1、3.1.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率第三章 直线的方程 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？表示呢？xyOlP（x，y） 为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来法把这些几何要素表示出来 对于平面直角坐标系内的一条直线对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的，它的位置由哪些条件确定？位置由哪些条件确定？xyOl 我们知道，两点确定一条直线一点能确定我们知道，两点确定一
2、条直线一点能确定一条直线的位置吗？已知直线一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点经过点P，直线，直线 l 的位置能够确定吗？的位置能够确定吗？xyOlllP 过一点过一点P可以作无数条直线可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，它们都经过点它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？区别在哪里呢？xyOlllP 容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述直线的倾斜程度呢？直线的倾斜程度呢？xyOlllP 当直线当直线 l 与与x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x轴作为基准，轴作为基准，x轴正向与直线轴正向与直线 l
3、 向上方向之间所成的角向上方向之间所成的角 叫做叫做直直线线 l 的倾斜角的倾斜角（angle of inclination） xyOl 当直线当直线l与与x轴平行或重合时，轴平行或重合时，规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为 .0直线的倾斜角直线的倾斜角 的取值范围为：的取值范围为：.1800ypoxlpoyxlpoyxl规定规定:当直线和当直线和x轴平行或重合时轴平行或重合时,它的倾斜角为它的倾斜角为0轴平行与ylpoyxl轴平行与xl。30。30 讨论讨论下列直线的倾斜角分别是多大？下列直线的倾斜角分别是多大？ 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 平平面直角
4、坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度倾斜程度相同的直线其倾斜角相同相同的直线其倾斜角相同 xyOlll 已知直线上的一个点不能已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角知直线的倾斜角也不能确定也不能确定一条直线的位置一条直线的位置 但是，但是，直线上的一个直线上的一个点点和和这条直线的这条直线的倾斜角倾斜角可以唯一确可以唯一确定一条直线定一条直线 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：何要
5、素是： 直线上的一个直线上的一个定点定点以及它的以及它的倾斜角倾斜角， 二者二者缺一不可缺一不可xyOlP日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）结论：结论：坡度越大，楼梯越陡坡度越大，楼梯越陡前进前进升升高高例如，例如，“进进2升升3”与与“进进2升升2”比较，前者比较，前者更陡一些，因为坡度（比）更陡一些，因为坡度（比）32.22前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）通常用小写字母通常用小写字母k表示，即表示，即 tan k 一条直线的倾斜角的正切值叫做这一条直线的倾斜角的正切值叫
6、做这条条直线的斜率直线的斜率（slope）. 倾斜角是倾斜角是 的直线有斜率吗？的直线有斜率吗？90 倾斜角是倾斜角是 的直线的斜率的直线的斜率不存在不存在90)90( 如果使用如果使用“倾斜角倾斜角”这个概念，那么这里的这个概念，那么这里的“坡坡度（比）度（比）”实际就是实际就是“倾斜角倾斜角的正切的正切”xyOyxO(1)(2)(4)(3)。90。0yxO。900。18090 xyOtank(0,)k(,0)k 0k k值不存在 直线的斜率直线的斜率 如：倾斜角如：倾斜角 时，直线的斜率时，直线的斜率 45 . 145tan k当当 为锐角时，为锐角时， .tan)180tan( 如：倾斜
7、角为如：倾斜角为 时，由时，由135 145tan135tan k即这条直线的斜率为即这条直线的斜率为. 1 倾斜角倾斜角不是不是90的直线都有斜率，并且倾的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度率表示直线的倾斜程度已知直线的倾斜角已知直线的倾斜角,求直线的斜率求直线的斜率1. 2. 3. 4.5. 6.7. 8. 练习练习:30a45a60a90a120a150a135a0a已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 给定两点给定两点P1 （ x1 ，y1），）， P2
8、 （ x2 ，y2），）， 并且并且x1 x2，如何计算直线，如何计算直线P1 P2的斜率的斜率kx0y1P2Pl上的两个不同点上的两个不同点是直线是直线设设lyxPyxP),(),(222111P|tan12PPPPk 122|yyPP 121|xxPP xxyy1212tan 直线的斜率计算公式：直线的斜率计算公式：xxyyk1212 即即如何用两点的坐标表示直线的斜率如何用两点的坐标表示直线的斜率(为为锐角锐角) 斜率公式斜率公式xyOP2（x2，y2）P1（x1，y1）上的两个不同点上的两个不同点是直线是直线设设lyxPyxP),(),(222111|tantan12PPPPk P12
9、2|yyPP 211|xxPP 21211221tanyyyyxxxx 直线的斜率计算公式：直线的斜率计算公式： 斜率公式斜率公式如何用两点的坐标表示直线的斜率如何用两点的坐标表示直线的斜率(为为钝角钝角)xxyyk1212 即即13 例例2. 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的（法是正确的（ ）A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于平行于x轴的直线的倾斜角是轴的直线的倾斜角是0或或1800；D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等；两直
10、线的斜率相等，它们的倾斜角相等；E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等；两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等；F.直线斜率的范围是直线斜率的范围是(，).FD,例例1.直线直线l的倾斜角为的倾斜角为45，则斜率，则斜率k为为直线直线l的倾斜角为的倾斜角为120，则斜率，则斜率k为为 举例举例Oxy121l2l例例3. 如图，直线如图，直线l1 的倾斜角的倾斜角1=300，直线，直线l2l1，求求l1，l2 的斜率的斜率.解：解：3330tantan111 。的的斜斜率率kl。的倾斜角的倾斜角120309022 l360tan)60180tan(120tan22 。的的斜斜率率kl 举例举例例例4
11、. 求过求过A（-2，0），），B（-5，3）两点的）两点的 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率。，倾斜角，倾斜角为为综上可知：直线的斜率综上可知：直线的斜率13511351800 倾倾斜斜角角为为解解：设设该该直直线线的的斜斜率率为为,k1)2(503tan k则则由由斜斜率率公公式式得得 举例举例例例5. 直线直线 l1、 l、 l的斜率分别是的斜率分别是k1、 k、 k， 试比较斜率的大小试比较斜率的大小l1ll231kkk 举例举例判断正误判断正误 2. 直线的斜率为直线的斜率为tan,则它的倾斜角为则它的倾斜角为 ( ) 1. 直线的倾斜角为直线的倾斜角为,则直线的斜率为则直线的斜
12、率为tan ( ) 3. 因为平行于因为平行于y轴的直线的斜率不存在轴的直线的斜率不存在,所以平所以平 行于行于y轴的直线的倾斜角不存在轴的直线的倾斜角不存在 ( )4. 倾斜角为倾斜角为90时时,直线不存在直线不存在 ( ) 练习练习 例例6 如图如图 ，已知，已知 ，求，求直线直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角是锐角还是钝角),2 , 3(A),1 , 4( B)1, 0( C解：直线解：直线AB的斜率的斜率;713421 ABk;2142)4(011 BCk直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率; 1333021 CA
13、k 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 ABk0 CAk0 BCk 例例7 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为分别为1，-1，2及及-3的直线的直线 及及 321,lll4l,00111 xy即即.11yx 解：取解：取 上某一点为上某一点为 的的坐标是坐标是 ，根据斜率公式，根据斜率公式有有:1l),(11yx1A 设设 ，则，则 ，于是，于是 的坐标是的坐标是 过过原点及原点及 的直线即为的直线即为 11 x11 y1A)1 , 1()1 , 1(1A1lxy1A3A2A4A1l3l2l4l 是过原点及是过原点及 的直线，的直线， 是过原点及是过原点及 的直线，的直线， 是过原点及是过原点及 的直线的直线2l),(222yxA),(333yxA),(444yxA3l4l两点间斜率公式两点间斜率公式倾斜角倾斜角斜率斜率
