1、5.1 基本假定 理想弹塑性体和刚塑性体在荷载作用下，当荷载达到某一数值并保持不变的情况下，物体会发生“无限”的变形进入塑性流动状态，由于只限于讨论小变形的情况，通常所称的极限状态可以理解为是开始产生塑性流动时的塑性状态，而极限荷载也可以理解为达到极限状态时所对应的荷载。研究表明，如果绕过弹塑性的变形过程，直接求解极限状态下的极限荷载及其速度分布，往往会使问题的求解容易得多，这种分析常称为极限分析。在极限分析中对材料作刚塑性假设和理想弹塑性假设得到的极限状态是一致的，相应的极限荷载也是相同的。 极限分析法是应用理想弹塑性体(或刚塑性体)处于极限状态的普遍定理上限定理和下限定理求解极限荷载的一种
2、分析方法。 与第六章相似，把服从Mohr-Coulomb屈服条件的材料称为Coulomb材料，服从Tresca屈服条件的材料称为Tresca材料。 在塑性流动状态，屈服应力与塑性应变之间没有直接的关系，屈服应力与相应的塑性应变率之间的关系可由流动规则确定。在这里限于介绍服从相关联流动规则的情况。塑性应变率分量之间的关系可表示为：1133ppFFdpijijFd屈服函数 对于Tresca材料，屈服函数可表示为： 于是：1320Fk131pp 对于Coulomb材料，屈服函数可表示为：1313cotsin22c131 sin1 sin2 cos0Fc 于是：2213sincos1 sin22tan
3、1 sin42sincos22pp 1313cotsin22c Coulomb材料的屈服函数也可表示为： 于是：cotppnFF 1313cotsin22ctan0nFc 法向应力n方向塑性应变率塑性剪应变率Tresca材料塑性状态体积应变等于零：131pp Coulomb材料体积应变不等于零，产生剪胀现象。5.2 极限荷载的上、下限定理 在极限分析中，经常要应用静力容许的应力场(简称静力场)和机动容许的速度场(简称机动场)的基本概念。5.2.1 静力场和机动场的概念体积体积V和边界和边界ST、SUST SU V 如右图所示，设物体的体积为V，其表面S分为两部分，一部分是表面力已知的边界(简称
4、荷载边界)ST，其余部分为表面速度已知的边界(简称位移边界)SU。 在此物体上，设定一组应力场ij*，若满足以下条件，则称ij* 为静力容许的应力场。 (1)在体积V内到处满足平衡方程*,0ij jiF式中， Fi为给定的体力。 (2)在边界ST 上，满足边界条件*iijjiTnT 式中，Ti*为与应力ij*对应的表面力；nj为边界 上外法线的方向余弦； 为边界 上给定的表面力。 (3)在体积V内不违反屈服条件，若已知屈服条件(方程)为f(ij) ，则有iT*0ijf 由以上定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的应力场。然而静力容许的应力场并不一定是极限状态时的真实应力场
5、。 在物体上，设定一组速度场vi*，若满足以下条件，则称 为机动容许的速度场。 (1) 在边界SU上满足边界条件*iivv式中， 为边界SU上给定的体力。 (2)在体积V内满足几何方程*,12iji jj ivv 由以上定义可知，在极限状态时的真实速度场必定是机动容许的速度场，而机动容许的速度场并不一定是极限状态时的真实速度场。iv应变速率 虚功原理表明：对于一个连续的变形体，静力容许的应力场在机动容许的位移场上所作的外(虚)功。虚功率方程可表示为：5.2.2 虚功率方程静力容许* *dddiii iijijSVVT vSFvVV 机动容许左端表示外力(面力和体力)的虚功率，右端表示虚变形功率
6、。 现证明如下： 将应力边界条件 代入虚功率方程左端的面积分部分，并利用高斯积分公式，可得*iijjTn* *,ddddiiijjiijiij jiiji jjSSVVT vSn vSvVvvV 根据平衡微分方程 及关系式 ，则方程的左端：*,0ij jiF于是，虚功率方程就得到证明。* *,ddddiiiiij jiiiji jijijSVVVT vSFvVF vvVV 高斯公式：dcoscoscosdVPQRVPQRsxxz 关系式：*,22iji jiji jjij iiji jj iijijvvvvv 5.2.3 存在应力间断面和速度间断面的虚功率方程(1)存在应力间断面的虚功率方程
7、应力间断线实际上是一薄层过渡区，在这薄层过渡区内，应力发生急剧的变化，造成间断线两侧应力发生间断现象。沿着间断线必须满足平衡方程以及屈服条件，而且两个区内沿间断线法线方向的应力应该相等，两个区内的剪应力相等，即：1212nnnn； 只有两个区内的沿间断线切线方向的正应力才可能出现间断12ttIIIlllln2n1n1n2t2t1III 设物体中存在若干个应力间断面 SK( K=1,2,3,)，将物体分成有限个部分。在每一部分，应力是连续变化的(应力间断面不可能同时成为速度间断面)。设在间断面 SK的一边作用有表面力Tni+，而另一边作用着Tni- 。根据任一间断面上元素的平衡条件得到：0nin
8、iTT 对由间断面分成的每一部分应用虚功率方程，相应的面积分别按每一部分的表面面积完成。把各部分的虚功率方程加在一起，可以发现沿着应力间断面的全部积分相互抵消。因此，应力间断面的存在，并不影响虚功率方程的形式。 (1)存在速度间断面的虚功率方程 速度间断线可以认为是两个速度区之间存在的过渡薄层的极限情况。Tresca材料的速度间断面ST h VlvCoulomb材料的速度间断面ST h Vlvhn Tresca材料的速度改变方向与间断线方向一致，即速度间断线两侧的法向速度连续，只有切向速度有跳跃性改变。Coulomb材料的间断线两侧不仅切向速度不连续，法向速度也不连续。虽然两侧法向速度不连续，
9、但物体仍保持连续，不产生裂缝。cotpp pD pWDlhlhl vdiitlSWvSdiitiSWvS 考虑存在速度间断面对虚功率方程的影响，需要计算在速度间断面上的塑性能消散。Tresca材料单位体积塑性变形能消散率D可用应力和相应的应变率的乘积得出，取 速度间断面可以认为是一个薄层变形区，位移速度在层内急剧而连续的变化，两侧相对速度为v，于是长度为l，厚度为h的间断面内的能量消散率为进一步可以得到Tresca材料沿速度间断面Si的能量消散率ppnnD Coulomb材料单位体积塑性变形能消散率D可表示为：tanpnD lhtantancospnnWDlhlhl vcosvtvtandin
10、tiSWvS就是间断面相对速度在切线方向的分量，可记为当=0，上式就蜕化成于是长度为l，厚度为h的间断面内的能量消散率为cottanpppp 于是可以得到Coulomb材料沿速度间断面Sl的能量消散率diitiSWvS当速度间断面上的应力为屈服应力时：tanpnD tanddiintitiSSWvScvS计算所有速度间断面上的能量消散率，结合虚功率方程，可以得到存在速度间断面的虚功率方程：ddiititiSSWvSkvSTresca材料：Coulomb材料：*ddddddtandiiiiiijijSVViiiiijijntiSVVST vSFvVVT vSFvVVvS 无速度间断面5.2.4
11、上限定理和下限定理(1) 下限定理 当物体产生塑性变形达到极限状态时，在给定速度的边界SU上，真实的表面力在给定的速度上所作的功率恒大于或等于其他任意静力容许的应力场所对应的表面力在同一给定速度上所作的功率。 在所有与静力容许的应力场相对应的荷载中，极限荷载为最大。根据下限定理可以计算极限荷载的下限，通常称为极限荷载的下限解。 对于Coulomb材料，设ij为物体达到极限状态时的真实应力场，其对应的表面力为Ti，vi为真实速度场，依据这一速度场由几何方程求得的真实应变速率为ij，真实速度场可能有速度间断面SD，其上速度跃度为vt；在SU上给定的速度为 ，在ST上给定的表面力为 ，给定的体力为F
12、i。下限定理的证明：iviT 由于真实应力场一定是静力容许的应力场，所以极限状态时的虚功率公式ddddDiiiiijijtSVVSTvSFvVVcvS *dddtandiiiiiijijntiSVVST vSFvVVvS 又设有另一静力容许的应力场ij*，对应的表面力为Ti*，在真实速度间断面上与速度跃度相对应的剪应力和法向应力分别为和n，那么ij*, Ti*, 和n在同一速度场上的虚功率方程*dddtandDiiiiijijntSVVST vSFvVVvS ddddDiiiiijijtSVVSTvSFvVVcvS 将上式和右式相减并注意到S=ST+SU，在ST上有 ，得0iiiTTT*ddt
13、andUDiiiijijijntSVSTTvSVcvStan0nc 对于刚性区内的微元体，ij=0，故 对于对塑性区内的点，真实应力ij的矢量末端处于屈服曲面 上，而 的末端则可能在屈服曲面上，也可能在屈服曲面内(见右图)，则根据Drucker公设得到*d0UiiiSTTvS*0ijijij屈服曲面o *ijij*ijijij*0ijijij于是： 上面推导对Tresca材料同样成立。于是得出，物体处于塑性状态时，极限荷载的功率大于或等于静力容许的应力场所对应的荷载的功率，这也就证明了在所有的静力场所对应的荷载中，极限荷载为最大，或者说，任何静力容许的应力场所对应的荷载是极限荷载的下限。于是，
14、下限定理得到证明。(2) 上限定理 当物体产生塑性变形达到极限状态时，在所有机动容许的速度场中，真实速度场所对应的总功率最小。 在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中，极限荷载为最小。根据上限定理可以计算极限荷载上限，通常称为极限荷载的上限解。 根据下限、上限定理计算极限荷载下限、上限的方法，分别称为静力法和机动法。 一般情况，可应用上下限定理求出极限荷载的上下限。如果采用静力法得到的下限解等于采用机动法得到的上限解，则得到了极限荷载的精确解。 上限定理的证明 上限定理表明：由下式确定的与某一机动容许的塑性变形位移场 和 对应的荷载Ti，Fi将大于或等于真实的极限荷载。反证法： 假
15、设由上式确定的荷载Ti，Fi小于极限荷载，则可找到与之平衡的静力场ijE，于是可得到虚功率方程*piu *pij*ddddDpppppiiiiijijtSVVSTuSFuVVcvS*dddtandDppEppiiiiijijntSVVSTuSFuVVvS 两式相减，得：*dtandDEpppijijijntVSVcvS*dtand0DpEppijijijntVSVcvSijE是静力场，因此F(ijE) 0，且有：tan0nc由相关联流动规则，得：*0pEijij这是矛盾的，于是上限定理得到证明。7.2.5 上、下限定理的推论 推论1：如果几何形状不改变，初始应力和初始变形不会改变极限荷载的大小
16、。 推论2：提高物体某些部分材料的屈服极限，不会降低其极限荷载。反之，降低物体某些部分材料的屈服极限，不会提高其极限荷载。 推论3：在物体上增加一部分材料(如增加部分重量可忽略不计)而不改变荷载的作用位置，不会降低其极限荷载。 推论4：由外接真实屈服面的屈服面计算等到的极限荷载将不小于真实的极限荷载；由内切真实屈服面的屈服面计算得到的极限荷载将不大于真实的极限荷载。 这些推论提供了极限分析中寻找极限荷载上下限的又一途径。如果用实际的屈服条件求解问题有困难，则可以对屈服条件进行简化，使简体后的屈服面内切或外接于真实屈服面。由简化屈服面找出真实极限荷载的上限和下限。 推论5：任何一组使服从相关联流
17、动规则的材料产生破坏的荷载将使服从不相关联流动规则的同样屈服面的材料产生破坏。5.3 应用上限定理极限分析法 应用上限定理可以计算极限荷载的上限。在分析中通常需要建立一机动场，然后根据虚功率原理求出相应的破坏荷载，即得到极限荷载的一个上限解。应用上限定理极限分析法通常称为机动法。 求一般地基上条形基础极限承载力 P bhl刚体刚体刚体刚体平移Tresca材料薄变形层上的刚体滑动转动 薄变形层上的刚体滑动可以分为二种，平移和转动，速度v的方向同滑动面切线方向一致。平移情况，滑动面为一平面，转动时为圆弧面。5.3.1薄变形层上的刚体滑动hl刚体刚体平移Coulomb材料薄变形层上的刚体滑动转动 薄
18、变形层上的刚体滑动也可以分为二种，平移和转动，速度v的方向同滑动面切线方向成 夹角。vO刚体刚体vvOvvR0RidRi+1R 对转动，唯一容许的滑动面形状是对数螺族曲面。对数螺曲线从O点的半径矢量总是与曲线的切线形成一个不变角度2将进行n等分，d = /n0010111 dtan1 dtan1 dtaniinnRRRRRRRR001 dtanlnlnln 1 dtannnnRRRRnlimln 1dtantannn0exptannRRAOH例：求竖起陡坡的临界高度取机动场如图，土的容重为，滑动面与竖直方向成角。淌动体的运动速度为v，与滑动面成角。沿着滑动面的内能消散率为：vcoscoscos
19、OAHHWcv塑性流动时，外力做功率为：2tancos2WH v于是：2cossincoscH要求H的值，即求 的极值。 sincossincos 取：coscossinsincos 20cr2242sin2cos22sincossincos42424242sincossin444424242tan42sincoscos424242crccHccc 为了计算变形楔体的能量消散率，把楔体ODG分成n个刚体三角形，如下图所示。5.3.2 楔体压缩与刚体滑动相结合DGECABv1v2Bv2v1uv22222101tanexptannvvvvOR0R1R2Bv2v1uv22222 1OBWcR v1v
20、即为图中的 u 类似地AB边上的能量消散率为：12 1coscosABOBABWcABvcR vDECABv1v2OGR0R1R2 沿OB和AB的能量消散率是相等的，当n趋向于无穷大时，变形楔体ODG变形的区的能量同速度间断面对数螺旋面DG上的能量消散率是相同的。DECABv1v2OGR0R1R2 沿数螺旋面DG上的能量消散率为000000000dexptanexptandexp 2 tandexp 2tan1tan2tanWcRvcRvccR vR vxyqfADCBCDA b PADCBADCvv0v1v2b PADCBAvv0v1v2v1v1/2-021exptansecexptan22
21、422vvvv0 ABA和ACD是刚性块体，ABC是变形楔体，ABA区作刚体移动，其速度与基础速度相同。0vv 变形楔体ABC的AB边上的速度为v1 变形楔体ABC的AC边上的速度为v201012cos42sec242vvvvb PADCBAvv0v1v2 内能消散率包括速度间断上能量消散率和变形区能量消散率。01cos242cosseccos2422cos42A BbA BvbWcA Bvc 速度间断线AB上的能量消散率：01sec242vvb PADCBAvv0v1v2exptan2exptan2cos242CDA Bb 速度间断线CD上的能量消散率：02secexptan2422vv20
22、cosexptansecexptancos224222cos42CDWcCDvvbcb PADCBAvv0v1v2 变形楔体ABC和速度间断面BC上的能量消散率为：102exp 2tan12tanseccotexptan12422cos42ABCcWABvvbc00exp 2tan12tancWR v01sec242vvcos242bA B 外力做功为02seccotexptan12422cos42ABCCDA BABCWWWWvbWc0Pv01cosseccos2422cos42A BvbWcA Bvc0exptansecexptancos224222cos42CDvbWc1 sincotexp2cot211 sinPbcc (2)楔体与V形缺口之间因摩擦作用其剪应力为k如图可得：BG边：2pk cos21arcsin2nnpkmk OB边：2,4 根据BDE区线方程。222 12BGFBGFOBOBOBpkpkpk 于是：sin2cos2sinsin22cot22 12cotaaPqkqakaka 2aO2ACB GFx paka
