1、)(),( , )()(),(11 niijijniijjkjkxyyxx 主页拟合与插值的关系拟合与插值的关系 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。的。 实例：实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？MATLAB(cn)问题问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面解决方案解决方案：若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合数据拟合，又称曲线拟合或曲面
2、拟合。若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题插值问题；曲线拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路线性最小二乘法的基本思路第一步: :先选定一组函数先选定一组函数 r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1）其中其中 a1,a2, am 为待定系数。为待定系数。 第二步: 确定确定a1,a2, am 的准则（最小二乘准则）：的准则（最小二乘准则）：使使n个点个点（xi,yi) 与与曲线曲线 y=f(x) 的距离的距离 i 的平方和最小的平方和最小 。记记 )2()()(),
3、(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ 问题归结为，求问题归结为，求 a1,a2, am 使使 J(a1,a2, am) 最小。最小。线性最小二乘法的求解线性最小二乘法的求解 定理：定理：当当R RT TR R可逆时，超定方程组（可逆时，超定方程组（3 3）存在最小二乘解，）存在最小二乘解，且即为方程组且即为方程组 R RT TRa=RRa=RT Ty y的解：的解：a=(Ra=(RT TR)R)-1-1R RT Ty y 所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。
4、求以下超定方程组的最小二乘解的问题。nmnmnmyyyaaaxrxrxrxrR111111,)()()()(其中其中Ra=y （3）线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中中函数函数rr1 1(x), (x), r rm m(x)(x)的选取的选取 1. 1. 通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx 2. 2. 将数据将数据 (xi,yi) i=1, n 作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定
5、f(x)：编号拉伸倍数强度kg/mm2编号拉伸倍数强度kg/mm211.91.4135.05.522.01.3145.25.032.11.8156.05.542.52.5166.36.452.72.8176.56.062.72.5187.15.373.53.0198.06.583.52.7208.07.094.04.0218.98.5104.03.5229.08.0114.54.2239.58.1124.63.52410.08.1 )22412412(xyiiiiiba 60.73161.8295 .1271 .1135 .12724baba曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 的的 提提 法法
6、已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n个点个点（xi,yi) i=1,n, 寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使使 f(x) 在某种准则下与所在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi) 与与曲线曲线 y=f(x) 的距离的距离)1 ,(_40,28,11, 28 , 6 , 4 , 2;bAcendy);*i.sum(x.1)b(iendj);(isum(x.1)j1,A(im:0forjm:0fori1);m1,zeros(mA)p,m,ym)(x,y,agui_fit(xp FunctionyxfitaguipyxmatlabcP 命令窗口求解命令窗口求解在在的升幂排列的系数的升幂排列的系数返回多项式返回多项式为多项式的次数为多项式的次数为数据向量为数据向量
