1、第三章第三章空间向量与立体几何空间向量与立体几何 3.13.1空间向量及其运算空间向量及其运算3 31.41.4空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示1.了解空间向量的正交分解的含义了解空间向量的正交分解的含义2掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基掌握空间向量的基本定理，并能用空间向量基本定理解决一些简单问题本定理解决一些简单问题3掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标中写出向量的坐标. 新新 知知 视视 界界1空间向量基本定理空间向量基本定理如果三个向量如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向不共面，那
2、么对空间任一向量量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z，使得，使得pxaybzc.2基底的概念基底的概念如果三个向量如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量不共面，那么空间所有向量组成的集合就是组成的集合就是p|pxaybzc，x、y、zR这个这个集合可以看作是由向量集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把生成的，我们把a，b，c叫做空间的叫做空间的一个基底一个基底a、b、c叫做叫做基向量基向量空间任空间任何三个何三个不共面不共面的向量都可构成空间的一个基底的向量都可构成空间的一个基底3空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示设设e1，e2，e3为有公共起
3、点为有公共起点O的三个两两垂直的单的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为位向量，我们称它们为单位正交基底单位正交基底，以，以e1，e2，e3的的公共起点公共起点O为原点，分别以为原点，分别以e1，e2，e3的方向为的方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么，那么，对于空间任意一个向量对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的，一定可以把它平移，使它的起点与原点起点与原点O重合，重合，2向量可以平移，向量向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一在坐标系中的坐标惟一吗？吗？提示：惟一在空间直角坐标系中，向量平移后，提示：惟一在空间直角
4、坐标系中，向量平移后，其正交分解不变，故其坐标也不变其正交分解不变，故其坐标也不变尝尝 试试 应应 用用1设命题设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题是三个非零向量；命题q：a，b，c为空间的一个基底，则命题为空间的一个基底，则命题p是命题是命题q的的()A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：当非零向量当非零向量a，b，c不共面时，不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底，当可以当基底，否则不能当基底，当a，b，c为基底时，为基底时，一定有一定有a，b，c为非零向量为非零向量答案：答案：B2
5、已知已知a，b，c是空间的一个基底，则可以和是空间的一个基底，则可以和向量向量pab，qab构成基底的向量是构成基底的向量是()Aa BbCa2b Da2c答案：答案：D3设设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，是空间向量的一个单位正交基底，则向量则向量a3i2jk，b2i4j2k的坐标分别是的坐标分别是_解析：解析：i，j，k是单位正交基底，故根据空间向是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知量坐标的概念知a(3,2，1)，b(2,4,2)答案：答案：(3,2，1)，(2,4,2)解析：解析：如图如图1，G为为ABC重心，重心，E为为AB中点，中点，答案：答案：3典典 例例 精精 析析
6、类型一基底的概念类型一基底的概念例例1设设xab，ybc，zca，且，且a，b，c是空间的一组基底，给出下列向量组：是空间的一组基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc，其中，其中可以作为空间一组基底的向量组有可以作为空间一组基底的向量组有()A1个个B2个个C3个个 D4个个分析分析能否作为空间的一组基底，即是判断给出能否作为空间的一组基底，即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面，由于的向量组中的三个向量是否共面，由于a，b，c是不是不共面向量，所以可以构造图形，利用平行六面体中从共面向量，所以可以构造图形，利用平行六面体中从某一点出发的三条棱所对应的向量与
7、相应面上的对角某一点出发的三条棱所对应的向量与相应面上的对角线所对应的向量的关系直观判断线所对应的向量的关系直观判断答案答案C点评点评(1)充分利用一些常见的几何体，如：长方充分利用一些常见的几何体，如：长方体、正方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们进体、正方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们进行相关的判断，利用向量计算来证明，一般选取适当行相关的判断，利用向量计算来证明，一般选取适当的一组基底，寻找关系，易得结果的一组基底，寻找关系，易得结果(2)三个向量不共面是这三个向量构成空间一组基三个向量不共面是这三个向量构成空间一组基底的充要条件底的充要条件迁移体验迁移体验1已知已知a、b、c是
8、不共面的三个向量，是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一组基底的一组向量是则下列选项中能构成一组基底的一组向量是()A2a，ab，a2b B2b，ba，b2aCa,2b，bc Dc，ac，ac解析：解析：因为因为a，b，c不共面，易知不共面，易知a,2b，bc不共不共面故应选面故应选C.答案：答案：C点评点评在几何体中，根据图形的特点，选择公共在几何体中，根据图形的特点，选择公共起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，起点最集中的向量中的三个不共面的向量作为基底，或选择有公共起点且关系最明确或选择有公共起点且关系最明确(如夹角或线段长度如夹角或线段长度)的三个不共面的向量作为基底，这样
9、更利于解题的三个不共面的向量作为基底，这样更利于解题答案：答案：D分析分析空间向量的坐标源于向量的正交分解，如空间向量的坐标源于向量的正交分解，如果把向量果把向量a写成写成xiyjzk，则，则a的坐标为的坐标为(x，y，z)；还；还可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向量的坐标量的坐标点评点评用坐标进行向量的运算，关键之一是把相用坐标进行向量的运算，关键之一是把相关的向量以坐标形式表示出来这里有两个方面的问关的向量以坐标形式表示出来这里有两个方面的问题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的题：一是如何恰当地建系，一定要分析空间几何体的
10、构造特征，选合适的点作原点、合适的直线和方向作构造特征，选合适的点作原点、合适的直线和方向作坐标轴，一般来说，有共同的原点，且两两垂直的三坐标轴，一般来说，有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系角坐标系二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标，二是在给定的空间直角坐标系中如何表示向量的坐标，这里又有两种方法，其一是运用基底法，把空间向量这里又有两种方法，其一是运用基底法，把空间向量进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终点进行正交分解；其二是运用投影法，求出起点和终点的坐标的坐标思思 悟悟 升升
11、 华华空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组向量组a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的我们在用选定的基向量表示而且表示的结果是唯一的我们在用选定的基向量表示指定的向量时要结合已知和所求，观察图形，联想相指定的向量时要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止继续
12、下去，直到所有向量都符合目标要求为止 课时作业课时作业 21 21 研研 习习 新新 知知互互 动动 课课 堂堂课课时时作作业业人教人教A版版 数学数学选修选修 2-1第三章空间向量与立体几何第三章空间向量与立体几何 有关的数学名言有关的数学名言数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。力美学体现。普林舍姆普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根培根数学是最宝贵的研究精神之一。数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明本杰明
