1、第七章第七章 气候变量场时空结构的气候变量场时空结构的分离分离Empirical Orthogonal Function, EOF分解分解某一区域的某一区域的气候变量场气候变量场通常由许多个观测站点或通常由许多个观测站点或网格点构成，而且它是随时间变化的，实际情况网格点构成，而且它是随时间变化的，实际情况相当复杂。相当复杂。如何找到它的主要如何找到它的主要空间分布特征空间分布特征及其及其时间变时间变化规律化规律？如果能用个数较少的几个空间模态来描述原变量如果能用个数较少的几个空间模态来描述原变量场，且又能基本涵盖原变量场的信息，则能够较场，且又能基本涵盖原变量场的信息，则能够较好地得到原变量场
2、的时空变化特征。好地得到原变量场的时空变化特征。气候统计诊断应用中最普遍的办法是把原变量场气候统计诊断应用中最普遍的办法是把原变量场分解为经验正交函数的组合，构成为数很少的不分解为经验正交函数的组合，构成为数很少的不相关典型模态，代替原变量场，即相关典型模态，代替原变量场，即EOFEOF方法方法。7.1 EOF方法方法EOFEOF的功能的功能是从气象变量场的资料集中识别是从气象变量场的资料集中识别出主要的相互正交的空间分布型。出主要的相互正交的空间分布型。l大多数人认为是大多数人认为是Lorenz于于1956年在他的著年在他的著作作Empirical Orthogonal Function a
3、nd statistical weather prediction中首先提出的。中首先提出的。l历史上，历史上，EOF方法还曾被称为统计正交函数展方法还曾被称为统计正交函数展开、自然正交展开等。其应用至少可追溯到开、自然正交展开等。其应用至少可追溯到20世纪世纪40年代。例如，前苏联气象学家奥布霍夫年代。例如，前苏联气象学家奥布霍夫在在1947年已应用该方法分析气候变量场。年已应用该方法分析气候变量场。方法概述方法概述设有一个变量场，它的观测资料在设有一个变量场，它的观测资料在p个空间点个空间点（网格点或观测站点）上取值，这（网格点或观测站点）上取值，这p个空间点按个空间点按一定规则排列，数学
4、上可以把这个场看作一个一定规则排列，数学上可以把这个场看作一个p维向量维向量x。它有容量为。它有容量为n的样本（时间长度为的样本（时间长度为n）x1，x2， ，xn，每个样本是，每个样本是p维向量，记为维向量，记为 xt=(x1, x2, , xp)T t=1, 2, , nxt不是抽象的，把它的不是抽象的，把它的p个分量填在各自对应格点个分量填在各自对应格点的位置上，分析等值线，就是该变量场第的位置上，分析等值线，就是该变量场第t个样本个样本的分布图，这样的图共有的分布图，这样的图共有n张。张。方法概述方法概述pnppnnnxxxxxxxxx21222211121121xxxX利用线性代数知
5、识，可将利用线性代数知识，可将X分解为两个矩阵的乘分解为两个矩阵的乘积。表示为积。表示为其中其中分别称为分别称为空间函数矩阵空间函数矩阵和和时间函数矩阵（主分时间函数矩阵（主分量）量）。其中其中m是矩阵是矩阵XXT的秩，的秩，m p。由于它们是根据场的资料阵由于它们是根据场的资料阵X进行分解，分解的进行分解，分解的函数没有固定的函数形式，因而称为函数没有固定的函数形式，因而称为“经验经验”的。的。VYX pmppmmvvvvvvvvv212222111211Vmnmmnnyyyyyyyyy212222111211YV和和Y如何求？如何求？其中其中V是矩阵是矩阵XXT的特征向量，它的每个的特征向
6、量，它的每个列向量是相互正交的，故列向量是相互正交的，故VTV=VVT=I。lXXT为为p行行p列的矩阵，称为交叉积矩阵。列的矩阵，称为交叉积矩阵。每个特征向量对应矩阵的一个特征值每个特征向量对应矩阵的一个特征值 ，将特征向量按将特征向量按 从大到小的顺序排列。从大到小的顺序排列。相应地，相应地，Y=VTX则可用正交向量的线性组合表示任一向量则可用正交向量的线性组合表示任一向量xt其中其中vk是是p维向量，它不随时间变化，把它的维向量，它不随时间变化，把它的p个分量个分量v1k， v2k ， vpk的值填在对应格点的的值填在对应格点的位置上也得到一个空间分布图。位置上也得到一个空间分布图。这些
7、空间分布图就反映了这些空间分布图就反映了x1，x2，xn共同共同的空间变化特征。的空间变化特征。常称常称vk为为空间型空间型(spatial pattern)或模态或模态(Mode)，也就是，也就是x1，x2，xn典型的样子。典型的样子。 mkkktty1vxyk(t)称为时间系数或主分量。称为时间系数或主分量。主分量的性质：主分量的性质：l对于由对于由p个格点组成的变量场，可分解得到个格点组成的变量场，可分解得到m个个(mUk95，则认为第，则认为第k个特征向量在个特征向量在95%置置信度水平上是显著的。信度水平上是显著的。100, 2 , 1, 2 , 11rmkUmirirkrk结果分析
8、结果分析从特征值的从特征值的方差贡献方差贡献和累积方差贡献了解所和累积方差贡献了解所分析的特征向量的方差占总方差的比例及前分析的特征向量的方差占总方差的比例及前几项特征向量共占总方差的比例。几项特征向量共占总方差的比例。通过显著性检验的前几项特征向量通过显著性检验的前几项特征向量最大限度最大限度地表征了某一区域气候变量场的空间分布结地表征了某一区域气候变量场的空间分布结构。它们构。它们所代表的空间分布型是该变量场典所代表的空间分布型是该变量场典型的分布结构型的分布结构。特征向量所对应的特征向量所对应的时间系数代表了时间系数代表了这一区域这一区域由特征向量所表征的由特征向量所表征的分布型的时间变
9、化特征分布型的时间变化特征。例：热带太平洋海例：热带太平洋海表温度距平场表温度距平场EOF第一模态第一模态空空间型间型（上图）及相（上图）及相应的应的时间系数时间系数序列序列（下图）（下图）实际应用中的一些问题实际应用中的一些问题1、计算中的时空转换、计算中的时空转换2、EOF分析时采用原始资料、距平资料分析时采用原始资料、距平资料和标准化距平资料，所得结果是否相同？和标准化距平资料，所得结果是否相同？具体分析时，选择哪种资料较好？具体分析时，选择哪种资料较好？3、空间型的表示、空间型的表示4、气象要素场的重构、气象要素场的重构5、模态整体方差贡献和模态局地方差贡、模态整体方差贡献和模态局地方
10、差贡献的区别献的区别6、EOF图与图与“一点相关图一点相关图”的相似性的相似性实际应用中的一些问题实际应用中的一些问题1、计算中的时空转换、计算中的时空转换2、EOF分析时采用原始资料、距平资料分析时采用原始资料、距平资料和标准化距平资料，所得结果是否相同？和标准化距平资料，所得结果是否相同？具体分析时，选择哪种资料较好？具体分析时，选择哪种资料较好？3、空间型的表示、空间型的表示4、气象要素场的重构、气象要素场的重构5、模态整体方差贡献和模态局地方差贡、模态整体方差贡献和模态局地方差贡献的区别献的区别6、EOF图与图与“一点相关图一点相关图”的相似性的相似性计算中的时空转换计算中的时空转换通
11、常气象场通常气象场的空间点很多，而所取的资料的空间点很多，而所取的资料样本量相对较少，即样本量相对较少，即np。这时对应空间。这时对应空间点的变量的点的变量的XXT阶数较大阶数较大（p p），），计算计算量很大量很大。可以选择时空转换的方法来减小计算复杂可以选择时空转换的方法来减小计算复杂度。度。因为因为XTX与与XXT的特征值相等，故可以先的特征值相等，故可以先计算计算XTX的特征值及特征向量，再利用它的特征值及特征向量，再利用它们的关系求出们的关系求出XXT的特征向量。的特征向量。时空转换求解特征向量的过程时空转换求解特征向量的过程设矩阵设矩阵XXT的特征向量为的特征向量为VR，XTX的特
12、征向量的特征向量为为VQ。求出矩阵求出矩阵XTX的特征值及特征向量的特征值及特征向量VQ；利用关系式利用关系式v=XVQ，求出，求出v；利用关系式利用关系式 ，求出，求出VR。vVR1如何求出矩阵的特征值和特征向量？如何求出矩阵的特征值和特征向量？以矩阵以矩阵A为例，其特征值和特征向量的求为例，其特征值和特征向量的求解：解：l计算计算| I-A|，其中，其中I为单位矩阵，其对角元素为为单位矩阵，其对角元素为1，其它元素均为，其它元素均为0；l求出求出| I-A|=0在给定数域上的全部特征值；在给定数域上的全部特征值；l对于每个特征值对于每个特征值 ，求出相应的特征方程组的，求出相应的特征方程组
13、的解。解。实际应用中的一些问题实际应用中的一些问题1、计算中的时空转换、计算中的时空转换2、EOF分析时采用原始资料、距平资料分析时采用原始资料、距平资料和标准化距平资料，所得结果是否相同？和标准化距平资料，所得结果是否相同？具体分析时，选择哪种资料较好？具体分析时，选择哪种资料较好？3、空间型的表示、空间型的表示4、气象要素场的重构、气象要素场的重构5、模态整体方差贡献和模态局地方差贡、模态整体方差贡献和模态局地方差贡献的区别献的区别6、EOF图与图与“一点相关图一点相关图”的相似性的相似性资料的选取资料的选取一般采用距平场或标准化距平场作为分析一般采用距平场或标准化距平场作为分析对象。对象
14、。采用采用距平资料距平资料进行分析时，当分析对象的进行分析时，当分析对象的各分量的标准差相差大时，分析的结果会各分量的标准差相差大时，分析的结果会重点重点反映标准差大的那些分量包含的信息反映标准差大的那些分量包含的信息，影响分析结果。，影响分析结果。所以在应用中也常取标准化距平作为分析所以在应用中也常取标准化距平作为分析对象，它去除了标准差不同的影响。但并对象，它去除了标准差不同的影响。但并非都要这样做。非都要这样做。资料的选取资料的选取例：在分析热带海表温度距平（例：在分析热带海表温度距平（SSTA）时）时，在，在El Nio和和La Nia活动的区域，即热活动的区域，即热带中东太平洋，海温
15、异常就是强。带中东太平洋，海温异常就是强。如果采用标准化的如果采用标准化的SSTA做做EOF分析，则分析，则El Nio现象的空间结构和时间演变就反映不现象的空间结构和时间演变就反映不出来了。出来了。可见，具体怎样应用，要根据研究目的和被可见，具体怎样应用，要根据研究目的和被研究对象的特征确定。研究对象的特征确定。例：热带太平洋海例：热带太平洋海表温度距平场表温度距平场EOF第一模态第一模态空空间型间型（上图）及相（上图）及相应的应的时间系数时间系数序列序列（下图）（下图）例：热带太平洋海例：热带太平洋海表温度标准化距平表温度标准化距平场场EOF第一模态第一模态空间型空间型（上图）及（上图）及
16、相应的相应的时间系数时间系数序序列（下图）列（下图）资料的选取资料的选取如果想表示出气候变率强度的如果想表示出气候变率强度的地理差异地理差异，就直接采用就直接采用距平距平资料为分析对象；资料为分析对象；如果想较多地如果想较多地定性反映空间相关结构定性反映空间相关结构，则，则可采用可采用标准化距平场标准化距平场为分析对象。为分析对象。实际应用中的一些问题实际应用中的一些问题1、计算中的时空转换、计算中的时空转换2、EOF分析时采用原始资料、距平资料分析时采用原始资料、距平资料和标准化距平资料，所得结果是否相同？和标准化距平资料，所得结果是否相同？具体分析时，选择哪种资料较好？具体分析时，选择哪种
17、资料较好？3、空间型的表示、空间型的表示4、气象要素场的重构、气象要素场的重构5、模态整体方差贡献和模态局地方差贡、模态整体方差贡献和模态局地方差贡献的区别献的区别6、EOF图与图与“一点相关图一点相关图”的相似性的相似性空间型的表示空间型的表示特征向量反映空间结构，一般直接画计算特征向量反映空间结构，一般直接画计算得到的得到的vk图，称图，称EOF图。图。但是，计算得到的但是，计算得到的vk是归一化的，所有分是归一化的，所有分量的平方和为量的平方和为1。l格点很多时，每个空间点的分量很小，格点很多时，每个空间点的分量很小，l对同一气象要素场所取格点数不同时，对同一气象要素场所取格点数不同时，
18、vk的分的分量值也不同，量值也不同， vk只给出分布形势，其分量值的大小没有只给出分布形势，其分量值的大小没有意义。意义。我们把我们把yk(t)标准化，则标准化，则 mkkktty1vx ./,/1kkkkkkmkkkkkttyyty其对应的时间系数为为新的空间分布型取的标准差。为其中vvx.,EOF但包含了更多数量信息图完全一样它的空间分布形势与图图也称为特征向量图或kkkvv例：热带太平洋海例：热带太平洋海表温度距平场表温度距平场EOF第一模态第一模态空空间型间型（归一化的特（归一化的特征向量乘以特征值征向量乘以特征值的平方根）（上图）的平方根）（上图）及相应的及相应的时间系数时间系数序列
19、（下图）序列（下图）例：热带太平洋海例：热带太平洋海表温度距平场表温度距平场EOF第一模态第一模态空空间型间型（归一化的特（归一化的特征向量）（上图）征向量）（上图）及相应的及相应的时间系数时间系数序列（下图）序列（下图）例：热带太平洋海例：热带太平洋海表温度标准化距平表温度标准化距平场场EOF第一模态第一模态空间型空间型（归一化的（归一化的特征向量乘以特征特征向量乘以特征值的平方根）（上值的平方根）（上图）及相应的图）及相应的时间时间系数系数序列（下图）序列（下图）例：热带太平洋海例：热带太平洋海表温度标准化距平表温度标准化距平场场EOF第一模态第一模态空间型空间型（归一化的（归一化的特征向
20、量）（上图）特征向量）（上图）及相应的及相应的时间系数时间系数序列（下图）序列（下图）归一化的空间分布图上，归一化的空间分布图上，El Nio的距平的距平空间分布和时段都可在图上看到，但是其空间分布和时段都可在图上看到，但是其值大多为零点零几，很难说明值的含义。值大多为零点零几，很难说明值的含义。时间系数也类似。时间系数也类似。归一化的特征向量乘以特征值的平方根，归一化的特征向量乘以特征值的平方根，时间系数是标准化的，因为时间系数的一时间系数是标准化的，因为时间系数的一般大小为般大小为1，所以空间型的量值就是这个，所以空间型的量值就是这个模态表示出的分析对象的一般大小。模态表示出的分析对象的一
21、般大小。实际应用中的一些问题实际应用中的一些问题1、计算中的时空转换、计算中的时空转换2、EOF分析时采用原始资料、距平资料分析时采用原始资料、距平资料和标准化距平资料，所得结果是否相同？和标准化距平资料，所得结果是否相同？具体分析时，选择哪种资料较好？具体分析时，选择哪种资料较好？3、空间型的表示、空间型的表示4、气象要素场的重构、气象要素场的重构5、模态整体方差贡献和模态局地方差贡、模态整体方差贡献和模态局地方差贡献的区别献的区别6、EOF图与图与“一点相关图一点相关图”的相似性的相似性气象要素场的重构气象要素场的重构 息。气象要素场的大部分信可还原主分量选取其中的前几个即)(,21121
22、1kvvvtyxxxtykpmkktpmkkktvx实际应用中的一些问题实际应用中的一些问题1、计算中的时空转换、计算中的时空转换2、EOF分析时采用原始资料、距平资料分析时采用原始资料、距平资料和标准化距平资料，所得结果是否相同？和标准化距平资料，所得结果是否相同？具体分析时，选择哪种资料较好？具体分析时，选择哪种资料较好？3、空间型的表示、空间型的表示4、气象要素场的重构、气象要素场的重构5、模态整体方差贡献和模态局地方差贡、模态整体方差贡献和模态局地方差贡献的区别献的区别6、EOF图与图与“一点相关图一点相关图”的相似性的相似性yk(t)称为时间系数或主分量。称为时间系数或主分量。主分量
23、的性质：主分量的性质：l对于由对于由p个格点组成的变量场，可分解得到个格点组成的变量场，可分解得到m个个(mp)主分量，每个不同的主分量彼此是无关的。主分量，每个不同的主分量彼此是无关的。l各主分量的方差分别为各主分量的方差分别为XXT的特征值，各主分的特征值，各主分量的方差贡献大小按矩阵量的方差贡献大小按矩阵XXT特征值大小顺序特征值大小顺序排列。排列。lm个主分量的总方差与原个主分量的总方差与原p个格点的总方差相等。个格点的总方差相等。模态方差贡献与模态局地方差贡献模态方差贡献与模态局地方差贡献模态方差贡献模态方差贡献: 某一模态所有格点的某一模态所有格点的方差方差和和对原始场所有格点对原
24、始场所有格点方差和方差和的比值。的比值。模态局地方差贡献模态局地方差贡献: 某一模态在某个格点某一模态在某个格点上的上的方差方差对原始场该格点对原始场该格点方差方差的比值的比值. 态每个点的方差贡献。可依据此式计算某一模kpmkktpvvvtyxxx,21121某一模态在每个格点上的方差贡献是否都相等？某一模态在每个格点上的方差贡献是否都相等？Percentage variance (%) explained by the first four S-EOF modes.模态方差贡献模态方差贡献引自引自Bing Wang, 2005Figure 4. (a) Spatial patterns o
25、f the first S-EOF mode of (DJF to SON) SSTA (contours) and the percent variance fraction (color shadings). (b) As in Figure 4a except for the second S-EOF mode. The solid contours starting from 0.1 denote positive values, while the dashed contours starting from -0.1 denote negative values. The conto
26、ur interval is 0.1.模态局地方差贡献模态局地方差贡献引自引自Bing Wang, 2005EOF图与图与“一点相关图一点相关图”的相似性的相似性EOF图和有些一点相关图非常相似。图和有些一点相关图非常相似。如何寻找与如何寻找与EOF图最相近的一点相关图？图最相近的一点相关图？EOF图反映场图反映场的空间结构。的空间结构。在大气环流遥相关型研究在大气环流遥相关型研究中还用中还用“一点相关图一点相关图”(one point correlation map)表示表示场的相关结构。场的相关结构。EOF图与图与“一点相关图一点相关图”的相似性的相似性一点相关图一点相关图：以研究的气象场
27、上一个点为：以研究的气象场上一个点为固定点，定点的气象序列与其他各格点（固定点，定点的气象序列与其他各格点（包括定点自身）变量序列间的相关系数分包括定点自身）变量序列间的相关系数分布图。布图。如果以第如果以第j个空间点为定点，就是个空间点为定点，就是r(xj, xi), i=1,2, ,p的分布图。的分布图。定点定点j取不同空间点时，最多可有取不同空间点时，最多可有p张张“一一点相关图点相关图”。哪张哪张“一点相关图一点相关图”与与vk图最相似呢？图最相似呢？图。“一点相关图”，记为格点为定点的表示以第行左边矩阵的第满足方程：则就是相关系数矩阵。交叉积矩阵故的，则分析是对标准化距平做假设jjp
28、jjpkjkkkkpkkkppppjpjjppkjijiijrrrjvvvvvvvrrrrrrrrrrrrxxrxxpixRvXXT,Cov, 2 , 1, 1VarEOF21212121212222111211反相似）。点相关图”最相似（或达最大点为定点的“一图与以它的分量绝对值况，即推广到正负都包括的情”最相似。为定点的“一点相关图点图与以它的分量达最大由上式可见，的量，称为相似指数。是衡量两个图相似程度的点乘（或投影），与左边是可见，kkkjjkkpiikjivvrvvvR1对对EOF时间系数的分析时间系数的分析可利用前面所学的针对时间序列的分析方可利用前面所学的针对时间序列的分析方法对
29、其作分析，说明某个时间系数对应的法对其作分析，说明某个时间系数对应的典型空间分布形势随时间的变化。典型空间分布形势随时间的变化。l线性趋势分析线性趋势分析l突变分析突变分析l周期分析周期分析l等等Figure 3. (a) Principal component of the first S-EOF mode of (DJF to SON) SSTA over the Indo-Pacific Ocean and its power spectrum density. (b) and (c) The same as Figure 3a except for the second and thi
30、rd S-EOF modes, respectively.引自引自Bing Wang, 2005EOF分析方法在分析时间变化特征分析方法在分析时间变化特征的应用的应用传统传统EOF分析方法，所分析的是随时间变化的分析方法，所分析的是随时间变化的空间场，其空间格点为空间场，其空间格点为p。实际应用时，可将实际应用时，可将p个空间格点换成个空间格点换成q个时间。个时间。l例：有一组数据，是某个测站的逐日数据，每年都例：有一组数据，是某个测站的逐日数据，每年都有逐日数据共有逐日数据共q天。若要分析的是它的逐日演变的天。若要分析的是它的逐日演变的年际变化特征，则将所有的天数看作年际变化特征，则将所有的
31、天数看作“空间点空间点”，可以利用可以利用EOF分析得到这分析得到这q天的天的“空间分布空间分布”，即，即逐日变化的曲线，其相应的时间系数为每年一个值逐日变化的曲线，其相应的时间系数为每年一个值，表示，表示“空间分布空间分布”对应的年际变化特征。对应的年际变化特征。7.2 扩展经验正交函数（扩展经验正交函数（EEOF）EOF方法可以分析固定时间形式的空间分布方法可以分析固定时间形式的空间分布结构，它不能得到随时间移动的空间分布结构，它不能得到随时间移动的空间分布结构。结构。然而，气候变量场在时间上存在显著的正然而，气候变量场在时间上存在显著的正相关及交叉相关，相关及交叉相关，EEOF考虑了变量
32、场时间考虑了变量场时间上的这种联系，因此可以得到变量场的移上的这种联系，因此可以得到变量场的移动性分布结构。动性分布结构。EEOF方法主要用在空间分布时滞性变化的方法主要用在空间分布时滞性变化的分析研究中。分析研究中。构造构造由多个时间的空间场组成的资料矩阵由多个时间的空间场组成的资料矩阵，例如添加超前一个时间和滞后一个时间的例如添加超前一个时间和滞后一个时间的资料矩阵。本来空间点为资料矩阵。本来空间点为p，现在将超前和，现在将超前和滞后时刻的资料添加进来，相当于构成新滞后时刻的资料添加进来，相当于构成新的资料阵的空间点为的资料阵的空间点为3p，对其进行对其进行EOF分解，分解，分解后再分别研
33、究超前、当前和滞后时刻分解后再分别研究超前、当前和滞后时刻的空间分布，的空间分布，探讨空间分布的时间演变特征。探讨空间分布的时间演变特征。EEOF的总体思路的总体思路计算步骤计算步骤1、构造资料矩阵、构造资料矩阵.2212jnnp为故新的资料阵时间长度矩阵构成。个时次的资料个时次和滞后滞后刻资料矩阵、新的资料矩阵是由原时它的形式如右个时次的资料矩阵，例如：建立滞后。首先建立新的资料矩阵的变量场，时间取样长度为个空间点，对于一个有pnjpjpnjjjpnpjpjjnjjjpnppjnjnpxxxxxxxxxxxxxxxxxx22121212112211211122121121123Xj为滞后时间
34、长度。为滞后时间长度。j的选取可依据具体问题决定。的选取可依据具体问题决定。例：研究气候变量场准两年振荡，例：研究气候变量场准两年振荡，j取取4个个月，此时资料阵由滞后月，此时资料阵由滞后0, 4, 8个月构成。个月构成。2、计算协方差矩阵、计算协方差矩阵计算该资料阵的协方差矩阵计算该资料阵的协方差矩阵S，此时，此时S是是3p3p阶是对称矩阵。阶是对称矩阵。3、求解特征值和特征向量、求解特征值和特征向量求出求出S的特征值的特征值和特征向量和特征向量V。此时有此时有3p个特征值和个特征值和3p个特征向量。个特征向量。每个特征向量包括每个特征向量包括3p个空间点。个空间点。如，第一个特征向量为如，
35、第一个特征向量为时次的特征向量，是滞后时次的特征向量，是滞后时次的特征向量，是滞后其中2,1,0,322122212132212221211ppppPpppppppppTvvvvvvvvvvvvvvvvvvV4、计算时间系数、计算时间系数与与EOF一样，利用一样，利用Y=VTX计算时间系数。计算时间系数。Y矩阵为矩阵为3p行，行，n-2j列。列。注意：注意：每个特征向量的时间系数所对应的时刻为：每个特征向量的时间系数所对应的时刻为：l从从1到到p个特征向量的时间系数对应的时刻是个特征向量的时间系数对应的时刻是1, 2, , n-2j;l从从p+1到到2p个特征向量的时间系数对应的时刻是个特征向
36、量的时间系数对应的时刻是j+1, j+2, , n-j;l从从2p+1到到3p个特征向量的时间系数对应的时刻是个特征向量的时间系数对应的时刻是2j+1, 2j+2, , n.5、计算方差贡献和累积方差贡献、计算方差贡献和累积方差贡献第第k个主分量的方差贡献大小为个主分量的方差贡献大小为前前k个主分量占总方差的百分率为累积方个主分量占总方差的百分率为累积方差贡献百分率，称累积解释方差，差贡献百分率，称累积解释方差，piikkR31 piikiikG311如果研究资料不是逐月资料如果研究资料不是逐月资料例：每年夏季的例：每年夏季的500 hPa位势高度的分布位势高度的分布可能与之前的春季有联系，可
37、能会影响其可能与之前的春季有联系，可能会影响其后秋季的分布，如何分析它们三个季节变后秋季的分布，如何分析它们三个季节变化间的联系？化间的联系？相应的相应的EEOF该如何构建新的资料阵？该如何构建新的资料阵？季节季节EOF分析方法分析方法Season-reliant EOF (S-EOF)A method for detecting season-dependent modes of climate variability: S-EOF analysisBin Wang and Soon-II AnGEOPHYSICAL RESEARCH LETTERS, V O L . 3 2 , L 1 5
38、 7 1 0 , doi:10.1029/2005GL022709, 2005IntroductionFigure 1 shows that the conventional EOF analysis of boreal winter (DJF) mean sea surface temperature (SST) anomalies in the Indo-Pacific Ocean yields only one leading mode that is statistically significant (distinguished from others) according to t
39、he rule of thumb by North et al. 1982. This mode represents a mature phase of ENSO.The corresponding PC consists of mixed temporal signals: low-frequency (LF) (45 years), quasi-biennial (QB) (23 years), and a long-term trend and interdecadal variations.Due to the difficulty of EOF analysis in distin
40、guishing LF and QB components, the multi-faced ENSO behavior and the SST variability in the Indo-Pacific Ocean have to rely on usage of band-pass filtered data. The time filtering, however, is a subjective pre-processing approach.Can the two major components of ENSO (LF and QB) be objectively identi
41、fied or separated without subject to prior time filtering?In the present paper, we put forward an objective approach, the Season-reliant EOF (S-EOF) analysis, for distinguishing modes of variability that evolve with season.We will demonstrate the usefulness of the S-EOF in identifying physically mea
42、ningful modes of SST variability and in revealing additional information for understanding of the nature of the LF and QB components of ENSO.A basic assumption behind the S-EOF is that interannual to interdecadal SST variability may be strongly modulated by the seasonal march of the solar radiation
43、forcing and the resultant climatological annual cycles.S-EOF1.S-EOF是一种依赖于季节的经验正交函数分析方法，一种着重于年与年之间季节演变形态的变化的分析方法。2.S-EOF通过对随季节演变的变量场构造矩阵并进行EOF分解，可以得到该变量的年际变化主导模态的空间型和年际变化时间序列，同时也可得到该主模态随季节的演变，可以很好地表示出要素场的季节与年际变化特征。S-EOF1.S-EOF是一种依赖于季节的经验正交函数分析方法，一种着重于年与年之间季节演变形态的变化的分析方法。2.S-EOF通过对随季节演变的变量场构造矩阵并进行EOF分
44、解，可以得到该变量的年际变化主导模态的空间型和年际变化时间序列，同时也可得到该主模态随季节的演变，可以很好地表示出要素场的季节与年际变化特征。S-EOF该方法首先计算各季节SST距平的时间系列，从冬季(DJF)一直到秋季(SON)，比如用 DJF、MAM、JJA 和 SON 分别代表北半球的冬季、春季、夏季和秋季的季节平均，再对这些季节序列组成的矩阵进行常规 EOF 分析，最终得出的每个 S-EOF 模态含有 4 个空间模态，分别代表冬季、春季、夏季和秋季的SST距平随季节演化的空间模态，同时这 4 个不同季节的空间模态通过相同的时间系数序列联系起来。S-EOFlS-EOF分析是研究和理解依赖
45、于季节的年以上尺度变化的一种有用的工具，较适合分析某些有显著季节性时空变化海区的SST，海面高度等变化特征。l以某一确定范围的要素场X为例，根据S-EOF将X资料进行重新排序，行是每年内的季节数据，列对应的是逐年的数据，将这个资料矩阵做常规EOF分解，分离得到空间函数和时间系数，空间函数即为季节演变的模态。MethodologyWe now examine the SSTA in a seasonal sequence beginning from the winter of a year denoted as D(-1)JF(0) to the following fall SON(0).A
46、 covariance matrix is constructed by treating the SSTA in the given seasonal sequence as one time step for the year 0. The derived spatial pattern for each S-EOF mode will contain four sequential patterns representing seasonal evolution of the SSTA. The four-season sequential patterns share the same
47、 yearly value in their corresponding PC.Result23.9%14.6%According to the rule of North et al., the first two leading modes, which account for 23.9% and 14.6% of the total variance respectively, are well distinguished from each other and from the rest of the EOFs in terms of the sampling error bars.
48、Thus, the first two S-EOF modes are both statistically significant modes.Figure 3. (a) Principal component of the first S-EOF mode of (DJF to SON) SSTA over the Indo-Pacific Ocean and its power spectrum density. (b) and (c) The same as Figure 3a except for the second and third S-EOF modes, respectiv
49、ely.The PC1 reflects all El Nio and La Nia events and has a major spectral peak on 46 years. This mode resembles the LF component of the ENSO identified by Barnett 1991. For simplicity, we refer the S-EOF1 to as the LF-ENSO mode.The PC2 shows a biennial variability with a broad spectral peak on 23 y
50、ears. The biennial oscillation is particularly regular between 1962 and 1977. After the late 1970s, the biennial tendency is mainly associated with the turnabouts of El Nio/La Nia events. This mode resembles the QB component of ENSO.Figure 4. (a) Spatial patterns of the first S-EOF mode of (DJF to S
