1、第一课时第一课时 问题提出问题提出 1. 1.不等式有许多基本性质，同时还不等式有许多基本性质，同时还有一些显而易见的结论，如有一些显而易见的结论，如a2 200，| |a|0|0，| |a|a等，这些性质都是研等，这些性质都是研究不等式问题的理论依据究不等式问题的理论依据. .在实际应在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原用中，我们还需要有相应的不等式原理理. . 2. 2.如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第2424界国际界国际数学家大会的会标，它是根据中国古数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风明暗使它
2、看上去象一个风车，代表中国人民热情好车，代表中国人民热情好客。在这个图案中既有一客。在这个图案中既有一些相等关系，也有一些不些相等关系，也有一些不等关系，对这些等与不等等关系，对这些等与不等的关系，我们作些相应研的关系，我们作些相应研究究. .基本不等式原理基本不等式原理及其变形及其变形探究（一）探究（一）: :基本不等式的原理基本不等式的原理 思考思考1 1：将图中的将图中的“风车风车”抽象成如图，在正方形抽象成如图，在正方形ABCDABCD中有中有4 4个全等的直角个全等的直角三角形三角形. .设直角三角形的设直角三角形的两条直角边长为两条直角边长为a，b b那么那么正方形正方形ABCDA
3、BCD和和EFGHEFGH的边长的边长分别为多少？分别为多少？ABCDEFGH| |ab |b | 22ab思考思考2 2：图中正方形图中正方形ABCDABCD的面积与的面积与4 4个直个直角三角形的面积之和有什么不等关系？角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？由此可得到一个什么不等式？a2 2b b2 222ab b 思考思考3 3：从图形分析从图形分析, ,上述不等式在什上述不等式在什么情况下取等号？么情况下取等号？ 当直角三角形为等腰直角三角形，即当直角三角形为等腰直角三角形，即 ab b时，时， a2 2b b2 22 2ab. b. ABCDEFGH思考思考4
4、4：在上面的图形背景中，在上面的图形背景中，a,b,b都是都是正数，那么当正数，那么当a，bRbR时，不等式时，不等式a2 2b b2 222ab b成立吗？为什么？成立吗？为什么？ 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a，b b，有，有: :a2 2b b2 222ab b，当且仅当，当且仅当ab b时等号成时等号成立立. .ABCDEFGH思考思考5 5：特别地，如果特别地，如果a0 0，b b0 0，我，我们用们用 、 分别代替分别代替a、b b ，可得什，可得什么不等式么不等式? ? 当且仅当当且仅当ab b时等号成立时等号成立. .2abab( 0, 0)2abab ababa思
5、考思考6 6：不等式不等式称为称为基本不等式基本不等式，它沟通了两个正数，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？有广泛的应用，你能用分析法证明吗？ ( 0, 0)2abab ab思考思考7 7：我们称我们称 和和 分别为分别为a，b b的算术平均数和几何平均数，如何用的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言表述基本不等式？文字语言表述基本不等式？ 两个正数的算术平均数不小于它们的两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数几何平均数. 2ab+ab思考思考8 8：如图，在直角三角形如图，在直角三角形ABCABC中，中，C
6、DCD为斜边上的高，为斜边上的高， COCO为斜边上中线，你为斜边上中线，你能利用这个图形对基本不等式作出几何能利用这个图形对基本不等式作出几何解释吗？解释吗？A AB B C CD DO O探究（二）：探究（二）：基本不等式的变形基本不等式的变形 思考思考1 1：将基本不等式将基本不等式两边平方可得什么结论？它与不等式两边平方可得什么结论？它与不等式a2 2b b2 222ab b有什么内在联系？有什么内在联系？ 2abababba2)2(思考思考2 2：在不等式在不等式a2 2b b2 222ab b两边同加两边同加上上a2 2b b2 2可得什么结论？所得不等式有可得什么结论？所得不等式
7、有什么特色？什么特色？ 它反映了两个实数的平方和与它们的它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系，称为和的平方的不等关系，称为平方平均平方平均不等式，不等式，其数学意义是：其数学意义是：两个实数的两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方平均数的平方. . 222)2(2baba思考思考3:3:将不等式将不等式 两边同乘以两边同乘以 ，可变通出一些什么，可变通出一些什么结论？结论？ baabab2baab1122(0,0)abab abab理论迁移理论迁移 例例1 1 已知已知x x、y y都是正数，求证：都是正数，求证： (x(xy)(x
8、y)(x2 2y y2 2)(x)(x3 3y y3 3)x x3 3y y3 3例例2 2 已知已知 a2 2b b2 2c c2 21 1， 求证：求证：( (ab bc)c)3 33.3.2.2.基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用活性，既可直接应用也可变式应用. .一般地，遇一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理等式问题时，常利用基本不等式处理 1.1.不等式不等式a2 2b b2 22ab2ab与与 都是基本不等都是基本不等
9、式，它们成立的条件不同，前者式，它们成立的条件不同，前者a、b b可为任意实可为任意实数，后者要求数，后者要求a、b b都是正数，但二者等号成立的都是正数，但二者等号成立的条件相同条件相同. . 2abab小结小结3.3.当当a、b b都是正数时，有不等式链都是正数时，有不等式链 baabbaba1122222第二课时第二课时 3.4 3.4 基本不等式基本不等式 2abab问题提出问题提出1.1.基本不等式有哪几种基本形式？基本不等式有哪几种基本形式？ （1 1） a2 2b b2 222ab b（a，bRbR），当且），当且仅当仅当ab b时等号成立；时等号成立； （2 2） ( (a0
10、0，b b0)0)，当且，当且仅当仅当ab b时等号成立；时等号成立；2abab（3 3） ( (a0 0，b b0)0)，当，当且仅当且仅当ab b时等号成立；时等号成立；222()22abab+2.2.函数的最大值和最小值的含义分别函数的最大值和最小值的含义分别是什么？是什么？3.3.在一定条件下，利用基本不等式可在一定条件下，利用基本不等式可以求出变量的极端值，因此，利用基以求出变量的极端值，因此，利用基本不等式求最值就成为一种重要的数本不等式求最值就成为一种重要的数学方法学方法. . 最大值最大值:f(x)M:f(x)M，且等号成立，且等号成立; ;最小值最小值:f(x):f(x)m
11、m，且等号成立，且等号成立. .基本不等式与最值基本不等式与最值探究（一）：探究（一）：基本不等式与最值原理基本不等式与最值原理 思考思考1 1：在基本不等式在基本不等式 ( (a0 0，b b0)0)中，如果中，如果ab bP P为定值，为定值，能得到什么原理？能得到什么原理？2abab 原理一：原理一：若两个正数的积为定值，则当若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值这两个正数相等时它们的和取最小值. . 思考思考2 2：在基本不等式在基本不等式 ( (a0 0，b b0)0)中，如果中，如果ab bS S为定为定值，又能得到什么原理？值，又能得到什么原理？ 2abab原
12、理二：原理二：若两个正数的和为定值，则若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大当这两个正数相等时它们的积取最大值值 . . 思考思考3 3：能否由能否由 得函数得函数 的最小值是的最小值是2 2吗？吗？1yxx=+2121xxxx思考思考4 4：当当x4x4时时, ,能否由能否由 得函数得函数 的最小值是的最小值是4 4吗？吗？ 21yxx=+4212122xxxxx思考思考6 6：利用基本不等式求两个变量的利用基本不等式求两个变量的和的最小值和的最小值( (或积的最大值或积的最大值) )，应具备，应具备哪些基本条件？哪些基本条件？ 一正二定三相等一正二定三相等思考思考5 5：
13、当当x(0 x(0，)时，能否由时，能否由 ，得函数，得函数 的最小值是的最小值是 吗？吗？ 2si nsi nyxx=+2 222sin2sin2sin2sinxxxx探究（二）探究（二）基本不等式求最值的实际应用基本不等式求最值的实际应用 【背景材料背景材料】在农村，为防止家畜家在农村，为防止家畜家禽对菜地的破坏，常用篱笆围成一个禽对菜地的破坏，常用篱笆围成一个菜园菜园.如果菜园的面积一定，为节省材如果菜园的面积一定，为节省材料，就应考虑所用篱笆最短的问题；料，就应考虑所用篱笆最短的问题；如果所用篱笆的长度一定，为了充分如果所用篱笆的长度一定，为了充分利用材料，就用考虑所围菜园面积最利用材
14、料，就用考虑所围菜园面积最大的问题大的问题 思考思考1 1：如果用篱笆围成一个面积为如果用篱笆围成一个面积为100m100m2 2的矩形菜园，所用篱笆的总长度的矩形菜园，所用篱笆的总长度是定值？还是变量？是定值？还是变量？ 思考思考2 2：如何设计这个矩形菜园的长如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使所用篱笆最短，最短的和宽，才能使所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？篱笆是多少？矩形的长、宽都为矩形的长、宽都为10m10m时，所用篱笆时，所用篱笆最短，最短的篱笆是最短，最短的篱笆是40m.40m.思考思考3 3：用一段长为用一段长为36m36m的篱笆围成一的篱笆围成一个矩形菜园，所围成的矩形菜园的面
15、个矩形菜园，所围成的矩形菜园的面积是定值？还是变量？积是定值？还是变量？ 思考思考4:4:如何设计这个矩形菜园的长和如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面积最大，最大面宽，才能使菜园的面积最大，最大面积是多少积是多少? ?矩形的长、宽都为矩形的长、宽都为9m9m时，菜园的面积时，菜园的面积最大，最大面积是最大，最大面积是81m81m2 2. .思考思考5 5：若矩形菜园的一边靠墙，另外若矩形菜园的一边靠墙，另外三边用一段长为三边用一段长为36m36m的篱笆围成，如何的篱笆围成，如何设计这个矩形菜园的长和宽，才能使设计这个矩形菜园的长和宽，才能使菜园的面积最大，最大面积是多少菜园的面积最大
16、，最大面积是多少? ? 矩形的长为矩形的长为18m18m，宽为，宽为9m9m时，菜园的时，菜园的面积最大，最大面积是面积最大，最大面积是162m162m2 2. .理论迁移理论迁移 例例1 1 某工厂要建造一个长方体无盖某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为贮水池，其容积为4800m4800m3 3，深为，深为3m.3m.如如果池底每平方米的造价为果池底每平方米的造价为150150元，池壁元，池壁每平方米的造价为每平方米的造价为120120元，问怎样设计元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？多少元？当水池底面是边长为当水池底面是边长为40m4
17、0m的正方形时，的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是水池的总造价最低，最低总造价是297600297600元元. . 例例2 2 某食品厂定期购买面粉，已知某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要购买面粉该厂每天需要购买面粉6 6吨，每吨面粉吨，每吨面粉的价格为的价格为18001800元，面粉的保管费等其元，面粉的保管费等其他费用为平均每吨每天他费用为平均每吨每天3 3元，购买面粉元，购买面粉每次需支付运输费每次需支付运输费900900元元. .问该厂每隔问该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？最少费用是多天所支付的费用最少？最少费用是
18、多少？少？ 每隔每隔1010天购买一次面粉，能使平均每天购买一次面粉，能使平均每天所支付的费用最少，最少费用是天所支付的费用最少，最少费用是1098910989元元. .1.1.用基本不等式求函数的最值，是一用基本不等式求函数的最值，是一种很重要的方法，应用时要注意下列种很重要的方法，应用时要注意下列三个条件：三个条件：(1)(1)函数解析式中各变量均为正数；函数解析式中各变量均为正数；(2)(2)含变量的两项的和或积为定值；含变量的两项的和或积为定值；(3)(3)含变量的两项可以相等，含变量的两项可以相等，即即“一正二定三相等一正二定三相等”. .小结作业小结作业2.2.在实际问题中求最值时
19、，一般先要在实际问题中求最值时，一般先要设定字母表示相关变量，再建立变量设定字母表示相关变量，再建立变量之间的函数关系，然后求最值之间的函数关系，然后求最值. .对形如：对形如：x xy y，xyxy，x x2 2y y2 2, , 等结构等结构的最值问题，常用基本不等式求解的最值问题，常用基本不等式求解. . baxx+第三课时第三课时 3.4 3.4 基本不等式基本不等式 2abab1.1.基本不等式：基本不等式：（1 1） a2 2b b2 222ab b（a，bRbR），当），当且仅当且仅当ab b时等号成立；时等号成立； （2 2） ( (a 0 0，b b0)0)，当，当且仅当且仅
20、当a b b时等号成立；时等号成立；2abab（3 3） ( (a 0 0，b b0)0)，当，当且仅当且仅当ab b时等号成立时等号成立222()22abab+知识整理知识整理2.2.最值原理：最值原理： （1 1）若两个正数的积为定值，则当这）若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值两个正数相等时它们的和取最小值. .（2 2）若两个正数的和为定值，则当这）若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值两个正数相等时它们的积取最大值. .（3 3）环境条件：一正二定三相等）环境条件：一正二定三相等. .利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应用举例应用举例
21、例例1 1求函数求函数 的最小的最小值值. . 1(3)3yx xx=+-当当x x4 4时，时，y y取最小值取最小值5.5.例例2 2 求函数求函数 的最小值的最小值. . 28(1)1xyxx+=-当当x x4 4时，时，y y取最小值取最小值8.8. 例例3 3 已知已知 ，求函数，求函数 的最大值的最大值. . 103x(13 )yxx=-(13 )yxx=-，求函数当当 时，时，y y取最大值取最大值 . .16x=112当当x x4 4，y y1212时，时，x xy y取最小值取最小值16.16.例例5 5 已知已知x x0 0，y y0 0，且，且x xy y1 1，求求 的最大值的最大值. .1122xy+191+=xy例例4 4 已知已知x x0 0，y y0 0，且，且 , , 求求x xy y的最小值的最小值. . 当当 时，时， 取最大值取最大值2.2. 12xy=1122xy+例例6 6 已知已知a,b,c,b,c为正数为正数, ,且且a b bc c1 1，求求 的最小值的最小值. . 111+abc例例7 7 已知已知a,b,c,b,c为正数，且为正数，且ab bc c1 1，求，求 的最大值的最大值. . +abc当当 时，时， 取最小值取最小值9.9. 111+abc13abc=当当 时，时， 取最大值取最大值 +abc13abc=3
