1、高斯 - 德国数学家 ?约翰卡尔弗里德里希高斯（ C.F.Gauss，1777年4月30日1855年2月23日），德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并有“数学王子”的美誉。他独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”、素数定理、及算术-几何平均数。 1795年高斯进入哥廷根大学，1796年得到了一个数学史上极重要的结果，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。高斯在历史上影响巨大，有 数学王子 、 数学家之王 的美称、被认为是人类有史以来 最伟大的四位数学家之一 （阿基米德、牛顿、高斯、欧拉）。 第十讲 等差数列 200年前，德国有
2、位 数学家叫高斯，他小时候就非 常聪明。一天，他的小学数学老师教完加法后，想要休息一下，便出了一道题目要同学们算算看，题目是：1+2+3+ . +97+98+99+100 = ? 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要出去时，看见高斯举起小手，问：“高斯，有什么事？”高斯说：“老师我做好了。”老师非 常惊讶的说：“是吗？怎么可能呢。你的答 案是多少？是怎样算出来的呢？” 思考：高斯是怎么算出来的呢？ 我们先来看看当时的高斯是怎么回答的。 高斯说：“老师， 1加 至 100 可以排两行，第一行顺 着排，第二行倒过来排。”我们来看一下 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 97 +
3、98 + 99 + 100 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 4 + 3 + 2 + 1 + 4 + 3 + 2 + 1 公式推导 我们两排的第一个数相加是101，第二个相加还是101，第三个还是101，第四个还是101，最后一个还是101，也就是说两排相加共有100个101，也就是10100，那么一排相加的和是101002=5050 所以 和和= =（1+100）1002=5050 动手算一算 ?计算 1+2+3+198+199的和。 ?解析：原式=（1+199）1992 ? =2002199 ? =100199 ? =19900 ? 【注】：计算是基础，利用巧算方法更省力
4、。 认识等差数列 ?如果一个数从第二项开始，每一项与前面的差都相等，这样的数列叫做。这个相等的差叫做等差数列的公差，数列中每一个数称为数列的项，并且根据他们所在的位置，第一个数叫做首项，第二个数叫做第二项，以此类推，最后一个数称为末项。这个数列的个数称为项数 ?例如数列1、3、5、7、9、11、13 ? 2、4、6、8、10 ? 5、8、11、14、17 ? 你能根据自己的理解再写出几个等差数列吗，并指出它的首项、末项、项数、公差 ?下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 ?6，10，14，18，22，98； ? 1，2，1，2，3，4，5，6； ? 1，2，4，
5、8，16，32，64； ? 9，8，7，6，5，4，3，2； ?3，3，3，3，3，3，3，3； ?1，0，1，0，l，0，1，0； ? 方法一：采用最笨的办法，直接按照规律，直接写到第21项 ?方法二：过根据已知的数，列出算式（数出增加的公差） ?第二项比首项多1个公差，第三项比首项多2个公差，第21项比首项多20个公差，则第21项比首项多320=60，所以第21项是62 ?列式：2+（21-1）3=62 ?思考：这个数列的第40项是多少？ 第n项=首项+（项数1）公差 例2 求等差数列 3 ，7 ，11 , 15 ， 的第 20 项 解 ：第20项=首项+（项数1）公差 =3+（201）4
6、 =3+76 =79 通过观察发现这是一个公差为3的等差数列，首项为9，项数为8，公差为3，求末项 第一天 第二天 第三天 第四天 第八天 9 12 15 18 ？ 比第一天多 比第一天多 比第一天多 比第一天多 比第一天多 1个3 2个3 3个3 4个3 7个3 9+（8-1）3 =9+21 =30（个） 首项 项数 公差 末项=首项+（项数1）公差 思考：第15天摘了多少松果 项数=（末项-首项）公差+1 方法一：采用最笨的办法，直接按照规律，直接从4数到42 方法二：分析这是一个等差数列，首项为4，末项为46，公差为6, 46-4=42,426=7，所以46比4多7个公差，多1个公差是第
7、二项，多2个公差是第三项，多7个公差应该是第8项。 列式：（46-4）6+1=8 补充：64是这个数列的第几项？ 哇！又是等差数列 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第n次 6 10 14 18 22 34 比第一次多 比第一次多 比第一次多 比第一次多 比第一次多 比第一次多 一个4 2个4 3个4 4个4 7个4 那么当取34个乒乓球的时候，比第一次多取了7个4 （346）4=7，就是第8次取得（7+1=8次） 综合算式得（346）4+1 =28 4+1 =8（次） 末项 首项 公差 例题精讲 例 求数列 3,5,7,9,11,13,15,17的和 解：3+5+7+9+11+13+15+17 =（3+17）82 =80 计算下列各式的和 1、 2+4+6+2008 2、3+5+7+9+97
