1、切线长定理1.1.理解切线长的概念，掌握切线长定理理解切线长的概念，掌握切线长定理2.2.学会运用切线长定理解有关问题学会运用切线长定理解有关问题3 3通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想结合的思想BA1 1. .如何过如何过O O外一点外一点P P画出画出O O的切线？的切线？ 2 2. .这样的切线能画出几条？这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出如下左图，借助三角板，我们可以画出PAPA是是O O的切线的切线. .3.3.如果
2、如果P=50P=50, ,求求AOBAOB的度数的度数. .5050130130OP O OA AB BP P如何用圆规和直尺如何用圆规和直尺作出这两条作出这两条切线呢？切线呢？.思考：已画出切线思考：已画出切线PA,PBPA,PB，A,BA,B为切点，则为切点，则OAP=90OAP=90, ,连接连接OPOP，可知，可知A,B A,B 除了在除了在O O上，还在怎样的圆上上，还在怎样的圆上? ?O PABO过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长做这点到圆的切线长. .OP PA AB B切线与切线长是一回事吗？它们有什么
3、区别与联系呢？切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线长概念切线长概念切线和切线长是两个不同的概念：切线和切线长是两个不同的概念：1.1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线是一条与圆相切的直线，不能度量；2.2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量圆外一点和切点，可以度量. .O OP PA AB B比一比：比一比：切线与切线长切线与切线长 OABP12思考：已知思考：已知O O切线切线PAPA，PBPB，A A，B B为切点，把圆沿着为切点，把圆沿着直线直线OPOP对折对折, ,你能发现什么你能发现什么
4、? ?折一折折一折请证明你所发现的结论请证明你所发现的结论. .A AP PO OB BPA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点，是切点，OAPAOAPA，OBPB.OBPB.即即OAP=OBP=90OAP=OBP=90， OA=OB OA=OB，OP=OPOP=OP，RtRtAOPRtAOPRtBOP(HL)BOP(HL) PA = PB PA = PB， OPA=OPB.OPA=OPB.证一证证一证切线长定理切线长定理PAPA，PBPB分别切分别切O O于于A A，B B，PA=PB,OPPA=PB,OP平
5、分平分APB.APB.过圆外一点，所画的过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相圆的两条切线的长相等等. . 几何语言几何语言: :O OP PA AB B反思：切线长定理为证明线段反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法相等、角相等提供新的方法PA =PBPA =PBOPA=OPBOPA=OPBA AP PO OB B若连接两切点若连接两切点A A，B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得出什么你又能得出什么新的结论新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OPOP垂直平分垂直平分ABABM M证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点
6、，是切点，PA=PBPA=PB，OPA=OPB.OPA=OPB.PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线. .OPOP垂直平分垂直平分AB.AB.试一试试一试A AP PO O.B B若延长若延长POPO交交O O于点于点C C，连接，连接CACA，CBCB，你又能得出什，你又能得出什么新的结论么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .CA=CBCA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点，是切点，PA = PB PA = PB ，OPA=OPB.OPA=OPB.又又 PC=PC. PC=PC.PCAPCAPC
7、B PCB ，BC=AC.BC=AC.C C.PBAO（3 3）连接圆心和圆外一点）连接圆心和圆外一点（2 2）连接两切点）连接两切点（1 1）分别连接圆心和切点）分别连接圆心和切点反思：在解决有关圆的反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需切线长问题时，往往需要我们构建基本图形要我们构建基本图形. .想一想想一想探究：探究：PAPA，PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A，B B为切点，直线为切点，直线OPOP交交O O于点于点D D，E E，交，交ABAB于点于点C.C.B BAPOC CE E（1 1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPAOAPA，OB PB
8、ABOPOB PB ABOP（2 2）写出图中与）写出图中与OACOAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOAC=OBC=APC=BPCD DAOPAOPBOPBOP， AOCAOCBOCBOC， ACPACPBCPBCP（4 4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABPABP，AOBAOB（3 3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形B BAPOC CE ED D【例例1 1】ABCABC的内切圆的内切圆O O与与BCBC，CACA，ABAB分别相切于分别相切于点点D D，E E，F F，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，
9、CA=13cmCA=13cm，求，求AFAF，BDBD，CECE的长的长. .【解析解析】设设AF=x,AF=x,则则AE=xAE=xCD=CE=AC-AE=13-xCD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.BD=BF=AB-AF=9-x.由由BD+CD=BCBD+CD=BC可得可得13-x+9-x=1413-x+9-x=14，解得解得x=4.x=4. AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm. AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.【例题例题】【例例1 1】如图，四边形如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB，BCBC，CDCD，DADA和
10、和O O分别相切于点分别相切于点L L，M M，N N，P P，求证：求证：AD+BC=AB+CD.AD+BC=AB+CD.证明：由切线长定理得证明：由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MBLB=MB，NC=MCNC=MC，DN=DP,DN=DP,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即即AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CD，补充：圆的外切四边形的两组对边补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等的和相等DLMNABCOP【例题例题】1.1.如果如果PA=4cm,PD=2cm,PA=4cm,PD=2cm,求半径求半径OAOA的
11、长的长. .42xx【解析解析】设设OA=xcmOA=xcm；在在RtRtOAPOAP中，中，OA=xcmOA=xcm，OP=OD+PD=OP=OD+PD=（x+2x+2）cmcm，PA=4cm,PA=4cm,由勾股定理，得由勾股定理，得PAPA2 2+OA+OA2 2=OP=OP2 2，即即4 42 2+x+x2 2=(x+2)=(x+2)2 2, ,整理，得整理，得x=3.x=3.所以，半径所以，半径OAOA的长为的长为3cm.3cm.【跟踪训练跟踪训练】ABCDEF2.2.设设ABCABC的边的边BC=8BC=8，AC=11AC=11，AB=15AB=15，内切圆，内切圆II和和BC,A
12、C,ABBC,AC,AB分别相切于点分别相切于点D,E,F.D,E,F.求求AE,CD,BFAE,CD,BF的长的长. .Ixyz【解析解析】设设AE=xAE=x，BF=yBF=y，CD=z, CD=z, xyz答：答：AE ,CD ,BFAE ,CD ,BF的长分别是的长分别是9,2,6. 9,2,6. x+y=15,x+y=15,y+z=8,y+z=8,x+z=11,x+z=11,x=9,x=9,y=6,y=6,z=2,z=2,则则解得解得1 1（珠海（珠海中考）如图，中考）如图，PA,PBPA,PB是是 O O的切线，的切线，切点分别是切点分别是A,BA,B，如果，如果P P6060,
13、,那么那么AOBAOB等等于（于（ ） A.60A.60 B.90 B.90C.120C.120 D.150 D.150C C2.2.（杭州（杭州中考）如图，正三角形的内切圆半径为中考）如图，正三角形的内切圆半径为1 1，那么这个正三角形的边长为（那么这个正三角形的边长为（ ）A A2 2 B B3 C3 C D D 【解析解析】选选D.D.如图所示，连接如图所示，连接OA,OBOA,OB，则三角形，则三角形AOBAOB是是直角三角形，且直角三角形，且OBA=90OBA=90,OAB=30,OAB=30, ,又因为内切又因为内切圆半径为圆半径为1 1，利用勾股定理求得，利用勾股定理求得AB=
14、,AB= ,那么这个正三角那么这个正三角形的边长为形的边长为 . . A AB B3.3.已知：如图已知：如图,PA,PB,PA,PB是是O O的切线，切点分别是的切线，切点分别是A,BA,B，Q Q为为O O上一点，过上一点，过Q Q点作点作O O的切线，交的切线，交PA,PBPA,PB于于E,FE,F点，已知点，已知PA=12cmPA=12cm，求，求PEFPEF的周长的周长. .【解析解析】易证易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.EQ=EA, FQ=FB,PA=PB. PE+EQ=PA=12cm, PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm.PF+FQ=PB=PA
15、=12cm.周长为周长为24cm.24cm.F切线的切线的6 6个性质：个性质：（1 1）切线和圆只有一个公共点）切线和圆只有一个公共点. .（2 2）切线和圆心的距离等于圆的半径）切线和圆心的距离等于圆的半径. .（3 3）切线垂直于过切点的半径）切线垂直于过切点的半径. .（4 4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点）经过圆心垂直于切线的直线必过切点. .（5 5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. .（6 6）切线长定理）切线长定理. . 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握： 我之所以比笛卡儿看得远些， 是因为我站在巨人的肩上. 牛顿
