1、频率域和空域 频率域高频和低频 在空域中的用模板滤波从效果上看和频率域中的高频和低频滤波的作用相似。 空域和频率域的对应关系 高频对应 快变部分 低频对应 平缓部分 空域与频率域之间的纽带卷积卷积定义 空间滤波器线性滤波 卷积方式表达： f(x,y)*h(x,y) 这里的 h(x,y) 相当于模板的响应函数w() 卷积的定义 对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，可以用卷积积分来说明他们的关系h(t) = g(t - )f( )d 记为：h = g * f g(t)称为冲激响应函数( , )( , ) (,)absa tbg x yw s t f xs yt 二维卷积的定义 h(x,y
2、) = f*g = f(u,v)g(x u, y v)dudv - 离散二维卷积h(x,y) = f*g = f(m,n)g(x m, y n) m n离散一维卷积 h(i) = f(i)*g(i) = f(j)g(i-j) j卷积定理卷积定理 卷积定理：如果卷积定理：如果 x(t) 和和 h(t) 的傅立叶变换分别为的傅立叶变换分别为 X(f) 和和 H(f) ,则则x(t) * h(t) 的傅立叶变换为的傅立叶变换为 X(f)H(f)。即即()()XfHf( ) *( )x th t空域和频域之间的基本联系卷积定理的描述空域中的卷积等价于频域中的相乘f(x,y)*g(x,y) F(u,v)
3、G(u,v) Ff(x,y)*g(x,y) = F(u,v)G(u,v)即空域中的卷积可以用频域中的乘积的反傅立叶变换来获得傅立叶变换来获得同时有：f(x,y) g(x,y) F(u,v)*G(u,v) 4.1 卷积 4.2 傅立叶变换 4.3 平滑频率域滤波器低通滤波器 4.4 频率域锐化滤波器高通滤波器 4.5 同态滤波器第4讲 频率域图像增强傅立叶变换的引入傅立叶变换的引入 周期函数可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式 非周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示这种情况下的公式就是傅立叶变换 傅里叶变换及其反变换傅里叶变换及其反变换1 一维傅里叶变换一维傅里叶变换（1）
4、连续形式 单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)可以定义为：1j 2( )( )1( )( )2juxj xf xF u eduf xFed2( )( )juxF uf x edx傅立叶反变换（2）周期形式（傅里叶级数）MuxjuuMuxjuMuxjuuMuxjMueaeuFxfeaxfdxexfMauF/2/2/2/20)()()()(1)(（3）离散形式MuxjMuMuxjMxeuFxfexfMuF/210/210)()()(1)( 系数1/M也可以放在反变换前， 有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以(1/M )1/2。 但应注意：正变换和逆变换前系数乘积必须等于1/M。 （4）傅
5、里叶谱)()()()()(ujeuFujIuRuF)()(arctan)()()(| )(|22uRuIuuIuRuF傅里叶幅度谱或频率谱傅里叶相位谱)()(| )(|)(222uIuRuFuP功率谱2 二维傅里叶变换二维傅里叶变换 （1）连续形式2 ()2 ()( , )( , )( , )( , )jux vyjux vyF u vf x y edxdyf x yF u v edudv （2）离散形式)(21010)(21010),(),(),(1),(NvyMuxjNvMuNvyMuxjMxNyevuFyxfeyxfMNvuF 有一个2*2的图像，其中f(0，0)=3，f(0，1)=5，
6、f(1，0)=4，f(1，1)=2，求该图像的傅里叶谱。练习3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 （1）可分性（用于快速傅里叶变换）MuxjMxMuxjNvyjMxNyevxfMeeyxfNMvuF210221010),(1),(11),( （2）周期性（“周期卷绕”的基础）),(),(),(),(),(),(),(),(NyMxfNyxfyMxfyxfNvMuFNvuFvMuFvuF （3）共轭对称性)()()()()()(1)(1)()(1)(*/)(210/)(210/210lFlFlMFlFlFexfMexfMlMFexfMuFMxljMxMxlMjMxMuxjMx),(),(),()
7、,(*vuFvuFvuFvuF频域中心化的基础 （4）平移性质)() 1)(,()2,2()22() 1)(,(vuyxvuFNyMxfNvMuFyxf，特例移中性：用于频域中心化操作移中的变换：FT移中的变换：能量分布于四角（示意图）能量集中于中心（示意图）移中FT原图像f（x，y）(a) (b) (c) 傅立叶频谱平移示意图(a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱 ()( , )( 1)(,)22x yMNf x yF uv移中性移中性频域图像（幅度谱）原图像 4.1 卷积 4.2 傅立叶变换 4.3 平滑频率域滤波器低通滤波器 4.4 频率域锐化滤波器高通滤波器
8、 4.5 同态滤波器第4讲 频率域图像增强频率域滤波 把空域的模板看作系统对图象的响应函数h(), g()=f() *h()滤波 整个过程： 对f(x,y),h(x,y)进行傅立叶变换变换得F(u,v)H(u,v) f()*h()F(u,v)H(u,v)的逆变换 滤波作用在F(u,v)h(u,v)相乘中完成的 频域滤波器 低通滤波器 高通滤波器 同态滤波器G(u,v)=F(u,v)H(u,v) F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式 H(u,v)是选取的一个滤波器变换函数 G(u,v)是通过H(u,v)减少F(u,v)的高频部分来得到的结果 运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。低通滤波器的基
9、本思想 理想低通滤波器的定义 一个二维的理想低通滤波器（ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2 理想低通滤波器的透视图图像显示、截面图H(u,v)作为距离函数D(u,v)的函数的截面图 物理上不可实现 滤除高频成分使图象变模糊 整个能量的92%被一个半径为5的小圆周包含, 大部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的8%的能量中。小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的至多0.5%的能量中 被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果所影响理想低通滤波器的分析 一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth低通滤
10、波器（BLPF）的变换函数：nDvuDvuH20/ ),(11),(Butterworth低通滤波器的定义 Butterworth低通滤波器又称最大平坦滤波器 它在带通和带阻之间没有明显的不连续， 代替的是有一个平滑的过渡 通常把H(u,v)下降到某一值的那一点定为截止频率D0 Butterworth低通滤波器的截面图等H(u,v)作为D(u,v)/D0的函数的截面图 在任何经BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果，这是滤波器在低频和高频之间的平滑过渡的结果 尾部含有大量的高频成分（模糊减少）。而低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过程Butterworth低通滤波器的
11、分析理想低通滤波器VS Butterworth低通滤波器理想滤波器Butterworth低通滤波器高斯低通滤波器 是指数低通滤波器22( , )/2( , )Du vH u ve 令=D0,则220( , )/2( , )Du vDH u ve高斯低通滤波器的传递函数等三种低通滤波器的比较ILPF有振铃二阶BLPF微弱振铃二阶GLPF无振铃 高斯LPF r=30 ILPF r=30 4.1 卷积 4.2 傅立叶变换 4.3 平滑频率域滤波器低通滤波器 4.4 频率域锐化滤波器高通滤波器 4.5 同态滤波器第4讲 频率域图像增强频率域锐化滤波器 对F(u,v)的高频成分的衰减使图像模糊低通滤波
12、对高频成分的通过使图像锐化高通滤波 高通和低通的关系 Hhp(u,v) = 1 - Hlp(u,v) 即低通阻塞的频率是能够通过高通的2 理想高通滤波器的定义 一个二维的理想高通滤波器（ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/21 理想高通滤波器的透视图、图像表示和横截面理想高通滤波器的特点：1 .衰减D0以内的频率完全通过D0以外的频率2. 有振铃现象3. 和背景接近的圆产生很弱的边（a边上3个园）4. a图横直的线条，小点都有失真（因为低频成分的保留较多），5. b,c图显现出对高频成分的过通：（1）小点变小
13、，线变细；（2）低频的成分越多，在空间域表现为平缓部分保留越多。如a,c中的白边等；（3）截止频率越高，平缓部分保留越少，只留下边6. c图更象高通abc Butterworth高通滤波器的定义 一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth高通滤波器（BHPF）的变换函数如下nDvuDvuH20/ ),(11),(D0 / D(u,v)BHPF透视图、图像表示和横截面 问题：低频成分也被严重地消弱了，使图像失去层次 改进措施： 加一个常数到变换函数 H(u,v) + A （高频强调） （+A的含义？） 为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为后滤
14、波处理Butterworth高通滤波器的分析高斯型高通滤波器 是低频高斯滤波的反，所以上升较butterworth快，即高频更丰富220( , )/2( , )1Du vDH u ve GHPF透视图、图像表示和横截面IHPFBHPFGHPFGHPF更平滑 4.1 卷积 4.2 傅立叶变换 4.3 平滑频率域滤波器低通滤波器 4.4 频率域锐化滤波器高通滤波器 4.5 同态滤波器第4讲 频率域图像增强同态滤波器的引入 若物体受到的光照不匀，那么图像上较暗部分的细节就较难辨别 如何能消除不匀性又不损失细节这就是本节讨论的问题同态滤波器的基本思想 一个图像f(x,y)可以根据它的照度和反射分量的乘
15、积来表示 f (x,y) = i (x,y)r (x,y) 其中：i (x,y)为明度函数，r (x,y)反射分量函数 通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，来改进图像的表现 问题集中到如果能把f(x,y)的两个分量在频率域能够分开，如果能分开问题就迎刃而解了 两个函数乘积的傅立叶变换不是可分离的，即：Ff(x,y) Fi(x,y)Fr(x,y) 然而假设我们定义z(x,y) = ln f(x,y) = ln i(x,y)r(x,y) = ln i(x,y) + ln r(x,y) 那么有：Fz(x,y) = Fln f(x,y) = Fln i(x,y) + Fln r(x,y)或Z(u,v
16、) = I(u,v) + R(u,v)其中I(u,v) 和R(u,v) 分别是ln i(x,y) 和ln r(x,y)的傅立叶变换具体算法思路 用滤波器函数H(u,v)的方法处理Z(u,v)，有：S(u,v) = H(u,v)Z(u,v) = H(u,v)I(u,v) + H(u,v)R(u,v) 其中S(u,v)是结果图像的傅立叶变换在空域中：s(x,y) = F-1S(u,v) = F-1H(u,v)I(u,v) + F-1H(u,v)R(u,v) 设：i(x,y) = F-1H(u,v)I(u,v) r(x,y) = F-1H(u,v)R(u,v) 上页等式可以表示为：s(x,y) =
17、i(x,y) + r(x,y) 最后，通过i(x,y) 和 r(x,y)的逆操作（指数操作）产生增强后的图像g(x,y) 也即：g(x,y) = exps(x,y) = expi(x,y) expr(x,y) = i0(x,y)r0(x,y) 其中i0(x,y) = expi(x,y) 和r0(x,y) = expr(x,y)是输出图像的照度和反射分量。g 0(x,y) = i0(x,y) r0(x,y)（1）（2）),(ln),(ln),(ln),(yxryxiyxfyxz),(ln),(ln),(yxryxiyxzFFF),(),(),(vuRvuIvuZ 3）压缩i(x,y)分量的变化范
18、围，削弱I (u,v)，增强r(x,y)分量的对比度，提升R (u,v)，增强细节。确定H(u,v),(),(),(),(),(vuRvuHvuIvuHvuS 同态滤波器的截面图0D(u,v)H(u,v)1H(u,v)作为D(u,v)的函数的截面图H HL L书上p153/（4.5.13)给出H(u,v)，其图形是图4.32 (4)反变换 (5) 指数变换 ),(),(),(1vuIvuHyxiF),(),(),(1vuRvuHyxrF),(exp),(0yxiyxi),(exp),(0yxryxr),(),(),(00yxryxiyxg 利用前述概念进行增强的方法归纳为： 这个方法基于一类称
19、作同态系统的特殊情况。lnFFTH(u,v)FFT-1expf(x,y)g(x,y) 同态滤波器的效果分析 图像的照度分量的特点是平缓的空域变化，而反射分量则近于陡峭的空域变化 这些特性使得将图像的对数的傅立叶变换的低频部分对应于照度分量，而高频部分对应于反射分量 尽管这种对应关系只是一个粗略的近似，但它们可以用于优化图像的增强操作 一个好的控制可以通过用同态滤波器对照度和反射分量分别操作来得到 这个控制要求指定一个滤波器函数H(u,v)，它对于傅立叶变换的低频和高频部分的影响是不同的 如果参数L和H的选取使得L 1前图所示的滤波器函数将减少低频部分、扩大高频部分，最后的结果将是既压缩了明度范围，又扩大了对比度。 同形过滤器的截面图精品课件精品课件！精品课件精品课件！
