1、高考微专题离心率解题技巧例析高考微专题离心率解题技巧例析高考微专题离心率解题技巧例析 离离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是刻画圆锥曲线形态特征的基本量。我们心率是圆锥曲线的一个重要性质，是刻画圆锥曲线形态特征的基本量。我们知道椭圆的离心率知道椭圆的离心率 ，双曲线的离心率双曲线的离心率 ，抛物线的离心率，抛物线的离心率 。因。因此，求椭圆、双曲线的离心率成了历年高考的热点。在此结合例题，浅谈与圆锥曲此，求椭圆、双曲线的离心率成了历年高考的热点。在此结合例题，浅谈与圆锥曲线的离心率有关问题的常见解法，以便学生能更好地理解和掌握解此类题的技巧和线的离心率有关问题的常见解法，以便学生能更好地理解和掌
2、握解此类题的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力。规律，提高分析问题和解决问题的能力。01e1e 1e 椭圆的离心率椭圆的离心率 ，在椭圆中我们知道，在椭圆中我们知道 所以离心率的平所以离心率的平方方 。2(0,1)2cceaa222cab2221bea 双曲线的离心率双曲线的离心率 ，在双曲线中我们知道，在双曲线中我们知道 所以离心率所以离心率的平方的平方 。222cab2221bea 2(1,)2cceaa命题角度一：命题角度一：根据已知条件求圆锥曲线离心率的值根据已知条件求圆锥曲线离心率的值命题角度二：命题角度二：根据已知条件求圆锥曲线离心率的范围根据已知条件求圆锥曲线离心率的范围技
3、巧一求出技巧一求出a, ,c后求离心率的值后求离心率的值反思归纳反思归纳 在能够直接求出椭圆、双曲线中的在能够直接求出椭圆、双曲线中的a, ,c值时值时, ,直接求出再根直接求出再根据离心率的定义求得离心率据离心率的定义求得离心率, ,这是求椭圆、双曲线离心率最直接的方法这是求椭圆、双曲线离心率最直接的方法. .例 1 已知双曲线22212xya（2a ） 的两条渐近线的夹角为3， 则双曲线的离心率为 （ ） A、2 33 B、2 63 C、3 D、2 技巧二求出技巧二求出a, ,c之间的等量关系后求离心率的值之间的等量关系后求离心率的值例 2 已知 A，B 分别为椭圆 C 的长轴端点和短轴端
4、点，F 是 C 的焦点。若ABF 为等腰三角形，则 C 的离心率等于 。 解：设椭圆C的方程为22221xyab（0ab）。 不妨设,0A a，0,Bb，则22BFbca，22ABaba， 若F是右焦点，则AFac，此时AFBFAB，与题意不符。 所以F是左焦点，此时AFac，依题意22abac，即222abac， 又因为222abc，所以22220caca，化为22210ccaa ， 即22210ee ，解得132e ，又0,1e，所以312e。 反思归纳反思归纳 当能够把已知条件转化为关于当能够把已知条件转化为关于a, ,c的齐次方程时的齐次方程时, ,通过通过把方程两端除以把方程两端除以
5、a的某个方幂的某个方幂( (齐次方程的次数齐次方程的次数) )即可得出关于即可得出关于e的方程的方程, ,解方程得出离心率解方程得出离心率, ,但要注意离心率本身的范围但要注意离心率本身的范围. .技巧三用圆锥曲线定义解离心率问题技巧三用圆锥曲线定义解离心率问题例 3 如图所示，1F，2F是双曲线22221xyab（0a ，0b ）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，1OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且2F AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A、21 B、31 C、212 D、312 反思归纳反思归纳 圆锥曲线的离心率与定义之间关系密切圆锥曲线的离心率与定义之间关系密
6、切, ,解题时要善于解题时要善于把圆锥曲线上的点与两个焦点联系起来把圆锥曲线上的点与两个焦点联系起来, ,利用圆锥曲线定义确定利用圆锥曲线定义确定a, ,c之之间的数量关系间的数量关系. .思路点拨思路点拨 连接1AF，12AFF中进行相关计算，根据双曲线定义得出a，c之间的数量关系后，根据离心率定义解之。 解析解析: :连接1AF ，12AFF是有一个锐角为30的直角三角形,则1AFc，23AFc, 根据双曲线定义212AFAFa,即32cca,所以23131cea.故选 B. 微课小结：微课小结：离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量，求离心率的值是常见的题型，这类问题往往小题精致，大题综合，
7、数量关系隐藏得深，对学生的思维能力和运算能力有较高的要求。求解思路的关键是如何分析题意、细心挖掘“深藏不露”的等量关系，即建立关于a,b,c的等式，并且最后要把其中的b用a,c表达，转化为关于离心率e的等式。数学思想数学思想转化思想转化思想数形结合数形结合课堂巩固练习：课堂巩固练习：1、 若椭圆的短轴长为6， 焦点到长轴的一个端点的最近距离是1， 则椭圆的离心率为_ 2.设椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别为12,F F，P是C上的点，212PFFF，1230PFF，则C的离心率为（ ） A、36 B、13 C、12 D、33 3、已知双曲线C：22221xyab（0a ，0
8、b ）的左、右顶点分别为1A，2A，且以线段12A A为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为（ ） A、63 B、2 33 C、2 23 D、512 课堂巩固练习：课堂巩固练习：4已知F为椭圆C：22221xyab（0ab）的一个焦点，过点F且垂直于x轴的直线l交椭圆C于点A、B，若原点O在以AB直径的圆上，则椭圆C的离心率为_. 5圆锥曲线C的两个焦点分别为1F，2F，若圆锥曲线C上存在点P满足1122:4:3:2PFFFPF ，则圆锥曲线C的离心率等于 。 命题角度二：命题角度二：根据已知条件求圆锥曲线离心率的范围根据已知条件求圆锥曲线离心率的范围技巧四建立关于技巧四建立关于
9、a,ca,c的不等关系确定离心率的范围的不等关系确定离心率的范围思路点拨思路点拨: :ABEABE是锐角三角形是锐角三角形, ,只要只要AEBAEB为锐角即可为锐角即可, ,据此建立据此建立a,b,ca,b,c的不等式的不等式, ,消掉消掉b b得出关于得出关于a,ca,c的不等式的不等式, ,再转化为关于再转化为关于e e的不等式的不等式, ,解不解不等式得出所求范围等式得出所求范围. .反思归纳反思归纳 如果建立的关于如果建立的关于a,ca,c的不等式中各项的次数相同的不等式中各项的次数相同, ,即可以即可以把其化为关于离心率把其化为关于离心率e e的不等式的不等式, ,解不等式得出离心率
10、的范围解不等式得出离心率的范围, ,要注意椭要注意椭圆、双曲线离心率本身的范围圆、双曲线离心率本身的范围. .技巧五在焦点三角形中使用正、余弦定理解决离心率问题技巧五在焦点三角形中使用正、余弦定理解决离心率问题思路点拨思路点拨: :在在PFPF1 1F F2 2中中, ,使用正弦定理建立使用正弦定理建立|PF|PF1 1|,|PF|,|PF2 2| |之间的数量关之间的数量关系系, ,再结合椭圆定义求出再结合椭圆定义求出|PF|PF2 2|,|,利用利用a-c|PFa-c|PF2 2|a+c|a+c建立不等式确定所建立不等式确定所求范围求范围. .微课小结：微课小结：离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量，求离心率的范围是常见的题型，这类问题往往小题精致，大题综合，数量关系隐藏得深，对学生的思维能力和运算能力有较高的要求。求解思路的关键是如何分析题意、细心挖掘“深藏不露”的不等关系，实现等量关系向不等关系的转化。数学思想数学思想转化思想转化思想数形结合数形结合
