1、许伟伟许伟伟南京大学超导电子学研究所南京大学超导电子学研究所2各各种种弱弱连连接接结结9IV 特性曲线特性曲线3(a) 无微波辐照T: 60KX:500V/divY: 500A/divIV 特性曲线特性曲线I:0.5uAI:0.5uAV:0.2mVV:0.2mVT: 20mKT: 20mK4一个铝微桥的实验一个铝微桥的实验 IV 特性，三条曲特性，三条曲线相对应于不同的规一化温度。线相对应于不同的规一化温度。5 所有这些器件的所有这些器件的 I-V 特性，我们会发现它们的行为有特性，我们会发现它们的行为有很大差别很大差别 隧道结可以表现出有明显回滞的隧道结可以表现出有明显回滞的 I-V 特性；
2、特性； 即对低即对低于最大电流于最大电流Jl的电流值有两个电压态，在点接触或微桥的电流值有两个电压态，在点接触或微桥结构中结构中I-V曲线通常是单值的，至少在温度离临界温度不曲线通常是单值的，至少在温度离临界温度不太远时是如此。太远时是如此。 现在引起了以下问题：各种弱连接的现在引起了以下问题：各种弱连接的 I-V 曲线中的曲线中的这些特殊的差别是这些结构的不同物理性质固有的吗。这些特殊的差别是这些结构的不同物理性质固有的吗。不完全这样。不完全这样。 事实上弱连接的事实上弱连接的 I-V 特性的许多特征都可以用一个简特性的许多特征都可以用一个简单的集总电路模型来加以解释，在这模型中把器件的分单
3、的集总电路模型来加以解释，在这模型中把器件的分布电容和淮粒子电导看作是与一非线性约瑟夫森元件并布电容和淮粒子电导看作是与一非线性约瑟夫森元件并联的集总元件。联的集总元件。6IV 特性曲线特性曲线1. RSJ模型模型（Resistively shunted Junction）)(sin)()(1tItGVdttdVCIdc22111sin22dcIc ddIeI dteRIdt由于实用器件的阻抗远小于源阻抗，可设该电路是电流偏置的，由于实用器件的阻抗远小于源阻抗，可设该电路是电流偏置的，在仅有直流电流在仅有直流电流Idc存在时，电路方程是：存在时，电路方程是：得：得：eVdtd2设设与空间无关，
4、与空间无关，R是线性电阻是线性电阻，利用，利用的关系，的关系，流过电容的位移电流流过电阻的电流约瑟夫森电流等效电路等效电路 规一化电流规一化电流7为了解这个二次偏微分方程，采用无量纲的变数，主要有以下几种形式：为了解这个二次偏微分方程，采用无量纲的变数，主要有以下几种形式： m12222222212,sin2mmmmccmeRItdddddtddtdddddeR I CRC其中1 规一化电流规一化电流1dcII8采用无量纲的变数，主要有以下几种形式：采用无量纲的变数，主要有以下几种形式： 212221sinceItCdddd222sin1JJcdddd22221sinJJtRCdddd2 或者
5、或者 3 91222sinmmceRItdddd212eItC22sinJdddd22221sinJJtRCdddd2dVedt3 2 1 1dcIIm总结一下总结一下102sinJdd2sinJdd 2. 小电容极限小电容极限在电容在电容C很小时，很小时， 通过其中的位移电流可以略去。通过其中的位移电流可以略去。 这是可以直接积分的简单情形。事实上，这是可以直接积分的简单情形。事实上， 1const)(sin1当当时，显然有解时，显然有解0dd对应于对应于2222sinJJdddd3情况情况 电流足够小，两端电压为电流足够小，两端电压为0。弱化超导体弱化超导体111JdsinJT2) 1(2
6、/122/12) 1(2JT021/21( )( )2(1)TJddTOddTdTT21/2121/211,22(1)()1pdcddVe dedVRIIVRII式中式中或即或即dd电压的平均值正比于电压的平均值正比于，即，即 如果回到原来的变数，如果回到原来的变数，当当时，直接积分时，直接积分得出得出12221/22tan122tan 11112tan 1()tanJT121i1i几个特点：几个特点：段和段和段（双曲线）段（双曲线）1ii时时趋向于欧姆电阻（正常电阻）趋向于欧姆电阻（正常电阻）21/2(1)i 121/21(1)iididii 21/2121/211,22(1)()1pdcd
7、dVe dedVRIIVRII1idcII1V RIX2=y2-1 双曲线方程双曲线方程T: 60KX:500V/divY: 500A/div1322/12222/122cos1sin)1(cos)1(2TTTTdd22/12222/121cossin) 1(1cos) 1(TTTRIV再来讨论电压波形。再来讨论电压波形。回到原来的变数回到原来的变数1/ )(RIV14sin122dtdddc对于电容对于电容C不能略去的情形，原方程不能略去的情形，原方程只能用数值求解。此时画出的只能用数值求解。此时画出的IV曲线如下图曲线如下图此时曲线上出现了回滞，此时曲线上出现了回滞，结所处的电压态结所处的
8、电压态（在一定的电流范围内）（在一定的电流范围内）与电流变化的历史有关。与电流变化的历史有关。因此也称为因此也称为回回滞参量。滞参量。cdcmIIRIV)(110、2、4、15、c1 15cmccdcRIVII1414)(112222211222CRCReICIeRJcJmJJceVeCIRI2421211ekVJm2consteRI211211212)2(2)(22JCeeICIReCIRec由于由于 mVJ实验中分别测量实验中分别测量与与，证明，证明 k为为1 的量级的量级所以所以2 . 01cc时时 （25），），当当 我们注意到，由于我们注意到，由于常数常数 16cdccII)/(1在
9、讨论在讨论回回滞时，滞时，是回到零电压态时的电流，近似地，是回到零电压态时的电流，近似地，Cc1J是单位面积的电容，是单位面积的电容，J1是临界电流密度。因此，是临界电流密度。因此，与与成反比。成反比。mVcc相对应的电流，我们看到，相对应的电流，我们看到，与与有关，有关，也是也是I-V曲线上回跳点与曲线上回跳点与c1J与与有关。有关。亦即亦即17当JIC时， a b c -dd-c-bb-e-f- f a b c d c b e - f- 0电流变小电流变小回滞区的位置取决于结的电容参量回滞区的位置取决于结的电容参量c1c1cI:0.5uAI:0.5uAV:0.2mVV:0.2mVT: 20
10、mKT: 20mK1819dtdkVconstR/1112222121sin()sin()dcppdVV dCIIdtk dtIddkkdtdtk c 22dddyyyddtd)sin(2)(2)(222pykydd仍用仍用RSJ模型，但假定电阻与电压有关（成反比），即模型，但假定电阻与电压有关（成反比），即于是于是为了求解析解，令为了求解析解，令得得4. 分流电阻与电压成反比的情形分流电阻与电压成反比的情形20)sin(222122deceykJksin412,cos411)cos(412)()()(2222222)(kkkkkcydxexQceyxQyxPdxdyppkpdxdxxP)()
11、(21)()(212)sin()(2sin212sin21 )(,412)cos()cos(4122/12/12/122/122/12222222ooooooooooooopoooopttyCnttySndtydyykykkykkky2y这是关于这是关于的一阶非齐次方程，解为的一阶非齐次方程，解为 考虑稳态解时，考虑稳态解时，其中第一项可以不予计入，其中第一项可以不予计入，)sin(2)(2)(222pykydd21)()(21)(22/12/1ooooottydnyeV即为即为关系。关系。在求平均电压时，注意到在求平均电压时，注意到dn u是以是以2K为周期的周期函数，为周期的周期函数，)2
12、(2)(2)(sin)(21)()(21212/12012/12/120ooookxoooookkyesnXetydttydnkeV22)41(/kVVo) 1(/kVVo1IIVdc这样，就可求得这样，就可求得关系曲线。关系曲线。 IV（结）（结）IV（非线性电导）（非线性电导）23在在RSJ模型中，约瑟夫逊元件描写为模型中，约瑟夫逊元件描写为sinII1对于隧道结，由对于隧道结，由微观理论微观理论对于电流导出了更一般的式子，对于电流导出了更一般的式子，包括准粒子和电子对两部分电流。包括准粒子和电子对两部分电流。下面就从微观理论的电流表达式出发讨论电流电压特性。下面就从微观理论的电流表达式出
13、发讨论电流电压特性。若要抑止电子对隧道效应，可加磁场。一般准粒子要比电子对若要抑止电子对隧道效应，可加磁场。一般准粒子要比电子对难观察得到。电子器件中一般两种效应都存在。难观察得到。电子器件中一般两种效应都存在。以及与之并联的外电阻所代表的准粒子电导，以及与之并联的外电阻所代表的准粒子电导，该电导项可以取许多不同的近似式。该电导项可以取许多不同的近似式。1024()()()()222( )Im( )( )LRtt tt tjjjjt tI tedt eeS teeR t ()( )( )LRjR teR t 其中定义：其中定义： 2.2.1-1 2.2.1-1【前章】 ( )( ) ( )(
14、)22( )Im()()jjttI td eeS teR t )(tS)(tR式中式中和和是响应函数，是响应函数，是量子相位差是量子相位差2( ),deV tdtt是小参量。是小参量。 作变数变换作变数变换 得到得到25d)(212)(tjtjeWe( )( )d ,( )( )dj tj tSs t etRR t et其中，引入频谱分解：其中，引入频谱分解： 的傅里叶变换：的傅里叶变换：)(tS)(tR和和与与()0()( )Im( )*()()( )()()jtjjLRI tddWWeS jeWWeR j （）则关于总电流的表达式可以写作则关于总电流的表达式可以写作26( )W121( )
15、( )()()cos()()sin()()cos() )()sin() )qpqpJJI tddWWItItItIt)(Re)()(Im)()(Re)()(Im)(0102010jRIjRIjSIjSIJJqpqp)(*)(),(*)(RRSS在我们感兴趣的大多数实际情形中，在我们感兴趣的大多数实际情形中，为实数，故有为实数，故有其中其中 )(tS)(tR由于由于和和是实函数，且当是实函数，且当t0）的项。的项。（a）37eVEEkq)(eVEEkq 2eV 右侧拆开一个电子对，其一跃迁至右侧拆开一个电子对，其一跃迁至q态，态，另一至左侧另一至左侧k态，吸收的能量是态，吸收的能量是，即有一项，
16、即有一项，只要，只要，即便，即便T=0也可发生。也可发生。（b）38eVEEkq)(eVEEkq 左侧拆开一个电子对，其一跃迁左侧拆开一个电子对，其一跃迁至至k态，另一至右侧，与态，另一至右侧，与q态原有的态原有的准粒子跃迁下来结合成电子对。准粒子跃迁下来结合成电子对。，即有，即有eVEEqk)(eVEEqk0eVEEqk，即有一项，即有一项，若，若V0，则，则 左侧拆开一个电子对，其一跃迁至左侧拆开一个电子对，其一跃迁至k态，另一至右侧态，另一至右侧q态，吸收的能量是态，吸收的能量是故对正故对正V无贡献。无贡献。，（c）（d）39)(2eVEEEeVEeVkqkq放出能量吸收能量在上述过程中
17、如果加入在上述过程中如果加入电子对电子对的隧道过程，的隧道过程，L：多一个准粒子，少一个电子对：多一个准粒子，少一个电子对R：少一个准粒子，多一个电子对：少一个准粒子，多一个电子对L：多一个准粒子，少一个电子对：多一个准粒子，少一个电子对R：多一个准粒子：多一个准粒子RL 与过程（与过程（d）一样。）一样。（a）+对对)(2eVEEeVeVEEqkkq吸收能量吸收能量RL（b）+对对 与过程（与过程（c）一样）一样40同理同理LR 与过程（与过程（b）一样）一样（c）+对对LR 与过程（与过程（a）一样）一样（d）+对对 因此，有关准粒子的隧道过程，也可以由电子对参与而完成，在状因此，有关准粒
18、子的隧道过程，也可以由电子对参与而完成，在状态和能量关系方面得出完全一样的效果。态和能量关系方面得出完全一样的效果。电电子对必然与子对必然与 有关，有关，所以准粒子电流也应与所以准粒子电流也应与 有关，这就是有关，这就是 的来历，使准粒子的来历，使准粒子的一项，而是相干效应所造成的对于正常电流的调制或之张落。的一项，而是相干效应所造成的对于正常电流的调制或之张落。cos，这也说明，这也说明 项不是隧道电流中分开项不是隧道电流中分开cos电流成为电流成为VVocos141)(222IdtdCeIdc)(I关键的问题是如何表示关键的问题是如何表示。考虑了总电流以后，考虑了总电流以后，IV曲线如何？
19、曲线如何？42constVVocossin21JJqpIIII112,IIGVIGVIJJqpsin)cos1 (22122IdtdGedtdCeIdc 1）在）在或者，更一般地说，如果或者，更一般地说，如果V（t）很小或者它以时变率比）很小或者它以时变率比能阵频率小（绝热近似），则能阵频率小（绝热近似），则由此代入即可以计算由此代入即可以计算IV曲线，如果假定曲线，如果假定1,IG其中其中 为恒定，则方程是为恒定，则方程是由此对由此对作不同大小的假定，亦可计算作不同大小的假定，亦可计算IV曲线。曲线。时，时，43)(tI)(222tIdtdCeIdc/,/ggRC在一般的情况下，若不作绝热近
20、似，则应该把前述时域的总电流在一般的情况下，若不作绝热近似，则应该把前述时域的总电流代入至代入至中，求解方程，并由之得出中，求解方程，并由之得出 I-V 曲线。在曲线。在 T=0 全同结的情全同结的情形，已有人作过这类计算，其曲线的形状与形，已有人作过这类计算，其曲线的形状与电容小时，在能隙电压以下有电容小时，在能隙电压以下有很高的电流，主要来自电子对很高的电流，主要来自电子对隧道电流的贡献。隧道电流的贡献。1/gRC有关。有关。 电容很大时（电容很大时（ ），）， I-V曲线趋于准粒子曲线趋于准粒子I-V曲线。曲线。44e/2en2a)在在有奇点，有奇点，电容越小，奇点表现趋甚。所以，电容越
21、小，奇点表现趋甚。所以，Riedel峰直接呈现在峰直接呈现在IV曲线上。曲线上。也有奇点（次能隙结构）。也有奇点（次能隙结构）。在在V=0时，对所有时，对所有电流均陡升至电流均陡升至两种做法的比较两种做法的比较b)在在gRC/)2(57. 1处处（n为奇数）处为奇数）处45回到最初的电路方程回到最初的电路方程1( )( )sin( )dcdV tVICtItdtR2e dVdtu Josephson 能量（耦合能）能量（耦合能） 11100sinsin(1cos)22tJIIEVIdtdee460022tdcdcIdcIIEVIdtdee21112121()(1 cos )241()(1 co
22、s )22dcdcIICdEeeIdtIIIdedtI22222()228CQCVCdECedtu外电流的能量外电流的能量 u电容器的能量电容器的能量 p总的能量总的能量 212eIC动能动能 势能势能 47取势能为：取势能为： 搓衣板势能搓衣板势能 110 100010( )(cos )222()cos()222dcdcIIUeIIII 02he 48以以RSJ模型描述的超导结可以看成处于势能模型描述的超导结可以看成处于势能 中的一个粒中的一个粒子，图画出了在不同偏置电流子，图画出了在不同偏置电流 之下势能与相位角的关系，之下势能与相位角的关系，常称为洗衣板模型。常称为洗衣板模型。 在适当的
23、条件下将势能表达式渐近展开，并代入薛定格方程，在适当的条件下将势能表达式渐近展开，并代入薛定格方程，即可求出粒子的两种量子态（图），从而说明超导结作为量子即可求出粒子的两种量子态（图），从而说明超导结作为量子比特的可能性，并称为相位量子比特。比特的可能性，并称为相位量子比特。 1IIdc)(sU49dptItIcos)()()(0)2coth()()(kTeIepqp)(2)()(22)()(2)2coth(！RkTpeeIkTkTeIepkTkT无关与)(2cos12)()(0RkTdRkTtItI相关函数和功率谱互为富氏变换相关函数和功率谱互为富氏变换我们先讨论我们先讨论RSJ模型，用线性
24、电阻模型，用线性电阻R代表准粒子隧道电流，看看其中的代表准粒子隧道电流，看看其中的热噪声对于热噪声对于IV曲线有何影响。曲线有何影响。准粒子隧道电流的功率谱是准粒子隧道电流的功率谱是kT在高温时在高温时，所以这是白噪声，即功率谱是常量，相关函数是所以这是白噪声，即功率谱是常量，相关函数是函数。函数。50)(sin21tIRVIItVCVet考虑了热之张落之后，考虑了热之张落之后，RSJ模型的电路方程是模型的电路方程是)(tI其中其中 表示表示R中的噪声电流，因噪声与损耗有关，而第一式中的噪声电流，因噪声与损耗有关，而第一式是不包含损耗的，故不加入噪声项。是不包含损耗的，故不加入噪声项。)(si
25、n)()(1tItGVdttdVCIdc51讨论了宏观讨论了宏观IVIV特性特性( (零噪声零噪声情形情形) ) 然而，对于热涨落然而，对于热涨落的影响在临界范围内产生一的影响在临界范围内产生一宏观影响的情形来说，约瑟宏观影响的情形来说，约瑟夫森结是一个很好的例子夫森结是一个很好的例子现在来考虑热涨落对现在来考虑热涨落对IVIV特特性的影响。这时，再一次利性的影响。这时，再一次利用零噪声极限的用零噪声极限的RSJRSJ模型如模型如我们将看到的，热涨落的影我们将看到的，热涨落的影响造成了响造成了IVIV曲线的曲线的“圆拱圆拱化化” 热涨落效应热涨落效应a)热之张落对热之张落对I-V特性曲线的影响
26、特性曲线的影响100/cIekT52CeeecVecxx221)2(222222,2xceVxceV)(21)sin(2)2/(21112221tIexRCxIIeIxCexx于是于是代入至原方程，有代入至原方程，有令令53)(121221tixdxdUxxMxo)(),()(),()(),(212212212111tFxxxfxtFxxxfxtFxxxfxiniinn可得可得一般地就是一般地就是21111/1(),21( )( )(cos)22oIeICMeIRCkTI ti tUkTxxe 令令54 xxxxn),(21在任一时刻，我们只能谈论系统位于某一代表点在任一时刻，我们只能谈论系统
27、位于某一代表点),(),(1txptxxpntx的概率密的概率密以及在给定的时间以及在给定的时间内由内由xx),(xxtt跳跃至跳跃至的概率的概率。让我们计算一下，在。让我们计算一下，在x)( xd 时刻系统的代表点处于时刻系统的代表点处于M（）附近）附近的小范围内的概率，的小范围内的概率，),(ttxp即即),()(),(1111xxxxdtxxp)(1xx)(1xdtx1时间时间t，点于，点于M，附近附近，在，在内完成内完成的跳跃的跳跃ttx)( xd 以下情形均可导致以下情形均可导致时位于时位于M（）附近）附近的小范围内。的小范围内。55),()(),(2222xxxxdtxxp)(),
28、(),(),(xdxxxtxxpttxpxjijijiiiiiiixxpxxxpxxxptxptxxpttptxpttxp2222)(21),(),(),(),()(2xx)(2xdtx2时间时间t，点处于，点处于M，附近附近内，在内，在内完成内完成的跳跃的跳跃因此因此由由Taylos展开展开56)(),()(),()()()(),(1)(),(22xdxxxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxjixjiixiixix )(21lim2220jijijiiiiiiittxxpxxtxpxtxpxtp代入至原式，注意到代入至原式，注意到得得57)(),(21tFxxxfxinii的项含的项含t
29、dttFtttdttFtttxxtdttFtttxdttFttttfxdttFttttfxjijiiiiiiiii)()()()()()(22ijjitjitiiititiiitiitStdttFtttdttFttttxxStdttFttttxftdttFtttftx)()(limlim)(lim)(lim)(limlim00202000由原运动方程由原运动方程得得58jiijjiiiiiiiiipSxxpSxfpxtp)()(21)(22)(121221tixdxdUxxMxo)()(),(0)(),(22121212211titFxdxdUxxftFMxxxfo)(2)()(0)(RkTt
30、ItItI最终得最终得回到目前的情形回到目前的情形相当于相当于而且而且FPE5922221212222222211)(21)()(xpkTMpxdxdUxxpMxtpxpSxpfxpftpoo)(121221tixdxdUxxMxoMtixdxdUMxo)(11111211120,0SS于是于是 ，FPE成为成为作为特例，考虑电容可以略去的情形。此时，无噪声的作为特例，考虑电容可以略去的情形。此时，无噪声的RSJ模型给出的模型给出的I-V曲线是双曲线。考虑有噪声的情形，曲线是双曲线。考虑有噪声的情形，上式微商，以下式代入，上式微商，以下式代入，60ooMtidxdUMx)(111oooMkTS
31、MtiFdxdUMf20)(,111111121211)1(xpMkTdxdUMpxtpooM1o1x 注意到注意到C很小时，很小时，及及均很大，故把均很大，故把略去，得略去，得对这一方程，对这一方程， FPE是是6111xpMkTdxdUMpoo., 0consttpdddUpMdxdUMxoo201111定义定义1xtpJt得得与连续性方程与连续性方程对比，可知对比，可知相当于概率流。在驻常情况下，相当于概率流。在驻常情况下，1x 0)(ti现在计算现在计算，按定义，它就是，按定义，它就是。由于。由于，故，故62CxpMkTdxdUMpxpMkTdxdUMpxtpoooo111101)si
32、n(21Cpp)(1eCCep的数值可如下得出的数值可如下得出注意注意U的定义的定义再积分，再积分，22020dddppMkTdo代入代入以以)2()0(pp（驻常条件（驻常条件=const，以及，以及）6312CMkTo111210111221/ 212 1exp()exp()2exp()(sin)222exp()122exp(),0,0,()oTCTIdVRITeTVRITVR II 于是（见于是（见Barone书）书）其中其中64100/cIekT65666768697071727374757677隧道结内的谐振模式隧道结内的谐振模式ook/C电磁波的相速电磁波的相速与与相等时呈出谐振，极大值对应于下列相等时呈出谐振，极大值对应于下列Vo电压值电压值2122max12oyoJoyCVdHCCJJH yH在无限长结中，在无限长结中，yH 878
