1、1 The nature of the turbulence1 The nature of the turbulence1.1 Two-dimensions eddies in the atmosphere1.2 The Reynolds number and its significance1.3 The Reynolds approach to the equations of a turbulent fluid1.4 Averaging the equation of continuity1.5 Fluxes and the general conservation equation1.
2、6 The closure problem1.7 First-order closure-exchange theory第一章第一章 湍流基本特征湍流基本特征 1.1 大气中的二维涡旋1.2 雷诺数和它的显著性1.3 湍流流体方程的雷诺近似1.4 连续方程的平均1.5 通量和守恒方程1.6 闭合问题1.7 一阶闭合交换理论流体的运动主要分为层流和湍流。层流属于规则运动，湍流则属于不规则运动。大气湍流是大气中一种不规则的随机运动，湍流每一点上的压强、速度、温度等物理特性等随机涨落。大气湍流最常发生的3个区域是：大气底层的边界层内，对流云的云体内部，大气对流层上部的西风急流区内。大气湍流的发生需具
3、备一定的动力学和热力学条件：其动力学条件是空气层中具有明显的风速切变；热力学条件是空气层必须具有一定的不稳定性，其中最有利的条件是上层空气温度低于下层的对流条件。图图 7 理 想 的 表 面 层 羽 图图8 强上升热泡和其间弱下降流的理想示意图 大气湍流成因 机械湍流 热力湍流 第一章第一章 湍流基本特征湍流基本特征 湍流包含一系列运动，这些运动具有复杂、不规则和不可预测性的特点。 由于实际的湍流运动自由度很大且相互大不相同，因而很难给出确定的定义，以区分湍流与其它类型的运动，如与天气模式相联系的波动和大尺度环流。 湍流包含无数的涡旋扰动，无时无刻不在影响大气运动，这种影响却只能用统计的方法去
4、考察。 气候学家习惯于对资料取几年平均来考察大气运动，他们视每日变化为叠加的湍流。 能否设定一套标准将湍流运动加以区分，并视其为满足一整套规律的现象。 Characteristics of turbulence 尽管现在没有有关湍流的准确定义，人们对它的一些特性还是有着广泛的一致。Lumley和Panofsky（1964）认为湍流是这样一种运动：1. 湍流具有随机性。Stochastic by nature Irregularity and randomness 尽管湍流运动由其控制方程决定，但是这些方程是非线性的。因此，湍流的下一时间特征很大程度上取决于之前的初始状态，而我们却无法精确观测这
5、个初始状态。2. 湍流运动三维性。Three-dimensional phenomenon A 3-D phenomenon 现在我们可以讨论二维涡旋，比如大气环流中的气旋和反气旋，然而三维大尺度背景下的小尺度涡旋不同于这些，所以不能简单套用二维的方法。 3. 湍流扩散性 free to move from each other Greatly enhanced diffusivity 湍流场中任意两个颗粒，其间距将随时间的演化而不断加大。4. 湍流涡旋性 rotational nature vorticity是其本质特性。 A continuum phenomenon A property
6、of the flow, not of the fluid5. 湍流耗散性 dissipative。 湍流使能量从大型涡旋（波数小）向小型涡旋转移、分子运动转移。由于上述2、3、4特征，湍流涡旋使运动直径衰减。6. 湍流是大雷诺数现象 large Reynolds numbers （空间尺度大，粘性小）。 Correspondence with large Re 研究湍流时，把湍流作为一种叠加在平均风之上的脉动变化，由一系列不规则的涡旋运动组成，这种涡旋称为湍涡。 边界层内最大的湍涡尺度大约和边界层的厚度相当，最小湍涡尺度只有毫米量级。大湍涡的能量来自于平均运动场，小湍涡的能量来自于大湍涡，小
7、湍涡把能量向更小的湍涡传递，最终由于空气分子的粘性作用被转化成热能。 能量这样从大湍涡向小湍涡传递，最终在分子尺度上被耗散的过程常被称为能量串级过程。 图中把能谱曲线划分为三段：含能区、惯性区、耗散区。含能区中的湍流从更大尺度湍涡和平均运动场得到能量，并把能量传递给较小尺度的湍涡，湍流动能的绝大部分集中在该区。 含能区的湍涡常被称为含能涡，其水平尺度从几米到几公里量级，相应时间尺度从数十秒到几十分钟。惯性区中的湍流并不损耗能量，主要是把能量从较大尺度湍涡向较小尺度湍涡传递。惯性区中的湍流近似可以看作均匀各向同性湍流，其水平尺度小于离地的高度。耗散区中的湍流水平尺度最小，粘性作用非常显著，不断地
8、把湍流动能通过粘性转变为热能。 大气总是处在湍流运动中。湍涡有不同的尺度，从几百米到几毫米，因而排放到大气中的污染物不可避免的被各种尺度的湍涡夹带、输送。由于湍涡的运动是无规则的，速度大小、方向是随机变量，因而烟囱排放的烟气在随平均风向下风向输送过程中，还不断地向不同方向扩散、稀释，看上去使烟流的形状时刻发生变化，输送距离越长散布范围也越广。 可以说影响污染物扩散的主要因子是湍流。不同尺度湍涡的扩散作用 在湍流扩散过程中，各种不同尺度的湍涡在扩散的不同阶段起着不同的作用。 刚开始的时候烟团的扩散主要靠小尺度湍涡，使它相对缓慢的变大，边缘不断与周围空气混合，浓度逐渐降低。 如果在这个阶段烟团碰到
9、尺度大的湍涡，它也只是被大湍涡夹带输送，自生尺度并没有明显变化，但是等小湍涡将烟团逐渐扩散变大之后，大湍涡就可以将烟团进一步扩散，并更迅速地使它变大，也更剧烈地与周围空气混合，使浓度迅速降低。 在这个阶段，观察起来烟团被地撕开、变形，进行得更迅速。 1.1 大气中的二维涡旋大气中的二维涡旋 多数运动，不是全部的，都具有一定程度的湍流性。用后面严格给出的定义，我们可以将湍流强度视为湍流能量和非-湍流的准稳定或平均运动的能量之比。 因为没有给出湍流的唯一定义，我们也没有唯一的方法区分所有的运动。 对于一个飞行员来说，平均运动是他用来导航的风，而湍流就是导致飞机颠簸的扰动。对于一个气候学家来说，平均
10、运动可能就是30年风资料的每日平均，而湍流是用风向玫瑰图箭头表示的叠加的变化。 1921年,A.Defant指出气旋和反气旋迁移，以及它们在全球风、温度、降水分布的重要作用；并且指出，将它们看作叠加在平均环流上的大尺度湍流进行有关的研究会取得很大进展。通过这种方法，他希望能够利用湍流输送的原理、湍流的起源和特征去更好地理解气候和天气的变化。图上平均环流是准永久的低压中心（纬度600）以及相应的高压中心（300纬度），而湍流是叠加的迁移运动。图1.1给出了高压、低压系统。 这些叠加在准永久或平均大气环流上的涡旋，表现出湍流的一些属性特征。 它们每年从赤道地区向高纬输送热量、水汽，并将赤道地表大气
11、上的多余角动量输送到中纬地区，在那里这些角动量被西风带摩擦耗散。直到19世纪40年代,都认为中纬度的平均西风环流是由低纬和高纬的经向环流所驱动（Rossby,1941）。而且，中纬的波动和环流也是由西风带不稳定所导致，后者从平均西风环流亦即最终从低纬和高纬的经向环流获得能量。 图1.1给出了高压、低压系统. 在四十年代的末期，由于Starr(1948,1951)和Blackadar(1950)的工作，关于中纬度涡旋的简单理论有了很大的改变。现在，人们普遍认为：有效位能动能的转化主要是通过从气旋和反气旋向大尺度的、全球范围的大气环流的传输来完成的。这可能难以理解，因为它好像和热力学第二定律相违背
12、，因为热力学第二定律要求大尺度环流向小尺度环流转变。当然，它和上面提到的湍流第五点特征并不一致。 通过一杯咖啡或者一碟水我们可以很容易观察到二维小尺度涡旋向一个大的涡旋或者平均环流的转变过程。 用勺子搅拌，在容器的边缘就可以产生一个强烈的小型二维涡旋。停止搅拌后，涡旋向容器的中心移动；这样，在容器里变成了大的平均环流。 图1.1展现了这样的天气状况，一个在中纬锋面附近发展的气旋，有向东北方向移动的趋向；相应的，迁移性的高压中心向南移动，并且在300（纬度）出现了半稳定高压。这个结果表明迁移性的的小尺度系统，其能量向大范围的全球环流输送。 这样的迁移涡旋，基本上是二维水平运动。这些平均运动在垂直
13、方向的量级是水平运动的千分之一。这样的涡旋很难满足上述湍流的第二点特征。特性2 和5密切相关。这些从大涡旋向小涡旋的能量串级伴随涡旋的延伸，后者在二维水平运动中基本不出现。 有关湍流并没有普遍接受的定义，而二维湍流运动却有多种形式的定义，特别是在海洋学的范畴内。但是必须强调，二维和三维运动在本质上是有区别的。除非特别说明，本书所关注的都是三维湍流运动。1.2 Reynolds数以及意义数以及意义 一定的Reynolds数是湍流存在的基础。雷诺数是运动空间特征尺度L和表征薄层或粘性次层（这个层结很薄足以使湍流难以维持）厚度这样两个长度之比。 这种求平均的方法称为总体平均，它已经被许多不同的流体研
14、究方案所采用（这里有一个假设前提就是的初始、边界条件相同）。 通过计算相同地点在同一时间序列内的量值，我们可以得到密切相关的平均结果。 如果时间和空间平均值相同，我们就认为流体具有各态历经性，其条件是平均流与时间（如定常流）、空间（如均匀流）无关。应该注意这些经常用于描述湍流特征的术语。 同样我们可以定义在某个固定的时间内，不同空间序列的平均，甚至定义一定时间与空间的平均值。因为Reynolds认为，湍流是偏离平均运动的部分，而一旦有关平均运动的定义不清楚，就会妨碍对湍流的唯一定义。 假定背景场均匀稳定并非十分重要，因为在大气中，这样的背景场没有普遍意义。 Reynolds认识到了这个问题，所
15、以就建议：要解决这样的问题可以对运动取时间与空间的滑动平均。这样，我们就可以将速度分量的平均量和扰动量视为时间与空间的连续函数。 1.6 方程闭合问题方程闭合问题 动力预报模式中使用了7个方程，6个是有关保守量的方程（3个运动方程、连续方程以及水汽和能量守恒方程）。所有的方程都是非线性的。 求雷诺平均后，方程包含湍流通量的平均项；而且除了原来的7个未知数，又多了12个未知数比方程能求解的未知数多出12个。 要求解这些未知数，就必须找到更多的新方程以闭合方程组，使最终的方程数和未知数个数相同。当然，这些新方程要包含上述平均量的协方差项。 过去，通常的做法是建立平均量的空间导数与通量的关系。特殊情
16、况下，这样可以把很多项变为0。这就是我们所说的一阶闭合方法，因为方程闭合之后，只有包含一阶矩量（比如说平均量）的方程存在。 我们还可以直接推导关于二阶统计量变化率（比如通量）的方程。但是，这样做会出现一个让人沮丧的情形。因为，关于二阶未知量的方程组会出现一些新的未知数，其中包括三阶矩量，或者湍流分量的三次乘积的平均量。推导关于三阶矩量的方程又会得到新的包含四阶矩量的方程，如此类推。这样，我们就知道没有直接的方法去闭合大气方程组。 实际上，我们需要对这些相关量作一些假设，并将这些假设应用于求解二阶闭合方程，这就是二阶闭合方法。 近几年，有些学者借助高速计算机作了很多有关二阶闭合的工作。1.7一阶
17、闭合与交换理论一阶闭合与交换理论 一阶闭合的基本思想，或者经常提到的K理论，主要由Schmidt（1925）和Prandtl（1925）提出。不过。在Prandtl看来这些基本概念又来自于Boussinesq（1879）。 Austausch交换理论和气体动力理论非常相似。 Reynolds分量特点在于以流体元为基本考察单位,后者在动力学上与分子概念相似。就像分子通过碰撞不断交换特征量属性，流体元也被想象成或多或少在离散状态下相互不断混合，并在一定的距离内特征量属性发生交换。这个所谓的混合距离类似于分子的平均自由程，称作混合长度。 尽管这个模式有其明显的缺陷，但是它提供了一个将通量与平均向量梯
18、度相联系的概念基础。它也让我们看到该理论的一些局限性。 这里，A是Austausch交换系数，它对应于动力学相似系数K，是个确定的正数。A的单位是ML-1T-1，而K（在Boussiniq方程中出现过）的单位是L2T-1，它不包含质量量纲，K通常被称为动力交换系数，或者被称为涡旋扩散性。 根据以上考虑及经验，我们可以定义L为最大含能涡区的空间尺度，或者湍流速度的均方根，后者和湍能密切相关。我们将在后面讨论。 由上可知，K理论较好的模拟了经典气体动力学。上述长度尺度就是通常说的分子平均自由程，可以看作分子之间发生碰撞的平均距离。K理论模拟的平均距离通常被称为混合长度或者Prandtl 长度，因为
19、混合过程不是离散事件，因此很难定义一个明确的混合长度，只能认为它是表征最大含能涡区的长度尺度，因为它是多数混合过程发生的对应尺度。 理解上述理论的思想非常重要。 要注意的是，K理论不适用于垂直方向运动的保守量。例如，在非饱和状态下，熵值取决于位温，它是保守量。但是，焓取决于温度，是非保守量，因而不能够应用K理论。 水汽在不可压状态下是守恒的，经验表明水汽通量、热通量（类似于位温梯度通量）的K值相等。 K理论同样适用于动量传输，但是有一个问题，就是该向量是否属于保守量。因为涡旋运动伴随着应力不均匀，会影响到混合运动。实验表明，动量的K值不等同于其他特征量的K值，虽然它们具有相等的量级。 比较困难
20、的是，K取决于湍流的统计特征，它不是常量。即使我们假设各个特征量的K值相等，我们还是没有办法完全闭合方程。 在后面的章节，我们将具体探讨某些特殊情况下估算K值的方法。讨论大气湍流与大气边界层研究？ 大气边界层仍然有许多尚待解决的问题，我们的研究大气边界层仍然有许多尚待解决的问题，我们的研究面临着新的机遇和挑战！面临着新的机遇和挑战！地气、海气界面湍流过程地气、海气界面湍流过程中尺度结构对边界层的影响中尺度结构对边界层的影响非均匀地表边界层非均匀地表边界层植被、城市冠层和风电场对边界层的影响植被、城市冠层和风电场对边界层的影响化学过程对边界层通量和浓度廓线的影响化学过程对边界层通量和浓度廓线的影
21、响 大气边界层：大气边界层： 十个前沿问题十个前沿问题20082008Donald Lenschow边界层高度和夹卷速率的精确估计边界层高度和夹卷速率的精确估计标量方差和长度尺度的增长标量方差和长度尺度的增长夜间和转变过程中的边界层结构夜间和转变过程中的边界层结构云与边界层的相互作用云与边界层的相互作用 湍流和阵风机理研究湍流和阵风机理研究 大气边界层几乎总是处于湍流运动大气边界层几乎总是处于湍流运动, , 湍流也是自然科学的一大难题湍流也是自然科学的一大难题 阵风是一种常见的自然现象，可是科学家们对它了解得还很不够！阵风是一种常见的自然现象，可是科学家们对它了解得还很不够！ 阵风是强涨落和高
22、激发态的阵风是强涨落和高激发态的“极端事件极端事件”，与湍流相干结构有关，与湍流相干结构有关 外因外因：大、中尺度天气过程引起：大、中尺度天气过程引起 内因内因：自组织相干结构引起：自组织相干结构引起 大气边界层阵风大气边界层阵风 从从Ekman提出著名的提出著名的Ekman螺线开始，大气边界层螺线开始，大气边界层的研究在与其它学科相互渗透与借鉴的基础之上，经历的研究在与其它学科相互渗透与借鉴的基础之上，经历了百年的发展历史。了百年的发展历史。1904Prandtl提出边界层理论提出边界层理论1905Ekman螺线螺线1915Taylor开始关注大气湍流现象开始关注大气湍流现象1925Pran
23、dtl 混合长理论混合长理论1938Taylor假说假说1941Kolmogorov湍流局地级串理论湍流局地级串理论1954Monin-Obukhov相似相似1961Blackadar将混合长理论用于数值模式将混合长理论用于数值模式1960sRossby数相似理论数相似理论1970s近地层能谱的相似理论近地层能谱的相似理论1972Deardorff大涡模拟大涡模拟1984Nieuwstadt 稳定边界层局地相似理论稳定边界层局地相似理论80s-90s大气湍流的混沌与分形特征大气湍流的混沌与分形特征70s-至今至今非均匀下垫面大气边界层的研究非均匀下垫面大气边界层的研究Ekman螺线螺线MO相似
24、理论相似理论2 The Navier-Stokes equations2.1 The nature of stress2.2 Invariants of fluid motions2.3 The Navier-Stokes equations2.4 Reynolds number similarity2.5 Averaging the Navier-Stokes equations 第二章第二章 NavierStokes方程2.1 应力的性质 2.2 流体运动中的不变量 2.3 Navier-Stokes 方程2.4 Reynolds 数相似2.5 NavierStokes 方程平均 流体，是
25、与固体相对应的一种物体形态，是液体和气体的总称。由大量的、不断地作热运动而且无固定平衡位置的分子构成的，它的基本特征是没有一定的形状并且具有流动性。 流体都有一定的可压缩性，液体可压缩性很小，而气体的可压缩性较大，在流体的形状改变时，流体各层之间也存在一定的运动阻力（即粘滞性）。 当流体的粘滞性和可压缩性很小时，可近似看作是理想流体，它是人们为研究流体的运动和状态而引入的一个理想模型。 与液体相比，气体更容易变形，因为气体分子比液体分子稀疏得多。在一定条件下，气体和液体的分子大小并无明显差异，但气体所占的体积是同质量液体的103倍。所以气体的分子距与液体相比要大得多，分子间的引力非常微小，分子
26、可以自由运动，极易变形，能够充满所能到达的全部空间。 液体的分子距很小，分子间的引力较大，分子间相互制约，分子可以作无一定周期和频率的振动，在其他分子间移动，但不能像气体分子那样自由移动，因此，液体的流动性不如气体。在一定条件下，一定质量的液体有一定的体积，并取容器的形状，但不能像气体那样充满所能达到的全部空间。人类对流体运动的描述历史1500年以前DaVinci（1452-1519，意大利科学家）定性描述；1755年Euler（瑞士科学家，1707-1783）推导出理想流体运动方程；1822年Navier（1785-1836，法国科学家）开始考虑流体粘性；1845年Stokes(1819-1
27、903，英国科学家)完成了推导过程，提出现在形式的粘性流体运动方程（历时90年）。 纳维斯托克斯方程纳维斯托克斯方程 （Navier-Stokes equations） 以克劳德-路易纳维(Claude-Louis Navier)和乔治加布里埃尔斯托克斯(George Gabriel Stokes )命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。 这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。 在
28、解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。 第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。 另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。 有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为Omega，而其表面记为partialOmega。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。理想流体和粘性流体作用面受力差别理想流体和粘性流体作用面受力差别流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受
29、拉力和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上的力只有正向力，无切向力。粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力。 纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。 纳维-斯托克斯方程是描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程, 是不可压流体理论中最根
30、本的非线性偏微分方程组。 纳维-斯托克斯方程是数学中最为难解的非线性方程中的一类，寻求它的精确解是非常困难的事,是目前为止尚未被完全解决的方程，目前只有大约一百多个特解， 70多个精确解。 纳维-斯托克斯方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。2000年5月24日，美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把纳维-斯托克斯方程列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一。 Navier-Stokes方程到底有多深奥呢？ 在Navier-Stokes方程研究方面，中国科学院数学与系统科学研究院徐晓平研究员引进了对速度向量加关于自变量非对称条件的解法和正交活动标架解法，并得到了七簇带参变函数的
31、、有旋的精确解。 其中一簇解在一个运动平面上除一条直线外的所有点爆破（blow-up）, 故可用来研究湍流现象。利用Fourier展开和另两簇解，可得到不连续解。 另外有一簇解是部分柱对称的并含两个任意参变函数，它们可用来研究喷嘴中不可压缩流。 王守义用Naviar-Stokes方程研究了球壳内、外的流动。 两端开口的乒乓球内的运动，是很复杂的，以往的流体力学没人研究-所谓Magnus效应是指球外的“边界层流”（流体力学的一种理论模型），王守义用Naviar-Stokes方程研究了球壳内、外的流动。 根据王守义对三旋模型的理解水平认为，当乒乓球运动员给球一旋球拍击后，乒乓球自动成弧圈运动，这时
32、，球内的气体既有线旋，也有面旋，更有体旋，整个球内、外不仅是层流涡旋运动，而且是湍流运动（湍流运动就是混沌运动），因为在球壳的进、出口处一定都是湍流“汇”和“源”，影响整个球内、外的绕流，使之成为湍流。三旋环圈模型，在流体力学中称为球内绕流，它们只不过是各个方向的旋度不同而已。 乒乓球的旋转必然带动整个流场也是旋转的，这样在非线性的情况下，肯定不是刚体旋转。另外，乒乓球的运动不是直线，也不是抛物线，而是某种弧线。 王守义提出“宇宙统一场方程”，结合为四种图像： 一种类似理论力学中刚体转动概念的理想对称的球体； 一种类似理论力学中刚体转动概念的非完全理想对称的球体-即球体两极有变长运动； 一种类
33、似流体力学中涡旋向内一极下凹的非完全理想对称的球体，即在流体力学中称为球内绕流，它既是球体，又作类似三旋理论中的面旋和平凡线旋运动，如果称它为绕流球-这种图像是存在的，例如地球大气层的绕流运动； 一种类似类似三旋理论中的线旋，这完全是一种环量子图像，而且还围绕环圈组织了湍流和涡流。 这里只能是在局部上，才符合Naviar-Stokes方程依赖牛顿力学为基础作含自旋规则的定义。 我国物理学家王德奎提出一个理论“三旋理论”，这种理论把事物设想为一个环状圈体（或称类圈体），类圈体的自旋分为三种： 面旋类圈体绕垂直于圈面的中心轴线旋转， 体旋绕圈面内的任一轴线旋转， 线旋绕体内环中心线（圆）旋转， 在
34、3维空间，这种“三旋”可以构成62种变化，因此，这种理论认为，圈和点共存，但圈比点更基本。 无旋层流（含位势场），有旋层流和湍涡以及微观粒子基本结构，宇宙中大、小星系，星球，暗物质，暗能量，黑洞等的结构形状都与三旋环状圈体有关。 三旋理论为确定宇宙统一场方程组的定解约束条件建立了几何基础和有关物理基础。 -在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应
35、力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵如同变形率矩阵一样，是个对称矩阵。如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张量）。在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压强的负值。即：在
36、粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即：在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零，即： 流体微团运动的基本形式流体微团运动的基本形式流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运动（线变形和角变形运动）。速度分解定理速度分解定理德国物理学家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。1-2章重点 ？ 梯度、散度、旋度梯度梯度 gradient gradient 场的空间变化率 设体系中某处
37、的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。散度散度 divergencedivergence流体运动时单位体积的改变率 散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消
38、散。表示辐合、辐散的物理量为散度。 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度。 旋度旋度 rotation,curlrotation,curl曲线、流体等旋转程度的量 旋度是表示曲线、流体等旋转程度的量。设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度。 梯度是个向量 或表示为 散度是个标量设有一个向量场 通量可写为 则散度 并有运算关系式 旋度是个向量rotA或curlA 或可以写成 例如求F沿路径r做的功 矢量的环流：矢量沿闭合回路的线积分称为环流.哈密顿算符 ，只是个符号，直接作用函数表示梯度,dotA点乘函数（矢量）表示散度，XA叉乘函数（矢量）表旋度。
