就称无穷积分不再表示数值了, 无穷积分没有意义.( )af x dx此时记号为注注2 2 类似地可定义类似地可定义( )lim( )().bbaaf x dxf x dxab ( )( )( ) (,)ccf x dxf x dxf x dxc 而注注1 1 若( )( )lim( ).baaabf x dxf x dxf x dx收敛, 则有存在形如形如( ),( )( )baf x dxf x dxf x dx和的积分的积分,统称为无穷积分统称为无穷积分.则则( )( ) ccf
45、x dxf x dx和同时收敛时同时收敛时, 才有才有 收敛收敛.( )f x dx一一.无穷限的广义积分（即无穷积分）无穷限的广义积分（即无穷积分）88例例1 计算广义积分计算广义积分 0 21arctandxxx bbdxxx 0 21arctanlimbbx022arctanlim )0arctan21(lim2 bb82 解解 0 21arctandxxx bbxxd 0 )arctan(arctanlim89例例2 2 计算广义积分2(1)1dxx02220 111dxdxdxxxx解0022 lim11aadxdxxx而2200lim11bbdxdxxx同理0limarctanax
46、alim arctan()22aa limarctanlim arctan02bbbxb2221dxx故9000b limbptpttedttedt解0b1limbpttdep 0b1lim0bptptbteedtp2bb1limlim0bpptbbeepp 22bb11limlimbppbbeeppp 2b1limbpbepp 2bbb1 limlim()lim0bpbpbpbbeppep e而201 pttedtp故0(2) (0)pttedtp91例例3 计算广义积分计算广义积分 212dxxx解解 212dxxx 0 212dxxx 0 212dxxx bbaadxxxdxxx 0 2
47、0 212lim12lim又因为又因为 0 212limaadxxx 0 2)1ln(limaax )1ln(lim2aa 极限不存在，所以原广义积分发散。极限不存在，所以原广义积分发散。 0 22)1(11limaaxdx92例例4 4 讨论无穷积分讨论无穷积分 (0).padxax的敛散性解 当 p =1时, ln.xa 简记为而当p 1时, 1 1ppadxxaxp重要结论重要结论:当p 1时, padxx收敛; padxx发散.当p 1时, paadxdxxx1,1,11ppapp93 若若(x)在在a, b上有无界点上有无界点(即无穷间断点即无穷间断点), 则称积分则称积分 ( )b
48、af x dx为瑕积分为瑕积分, 并称并称(x)的无界点为瑕点的无界点为瑕点.lim( ),xaf x 0lim( ),baf x dx存在( )baf x dx定义定义2 2 设设(x)在在(a, b上连续上连续, 且且则称瑕积分则称瑕积分0, 总有极限总有极限若对于任给的若对于任给的收敛收敛; 注注3 3 若瑕点为若瑕点为a 的积分的积分0( )lim( )bbaaf x dxf x dx( )baf x dx存在存在. .收敛收敛, , 则则二二.无界的广义积分（即瑕积分）无界的广义积分（即瑕积分）( ).baf x dx发散( )baf x dx不再表示数值了, 从而没有意义. 此时的
49、瑕积分否则否则, 称瑕积分称瑕积分940( )lim( ).bbaaf x dxf x dx(1)若瑕点为若瑕点为b, 则定义则定义(2)若瑕点为若瑕点为c(acb), 则定义则定义121200( )lim( )lim( ).bcbaacf x dxf x dxf x dx注注4 4 类似地可定义瑕点在积分区间的右端点类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点和内点( )baf x dx的敛散性的敛散性, , 即即c(acb)时时, 瑕积分瑕积分例例1 1 计算瑕积分022(1)(0)adxaax221limxaax 解因2222000limaadxdxaxax则95201lim,xx 解因0
50、22110 limdxdxxx则012211,.dxdxxx则瑕积分发散 从而发散101222110dxdxdxxxx而01lim()1x 1211(2)dxx0lim arcsin0axa0lim arcsinarcsin1.2aa96例例2 计算广义积分计算广义积分 21 1dxxx 21 01limdxxx1303lim2tt 38 12012121lim2xttdtdxtxdtttt 120)1(lim2dtt解解 21 1dxxx97而当p 1时, 0()lim()()bbppaadxd xaxaxa重要结论重要结论:10()lim1pbxaap110()lim11ppbapp()b
