1、雷达信号处理国防科技重点实验室 -水鹏朗雷达信号处理国防科技重点实验室数学建模基础雷达信号处理国防科技重点实验室第第一一章章 建立数学模型建立数学模型雷达信号处理国防科技重点实验室玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为一定目的，对客观事物进行简缩、抽是为一定目的，对客观事物进行简缩、抽象、提炼出来的象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物, 而不是原型本身而不是原型本身.模型模型集中反映了集中反映了原型原型中需要的那一
2、部分特征中需要的那一部分特征.1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型什么是模型什么是模型 ? ?雷达信号处理国防科技重点实验室1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型从实物到模型从实物到模型交通部门：交通部门：网状图模网状图模型型行政部门：行政部门：Cartoon模型模型航空部门：航空部门：赋值图赋值图(Graph)模型模型雷达信号处理国防科技重点实验室1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型雷达探测：飞机被看做雷达探测：飞机被看做有多个具有一定空间分有多个具有一定空间分布的散射点构成布的散射点构成-散射散射点模型点模型-雷达成像雷达成像红外探测：飞机具有红外探测：飞
3、机具有不同温度分布的几何不同温度分布的几何对象对象-温度场温度场(辐射辐射场场)模型模型-红外成像红外成像雷达信号处理国防科技重点实验室你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. .甲乙两地相距甲乙两地相距750750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需3030小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需5050小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少? ?x =20y =5求解求解雷达信号处
4、理国防科技重点实验室航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤: 简化假设（船速、水速为常数）；简化假设（船速、水速为常数）； 符号表示（符号表示（x, yx, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x x=20,=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时2020千米千米/ /小时小时）。解剖“麻雀” 雷达信号处理国防科技重点实验室数学模型数学模型-Mathemat
5、ical Model数学建模数学建模-Mathematical Modeling一个一个现实对象现实对象，一个一个特定目的特定目的，据其据其内在规律内在规律，作出必要，作出必要假设假设，适当的适当的数学工具数学工具，得到的得到的数学结构和描述数学结构和描述。数学模型数学模型雷达信号处理国防科技重点实验室建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）3W规则规则数学数学建模建模What实际问题的实际问题的数学描述数学描述How数学问题如数学问题如何求解何求解Why解释与检验解释与检验搞楚是什么搞楚是什么探讨如何做探讨如何做多问为什么多问为
6、什么雷达信号处理国防科技重点实验室1.2 数学建模的意义数学建模的意义 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。 工程技术领域工程技术领域, 数学建模无处不在；数学建模无处不在； 高新技术领域高新技术领域, 数学建模必不可少；数学建模必不可少； 数学是一种通用语言数学是一种通用语言, 跨越语种沟通障碍跨越语种沟通障碍.雷达信号处理国防科技重点实验室数学建模的具体应用数学建
7、模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼雷达信号处理国防科技重点实验室1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放平稳吗椅子能在不平的地面上放平稳吗 ? ?问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 - -三只脚着地三只脚着地放稳放稳 - -四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; ; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面; ; 地面相对平坦，
8、使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。雷达信号处理国防科技重点实验室模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形( (椅脚连线椅脚连线) )的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用 ( (对角线与对角线与x x轴的夹角轴的夹角) )表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离( (四只脚四只脚) )A,C 两脚与地面距离之和f()B,D 两脚与地面距离之和 g()两个距离两个距离 椅脚与地面距离
9、为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCDABCD绕绕O O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性雷达信号处理国防科技重点实验室用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个至少一个为为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面椅子在任
10、意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地雷达信号处理国防科技重点实验室模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线对角线ACAC和和BDBD互换互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, , 据连续函数的基本据连续函数的基本性质性质, , 必存在必存在 0 , , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) . .因为因为f( ) g( )=0,
11、 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 : :假设条件的本质与非本假设条件的本质与非本质质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和f( ), g( )的确定的确定雷达信号处理国防科技重点实验室解决问题的另一个数学模型解决问题的另一个数学模型基本假定基本假定: : 1.1. 地面描述为连续曲面地面描述为连续曲面 ; ; 2.2. 椅子围绕坐标原点水平旋转椅子围绕坐标原点水平旋转; ; 3.3. 转角规定为椅子对角连线与转角规定为椅子对角连线与X X轴的夹角轴的夹角, , 记为记为 ; ; 4.4. 椅子四个脚在椅子四个脚在x-yx-y平
12、面上的坐标分别为平面上的坐标分别为( , )f x yA ( sin , cos )B ( sin(/ 2), cos(/ 2)( cos ,sin ) ( sin(), cos()(sin ,cos ) ( sin(3/ 2), cos(3/ 2)(cos , sin )aaaaaaCaaaaDaaaa BADCOD C B A a雷达信号处理国防科技重点实验室问题分析问题分析: 椅子四脚着地等价于四个脚都落椅子四脚着地等价于四个脚都落在曲面上在曲面上,并且四个落点共面并且四个落点共面( , )f x y sin , cos ,( sin , cos ) cos ,sin ,( cos ,s
13、in )sin ,cos ,(sin ,cos )cos , sin ,(cos , sin )aaf aaaaf aaaafaaaafaa数学模型数学模型: : 设设 是一个连续曲面是一个连续曲面, , 则存在角度则存在角度 使得曲面上的四个点使得曲面上的四个点共面共面. .雷达信号处理国防科技重点实验室模型求解模型求解:(,),1,2,3,4kkkxyzk 11122233344411011xyzxyzxyzxyz 基本定理基本定理: : 空间中四点空间中四点 共面共面 行列式行列式 引进函数引进函数1sincos( sin , cos )1cossin( cos ,sin )( )1si
14、ncos(sin ,cos )1cossin(cos , sin )aaf aaaaf aaaafaaaafaa雷达信号处理国防科技重点实验室 是是 的连续函数的连续函数 10(0, )10( ,0)10( ,0)10(0,)(0)(/ 2)10(0,)10(,0)10(,0)10(0, )01000010(0)(0)00011000afaaf aaf aafaafaafaafaafa ( )雷达信号处理国防科技重点实验室如果如果 , 表明表明 如果如果 , 由介值定理由介值定理, ,存在存在 使得使得因此因此, , 总是存在一个旋转角度总是存在一个旋转角度, , 使得椅子的四使得椅子的四脚水
15、平落在曲面上脚水平落在曲面上( (即放平稳即放平稳) )(0)00(0)0(0,/ 2)( )0雷达信号处理国防科技重点实验室1.3.2 商人们安全过河问题商人们安全过河问题? ?问题问题( (智力游戏智力游戏) ) 3 3名商人名商人 3 3名随名随从从随从们密约随从们密约, , 在河的任一在河的任一岸岸, , 一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商人多人多, , 就杀人越货就杀人越货. .但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定. .商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河? ?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸
16、到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人员船上的人员要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有经有限步使全体人员过河限步使全体人员过河. .河河小船小船( (至多至多2 2人人) )雷达信号处理国防科技重点实验室模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)过程的状态过程的状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第
17、k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许允许决策决策集合集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k状态转移律状态转移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S, 并并按按转转移律移律由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多步决策问题问题雷达信号处理国防科技重点实验室模型求解模型求解 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y) 1616个格点个格点 1010个个 点点允许决策允许决策 移动移动1
18、或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.d1, ，d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法, ,易于推广易于推广xy3322110s1sn+1d1d11允许状态允许状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2雷达信号处理国防科技重点实验室 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”, ,通过对量测数据的通过对量测数据的统
19、计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)(Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构, ,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤雷达信号处理国防科技重点实验室 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模
20、型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题雷达信号处理国防科技重点实验室模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤雷达信号处理国防科技重点实验室模型模型求解求解各种数学方法、软件和
21、计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤雷达信号处理国防科技重点实验室数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的
22、和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问题成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论理论实践实践雷达信号处理国防科技重点实验室归纳和演绎归纳和演绎-在数学建模中的作用在数学建模中的作用归纳就是从现象发现事归纳就是从现象发现事物本质运行规律的过程物本质运行规律的过程观察到的现象观察到的现象: 数据记录数据记录 常识与结论常识与结论 .演绎就是从已知和证实演绎就是从已知和证实的运行规律的运
23、行规律,通过合理的通过合理的分析和推导得出新的结分析和推导得出新的结论和规律论和规律. 数学上的定理和推论数学上的定理和推论都是从基本公理通过演都是从基本公理通过演绎得到的重要结论绎得到的重要结论 工学中工学中,同样从电子线同样从电子线路的基本原理路的基本原理(定律定律)可可以演绎出许多重要结论以演绎出许多重要结论.归纳和演绎能力在科学发现中缺一不可.雷达信号处理国防科技重点实验室从第谷到万有引力定律从第谷到万有引力定律第谷第谷(1546-1601),(1546-1601),丹麦天文学家。自幼过继给伯父约尔根布拉赫为子，受到良好的教育，曾先后在哥本哈根大学、莱比锡大学、罗斯托克大学、巴塞尔大学
24、等多所大学求学。第谷对天文学的重大贡献在于他通过长期观测积累的有关行星运行的大量数据资料，成为那个时代罕见的天文观测家，获得“星学之王”的美称。 数据积累大量现象记录-科学发现的基础雷达信号处理国防科技重点实验室从第谷到万有引力定律从第谷到万有引力定律(续续)开普勒开普勒(1571-1630),(1571-1630), 德国天文学家, 第谷的学生。从现象发现规律第一定律第一定律( (椭圆定律椭圆定律) ): 每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中. 第二定律第二定律( (面积定律面积定律) ): 在相等时间内，太阳和运动中行星的连线所扫过的面积都是相等的. 第三定律
25、第三定律( (调和定律调和定律) ): 各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道半长轴的立方成正比. 雷达信号处理国防科技重点实验室从第谷到万有引力定律从第谷到万有引力定律(续续)牛顿爵士牛顿爵士是历史上曾出现过的最伟大、最有影响的科学家，同时也是物理学家、数学家和哲学家，晚年醉心于炼金术与神学。他在1687年发表的不朽著作自然哲学的数学原理里用数学方法证明了宇宙中最基本的法则-万有引力定律和三大运动定律。这四条定律构成了一个统一的体系，被认为是“人类智慧史上最伟大的成就”，由此奠定了之后三个世纪中物理世界的科学观点，并成为现代工程学的基础.122Gm mFR万有引力定律万有引力定律自然界
26、总是以最简单、最美的方式运行If I can see a bit farther than some others, it is because I am standing on the shoulders of giants.-Newton 如果说我比别人看得更远些，那是因为如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在了巨人的肩上我站在了巨人的肩上. . 雷达信号处理国防科技重点实验室自然界与数学的简约自然界与数学的简约雷达信号处理国防科技重点实验室1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的渐进性模型的稳健性模型的稳健性模型的可转移
27、性模型的可转移性模型的非预制性模型的非预制性模型的条理性模型的条理性模型的技艺性模型的技艺性模型的局限性模型的局限性 数学模型的特点数学模型的特点雷达信号处理国防科技重点实验室数学模型的分类数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态人口、交通、经济、生态 数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性表现特性描述、优化、预报、决策描述、优化、预报、决策 建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续雷达信号处理国防科技重点实验室1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进现有模型学习、分析、评价、改进现有模型 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目
