1、2022年山东省临沂市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合Ax|x1，Bx|x2，则AB（）ABx|1x2Cx|x1或x2DR2（5分）已知z（2i）i，则z的虚部为（）A2iB2C2D2i3（5分）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）A2B3C33D34（5分）设向量a=（1，x），b=（x，9），若ab，则x（）A3B0C3D3或35（5分）二项式(2x+1x)6的展开式中无理项的项数为（）A2B3C4D56（5分）已知圆C：（x3）2+（y3）2R2，点A（0，2），B（
2、2，0），则“R28”是“直线AB与圆C有公共点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件7（5分）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.14159263.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（）A2280B2120C1440D7208（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，点P在第二象
3、限内，且满足|F1P|a，（F2P+F2F1）F1P=0，线段F1P与双曲线C交于点Q，若|F1P|3|F1Q|，则C的离心率为（）A213B305C516D10510二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每一小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选了得0分。（多选）9（5分）给出下列说法，其中正确的是（）A若数据x1，x2，xn的方差S2为0，则此组数据的众数唯一B已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6C一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多D线
4、性回归直线y=bx+a恒过样本点的中心(x，y)，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好（多选）10（5分）已知函数f(x)=3sin2x+cos2x(0)的零点构成一个公差为2的等差数列，把f（x）的图象沿x轴向右平移3个单位得到函数g（x）的图像，则（）Ag（x）在4，2上单调递增B(4，0)是g（x）的一个对称中心Cg（x）是奇函数Dg（x）在区间6，23上的值域为0，2（多选）11（5分）甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以A1，A2，A3表示从甲箱中取出的球是
5、红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的事件，则（）AB与A1互相独立BA1，A2，A3两两互斥CP(B|A2)=25DP(B)=12（多选）12（5分）在平面四边形ABCD中，ABD的面积是BCD面积的2倍，又数列an满足a12，当n2时，恒有BD=(an-1-2n-1)BA+(an+2n)BC，设an的前n项和为Sn，则（）Aan为等比数列Ban为递减数列Can2n为等差数列DSn=(5-2n)2n+1-10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）函数f（x）xln（x），则曲线yf（x）在xe处的切线方程为 14（5分）已知抛物线C：x
6、22py的焦点为F，Q（2，3）为C内的一点，M为C上的任意一点，且|MQ|+|MF|的最小值为4，则p ；若直线l过点Q，与抛物线C交于A，B两点，且Q为线段A，B的中点，则AOB的面积为 15（5分）已知正三棱台ABCABC的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为 16（5分）已知函数f（x）ex1e1x+x，则不等式f（2x）+f（43x）2的解集是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）在2casinC+ccosA，sin（B+C）=2-1+2sin2A2，2co
7、s（2-A）sin2A这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC为面积为S，已知_（1）求A；（2）若S6，b3，求a18（12分）2022年北京冬奥组委发布的北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占35，统计后得到如下22列联表：销售额不少于30万元销
8、售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时1720线上销售时间不足8小时合计45（1）请完成上面的22列联表，并依据0.01的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；（2）按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；在条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值19（12分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，E是棱PC的中点，F是棱PD上的点，且A，B，E，F四点共面（1）求证：F为PD的中点；（2）若PA底面ABCD，二面角PCDA的大小为
9、45，求直线AC与平面ABEF所成的角20（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，4Snan+1an+1（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足anbnan+1（1）nn，求bn的前2k项和T2k（kN*）21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为63，直线x=2被C截得的线段长为233（1）求C的方程；（2）若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且AF2=BF1，求四边形ABF1F2面积的最大值及此时的值22（12分）已知函数f(x)=ex-2ax(a0)（1）若ae，讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2是函数f（x）的
10、两个不同的零点，证明：1x1+x22lna+ln22022年山东省临沂市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合Ax|x1，Bx|x2，则AB（）ABx|1x2Cx|x1或x2DR【解答】解：设集合Ax|x1，Bx|x2，则ABR，故选：D2（5分）已知z（2i）i，则z的虚部为（）A2iB2C2D2i【解答】解：z（2i）i1+2i，z的虚部为2故选：C3（5分）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）A2B3C33D3【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半
11、圆，所以圆锥的底面周长为：2，底面半径为：1，圆锥的高为：3；圆锥的体积为：13123=33，故选：C4（5分）设向量a=（1，x），b=（x，9），若ab，则x（）A3B0C3D3或3【解答】解：根据题意，向量a=（1，x），b=（x，9），若ab，则有x29，解可得x3或3，故选：D5（5分）二项式(2x+1x)6的展开式中无理项的项数为（）A2B3C4D5【解答】解：根据题意，二项式(2x+1x)6展开式的通项Tr+126rC6rx6-3r2，分析可得：当r0、2、4、6时，Tr+1为有理项，即有4个有理项，而展开式共有7项，故二项式(2x+1x)6的展开式中无理项的项数为3故选：B6（
12、5分）已知圆C：（x3）2+（y3）2R2，点A（0，2），B（2，0），则“R28”是“直线AB与圆C有公共点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【解答】解：点A（2，0），B（0，2），直线AB方程为y=2-00-2x+2，即x+y20，则C（3，3）到直线AB的距离d=|3+3-2|2=22，直线AB与圆C有公共点R2d2R28，则R28是直线AB与圆C有公共点的充分不必要条件，故选：A7（5分）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.14159263.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数
13、学的伟大成就某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（）A2280B2120C1440D720【解答】解：由于数字1，4，1，5，9，2，6中有2个相同的数字1，故进行随机排列可以得到的不同情况有A77A22种，而只有小数点前两位为11，12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有2A55种，故得到的数字大于3.14的不同情况有A77A22-2A55=2280种故选：A8（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，
14、点P在第二象限内，且满足|F1P|a，（F2P+F2F1）F1P=0，线段F1P与双曲线C交于点Q，若|F1P|3|F1Q|，则C的离心率为（）A213B305C516D10510【解答】解：取线段F1P的中点E，连接F2E，因为(F1P+F1F2)F2P=0，所以F2EF1P，所以F1F2P是等腰三角形，且|F2P|F1F2|2c，在RtF1EF2中，cosF2F1E=|F1E|F1F2|=a22c=a4c，连接F2Q，又|F1Q|=a3，点Q在双曲线C上，由|F2Q|F1Q|2a，则|F2Q|=7a3，F1QF2中，cosF2F1Q=|F1F2|2+|F1Q|2-|F2Q|22|F1F2|
15、F1Q|=(2c)2+(a3)2-(73a)222ca3=a4c，整理得12c217a2，所以离心率e=ca=516，故选：C二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每一小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选了得0分。（多选）9（5分）给出下列说法，其中正确的是（）A若数据x1，x2，xn的方差S2为0，则此组数据的众数唯一B已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6C一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数应该大体上差不多D线性回归直线y=bx+a恒过样本点的中心(x
16、，y)，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若数据x1，x2，xn的方差S2为0，则数据x1，x2，xn的值全部相等，此时组数据的众数唯一，A正确；对于B，该组数据的第40百分位数为7，B错误；对于C，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，C正确；对于D，回归直线y=bx+a恒过样本点的中心(x，y)，分析回归直线的拟合效果，需要分析数据的残差平方和，D错误；故选：AC（多选）10（5分）已知函数f(x)=3sin2x+cos2x(0)的零点构成一个公差为2的等差数列，把f（x）的图象沿x轴向右平移3个单位得到函数g（x）的图像，则
17、（）Ag（x）在4，2上单调递增B(4，0)是g（x）的一个对称中心Cg（x）是奇函数Dg（x）在区间6，23上的值域为0，2【解答】解：因为f(x)=3sin2x+cos2x(0)，所以f(x)=2(32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+6)，因为函数f(x)=3sin2x+cos2x(0) 的零点依次构成一个公差为2的等差数列，1222=2，1，所以 f(x)=2sin(2x+6)，把函数 f（x） 的图象沿x轴向右平移3个单位，得g(x)=2sin2(x-3)+6=2sin(2x-2)=-2cos2x，即g（x）2cos2x，所以g（x）是偶函数，故C错误；对于A：当 x4，
18、2 时 2x2，因为ycosx 在2，上单调递减，所以g（x）在4，2 上单调递增，故A正确；对于B：g(4)=-2cos(24)=-2cos2=0，故(4，0) 是g（x） 的一个对称中心，故B正确；对于D：因为x6，23，所以2x3，43，所以cos2x-1，12，所以g（x）1，2，故D错误；故选：AB（多选）11（5分）甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以A1，A2，A3表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B表示取出的球是红球的
19、事件，则（）AB与A1互相独立BA1，A2，A3两两互斥CP(B|A2)=25DP(B)=12【解答】解：事件 A1 的发生与事件 B 的发生有影响，因此事件 A1 的发生与事件 B 不独立，A 错；A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，B正确；P(B|A2)=P(BA2)P(A2)=2941029=25，C正确；P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=49510+29410+39410=49，D错故选：BC（多选）12（5分）在平面四边形ABCD中，ABD的面积是BCD面积的2倍，又数列an满足a12，当n2时，恒有BD=(an-1-2n-1)BA+(
20、an+2n)BC，设an的前n项和为Sn，则（）Aan为等比数列Ban为递减数列Can2n为等差数列DSn=(5-2n)2n+1-10【解答】解：如图，连接BD交AC于点E，由ABC的面积是ACD面积的2倍，得AE2EC，即AE=2EC，设BD=BE=（BC+CE）（BC-13AC）BC-13（BC-BA）=23BC+3BA，BD=(an-1-2n-1)BA+(an+2n)，an12n1=3，an+2n=23，an+2n2（an12n1），an2an122n，an2n=an-12n-1-2，a12，a12=1，an2n是以1为首项，2为公差的等差数列，an2n=12（n1）2n+3，则an（2
21、n+3）2n，故A不正确，C正确；an+1an（2n+1）2n+1（2n+3）2n（2n+1）2n0恒成立，即an+1an，则数列an为递减列，故B正确；Sn12122333+（2n+3）2n，2Sn122223334+（2n+3）2n+1，Sn22（22+23+24+2n）（2n+3）2n+1224(1-2n-1)1-2-（2n+3）2n+110（52n）2n+1，Sn（52n）2n+110故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）函数f（x）xln（x），则曲线yf（x）在xe处的切线方程为 y2x+e【解答】解：求导函数可得f（x）ln（x）+1，当xe时，
22、f（e）lne+12，f（e）elnee，切点为（e，e），曲线yf（x）在xe处的切线方程是y+e2（x+e），即y2x+e故答案为：y2x+e14（5分）已知抛物线C：x22py的焦点为F，Q（2，3）为C内的一点，M为C上的任意一点，且|MQ|+|MF|的最小值为4，则p2；若直线l过点Q，与抛物线C交于A，B两点，且Q为线段A，B的中点，则AOB的面积为 22【解答】解：如图，过M作MM1垂直准线于M1，由抛物线定义可知|MF|MM1|，所以|MQ|+|MF|MQ|+|MM1|，过Q作QQ1垂直准线于Q1，交抛物线于P，所以|MQ|+|MM1|PQ|+|PQ1|，所以当M在P处时，|M
23、Q|+|MM1|PQ|+|PQ1|QQ1|最小，此时|QQ1|=3+p2=4，解得：p2所以抛物线标准方程为：x24y设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x12=4y1x22=4y2，两式相减得：x12-x22=4y1-4y2，即（x1+x2）（x1x2）4（y1y2），因为Q（2，3）为线段AB的中点，所以 x1+x24，所以直线AB的斜率为k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1，所以直线 AB 的方程为：y31（x2），即yx+1，由A（x1，y1），B（x2，y2）符合x2=4yy=x+1，消去y得：x24x40，所以x1+x24，x1x24，所以弦长|AB|=1+k2|x1-
24、x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=216+16=8，而O到直线AB的距离为d=|0-0-1|12+(-1)2=22，所以SABO=12|AB|d=12822=22故答案为：2；2215（5分）已知正三棱台ABCABC的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为 2【解答】解：过B作BDAB，AB2，AB5，DB=5-22=32，侧棱长为BB3，DBB=3，即AABAACCAB=3，则半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长332=2，故答案为：216（5分）已知函数f（x）ex1e1x+x，则不等式f（2x）+f（
25、43x）2的解集是 1，+）【解答】解：根据题意，设g（x）f（x）1ex1e1x+x1，则g（x+1）exex+x，设h（x）exex+x，其定义域为R，且h（x）exexxh（x），则h（x）为奇函数，则g（x）关于点（1，0）对称，则有g（2x）g（x），易得h（x）在R上为增函数，则g（x）在R上为增函数，不等式f（2x）+f（43x）2，变形可得f（2x）1+f（43x）10，即g（2x）+g（43x）0，变形可得g（43x）g（x），则有43xx，解可得x1，即不等式的解集为1，+）；故答案为：1，+）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17
26、（10分）在2casinC+ccosA，sin（B+C）=2-1+2sin2A2，2cos（2-A）sin2A这三个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC为面积为S，已知_（1）求A；（2）若S6，b3，求a【解答】解：（1）若选，由正弦定理可得2sinC=sinAsinC+sinCcosA，因为0C，所以sinC0，则2=sinA+cosA=2sin(A+4)sin(A+4)=1， 0A，于是A=4若选，由题意，sin(-A)=2-cosAsinA+cosA=2，则2sin(A+4)=2sin(A+4)=1，而0A，于是A=4若选，由题
27、意，2sinA=2sinAcosA，因为0A，所以sinA0，则cosA=22A=4（2）由题意，S=12bcsinA=32c22=6c=42，由余弦定理cosA=9+32-a22342=22a=1718（12分）2022年北京冬奥组委发布的北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占35，统计后得到如下22列联表
28、：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时1720线上销售时间不足8小时合计45（1）请完成上面的22列联表，并依据0.01的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；（2）按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；在条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值【解答】解：（1）每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，每天线上销售时间不足8小时的企业有452025家，其中每天销售额不足30万元的企业有2535=15家，
29、故22列联表如下： 销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计 线上销售时间不少于8小时 17 3 20 线上销售时间不足8小时 10 15 25合计 27 1845K2=45(1715-103)227182025=9.3756.635，依据0.01的独立性检验，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关（2）销售额不少于30万元的企业数：27545=3，销售额不足30万元的企业数：18545=2由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，P（X0）=C152C182=3551，P（X1）=C31C151C182=1551，P（X2）=C32C182=151，故X的分布列为：X 0 1
30、2 P 3551 1551151 故E（X）=03551+11551+2151=1319（12分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，E是棱PC的中点，F是棱PD上的点，且A，B，E，F四点共面（1）求证：F为PD的中点；（2）若PA底面ABCD，二面角PCDA的大小为45，求直线AC与平面ABEF所成的角【解答】（1）证明：依题意ABCD，CD平面PCD，AB平面PCD，AB平面PCD，又AB平面ABEF，平面ABEF平面PCDEF，ABEF，EFCD，双PEEC，PFFD，即F是PD的中点；（2）解：PA底面ABCD，CD底面ABCD，PACD，又CDAD，APADA，CD平面PAD，又
31、PD平面PAD，PDCD，ADP为二面角PCDA的平面角，ADP45，PAAD，设AD2，如图以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），依题意AC=（2，2，0），AF=（0，1，1），AB=（2，0，0），设平面ABEF的一个法向量为n=（x，y，z），则nAB=0nAF=0，即2x=0y+z=0，令z1，则x0，y1，平面ABEF的一个法向量为n=（0，1，1），设直线AC与平面ABEF所成角为，sin|cosn，AC|=|nAC|n|AC|=2222=12，0，2，直
32、线AC与平面ABEF所成的角为620（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，4Snan+1an+1（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足anbnan+1（1）nn，求bn的前2k项和T2k（kN*）【解答】解：（1）由4Snan+1an+1，当n1时，4S1a2a1+1，a11，代入计算可得a23，当n2时，4Sn1anan1+1，得：4anan（an+1an1），an0，an+1an14，a2n是以a2为首项，4为公差的等差数列，nN*，a2n1是以a1为首项，4为公差的等差数列，nN*，由此可得：a2n3+4（n1）4n122n1， a2n11+4（n1）4n32（2n1）1
33、，an=2n-1，nN*；（2）由已知有：bn=(-1)nn(2n-1)(2n+1)，nN*，bn=(-1)nn2(12n-1-12n+1)，nN*，故前2k项的和T2Kb1+b2+b2k，=-12(1-13)+22(13-15)+2k2(14k-1-14k+1)，=-12+3213-5215+4k-1214k-1-k4k+1，=-k4k+1，T2K=-k4k+121（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为63，直线x=2被C截得的线段长为233（1）求C的方程；（2）若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且AF2=BF1，求四边形ABF1
34、F2面积的最大值及此时的值【解答】解：（1）由题意得，离心率e=ca=1-b2a2=63，所以a=3b，当x=2时，有2a2+y2b2=1，解得yb2-23，因为直线x=2被C截得的线段长为233，所以2b2-23=233，解得b1，a=3，故C的方程为x23+y21（2）由（1）知，F1（-2，0），F2（2，0），延长BF1交椭圆C于点D，因为AF2=BF1，所以AF2BD，且=|yA|yB|，由椭圆的对称性知，|AF2|DF1|，设直线AF2与BD之间的距离为d，则四边形ABF1F2面积S=12（|AF2|+|BF1|）d=12（|DF1|+|BF1|）d=12|BD|d=SBDF2=1
35、2|F1F2|yByD|=1222|yByD|=2|yByD|，设直线BD的方程为xty-2，联立x=ty-2x23+y2=1，得（t2+3）y222ty10，则yB+yD=22tt2+3，yByD=-1t2+3，所以|yByD|=(yB+yD)2-4yByD=(22tt2+3)2-4(-1t2+3)=23t2+1t2+3，所以S=2|yByD|=26t2+1t2+3，令m=t2+11，则S=26mm2+2=26m+2m262m2m=3，当且仅当m=2m，即m=2，t1时，等号成立，所以四边形ABF1F2面积的最大值为3，不妨取t1，此时yB，yD是方程4y222y10的两根，所以yB=2+6
36、4，yD=2-64，所以=|yA|yB|=|yD|yB|=6-26+2=2-322（12分）已知函数f(x)=ex-2ax(a0)（1）若ae，讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2是函数f（x）的两个不同的零点，证明：1x1+x22lna+ln2【解答】（1）解：f(x)=ex-2ax(a0)的定义域为（0，+），f（x）ex-ax，当ae时，f（x）ex-ex，令f（x）0，则x1，当0x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，所以f（x）在（0，l）上单调递减，在（1，+）上单调递增，（2）证明：因为x1，x2是函数f（x）的两个不同的零点，所以ex1=2ax1，ex2=2ax2，显然
37、x10，x20，则有x1ln2+lna+12lnx1，x2ln2+lna+12lnx2，所以x1x2=12lnx1-12lnx2，不妨令x1x20，设t=x1x21，所以x1=tlnt2(t-1)，x2=lnt2(t-1)，所以要证x1+x2=(t+1)lnt2(t-1)1，只要证lnt2(t-1)t+1，即lnt-2(t-1)t+10，令g（t）lnt-2(t-1)t+1 （t1），则g（t）=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)20，所以g（t）在（1，+）上单调递增，所以g（t）g（1）0，所以x1+x21，因为x1ln2+lna+12lnx1，x2ln2+lna+12lnx2，所以x1+x22ln2+2lna+12ln（x1x2），要证x1+x22lna+ln2，只要证12ln（x1x2）ln2，即x1x214，因为x1x2=t(lnt)24(t-1)2，所以只要证t(lnt)24(t-1)214，即lntt-1t，即lnt-t+1t0，令h（t）lnt-t+1t，t1，则h（t）=1t-12t-12tt=-(t-1)22tt0，所以h（t）在（1，+）上单调递减，所以h（t）h（1）0，所以x1+x22lna+ln2综上，1x1+x22lna+ln2第21页（共21页）
