1、2.9 Schrodinger 方程的解方程的解1. Free Electrons (自由电子自由电子) V=0解这个微分方程0222EhmdxdxiAex)(Ehm22 电子波函数为：本征能量：EtixieAex)(222222kmhmhE 2. 势井中的电子（束缚态）Bound electronVXa000222Ehmdxd A, B由边界条件确定：B=-A22222222nmahmhExixiBeAex)(Ehm220sin2)(0aAieeABeAexixixixina n=1,2,3. 能级（energy level） 能量量子化 零点能 简并态E E3 势垒贯穿势垒贯穿这是一个典型
2、的量子力学效应这是一个典型的量子力学效应经典力学：经典力学：一个动能为一个动能为E的球滚向一个小山，球在山顶的球滚向一个小山，球在山顶的势能为的势能为U，若，若UE，则球肯定不能越过包，则球肯定不能越过包出现在右边。出现在右边。U(x)U0 x0a0,0( )0,0,UxaU xxxa（1）量子力学：量子力学：即使即使UE，粒子也可能出现在势垒的右边，粒子也可能出现在势垒的右边，如同在势垒上穿了一个洞，粒子穿洞而过，如同在势垒上穿了一个洞，粒子穿洞而过，称为势垒贯穿或隧道效应。称为势垒贯穿或隧道效应。222202220,(0,)2()0,(0)dExxadxdEUxadx薛定谔方程为：薛定谔方
3、程为：（2）（3）11220122222,EUEkk令（4）先讨论EU0的情况（2）和（）和（3）改写为：）改写为：221222220,(0,)0,(0)dkxxadxdkxadx（5）（6）11221112300,ik xik xik xik xik xik xxAeAexaBeBexaCeC e，波函数为：，为: （7）（8）（9）定态波函数是定态波函数是 乘上一个含时间的因子乘上一个含时间的因子123, iEte123, 第一项是由左向右传播的平面波，第一项是由左向右传播的平面波，第二项是由右向左传播的平面波第二项是由右向左传播的平面波由（由（9）式可以知：没有向左传播的波，所以有，）式
4、可以知：没有向左传播的波，所以有，0C （10）根据波函数及其微商在根据波函数及其微商在x=0和和x=a连续的条件连续的条件即即1200,xxAABB有 12112200 xxddk Ak Ak Bk Bdxdx由22123(),ik aik aik ax ax aBeBeCe22132221,ik aik aik ax ax addk Bk Bek Cedxdx得出得出C, A与与A的关系的关系12222122212122212222121242sinik aik aik aik aik ak k eCAkkekkei kkakAAkkekke（11）（12）给出了透射波和反射波振幅与入射波
5、振幅之间的关系给出了透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系代入几率流密度，得到入射波几率流密度为：代入几率流密度，得到入射波几率流密度为：1111*212ik xik xik xik xiddJAeA eA eAedxdxkA透射波的几率流密度为：透射波的几率流密度为：反射波的几率流密度为：反射波的几率流密度为：21DkJC21RkJA 透射系数透射系数D：透射波几率流密度与入射波几率：透射波几率流密度与入射波几率 流密度之比流密度之比. 112222222222212224sin4Dk kCJDJAkkakk k（13）反射系数反射系数R：反射波几率流密度与入射波：反射波几率流密度与入射波
6、 几率流密度之比几率流密度之比12222212222222221222sin1sin41RkkakAJRDJAkkakk kRD 说明入射粒子一部分贯穿到说明入射粒子一部分贯穿到xa区域，区域，另一部分被反射回去另一部分被反射回去（14）再讨论EU0的情况,k是虚数，令k2=ik3, k3是实数由（由（4）式得）式得120322UEk（15）将（将（11）可写为：）可写为：11 32321331 332213222222133132244ik aik k eCAkkshk aik k chk ak kDkksh k ak k其中，其中，,22xxxxeeeeshxchx双曲正弦、双曲正弦、双曲
7、余弦函数双曲余弦函数11220122222,EUEkk令透射系数透射系数: 如果粒子的能量很小，可以将透射系数写成：如果粒子的能量很小，可以将透射系数写成：0322200UE ak aDD eD e透射系数随着势垒得宽度透射系数随着势垒得宽度a的减小的减小以电子为例，令U-E=5eV=8*10-19Ja(A)1.02.05.010.0D0.11.2*10-21.7*10-53.0*10-10如果势垒不是方形，而是任意形状时，如果势垒不是方形，而是任意形状时，22( )0baU xE dxDD eScanning Tunneling Microscope (STM)1981年Gerd Binnig(1947-) 和Heinrich Rohrer(1933-) 发明了STM1986年Gerd Binnig 和Heinrich Rohrer 与透射电子显微镜的发明人Ernst Ruska获得了诺贝尔物理奖 4. 晶体中的电子
