1、电动力学电动力学第第9讲讲第二章第二章 静电场静电场(1)(1) 2.1 2.1 静电场的标势及其微分方程静电场的标势及其微分方程教师姓名：教师姓名： 宗福建宗福建单位：单位： 山东大学物理学院山东大学物理学院20162016年年1010月月9 9日日MAXWELL方程组00tt BEEBJEB 0002山东大学物理学院 宗福建MAXWELL方程组00lslsVsSddtdIdtQdQdVdId BElSEBlSESBSJS 000s3山东大学物理学院 宗福建山东大学物理学院 宗福建4介质中的麦克斯韦方程组为 介质方程为：介质方程为：0tt BEDHJDBDEBHJE山东大学物理学院 宗福建5
2、积分形式：0lSlSSSSVddddtddIddtdQIddQdV ElBSHlDSDSJSBS DEBHJE山东大学物理学院 宗福建6法向分量的跃变法向分量的跃变2121021()fnnPnnfPnnDDPPEEnnBB12山东大学物理学院 宗福建7切向分量的跃变切向分量的跃变212121012()/fttMttfMttttHHMMBBEE山东大学物理学院 宗福建8矢量形式21212121()0()()()0nEEnHHn DDn BBLORENTZ 力密度公式若电荷连续分布，其密度为，则电荷系统单位体积所承受的力密度 f 为 洛仑兹把这结果推广为普遍情况下场对电荷系统的作用力，因此上式称为
3、洛仑兹力密度公式。 fEJB 9山东大学物理学院 宗福建LORENTZ 力公式对于带电粒子系统来说，若粒子电荷为q，速度为 ，则J J等于单位体积内q 之和。把电磁作用力公式应用到一个粒子上，得到一个带电粒子受电磁场的作用力 这公式称为洛仑兹力公式。qqFEB v10山东大学物理学院 宗福建场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 能量守恒的积分形式是 相应的微分形式为 ,dddVwdVdtSf v.wt Sf v11山东大学物理学院 宗福建电磁场电磁场能量密度和能流密度表示式能量密度和能流密度表示式 ,dddVwdVdtSf v.wtSf v221,11()2
4、wSE BEB00012山东大学物理学院 宗福建本讲主要内容静电场的标势静电势的微分方程静电势的边值关系静电场能量13山东大学物理学院 宗福建静电场的标势静电场的标势 在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为 00EE14山东大学物理学院 宗福建静电场的标势静电场的标势 静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。无旋性的积分形式是电场沿任意闭合回路的环量等于零， 0dEl15山东大学物理学院 宗福建静电场的标势静电场的标势 设C1和C2为由P1点到P2点的任意两条不同路径。C1与C2合成闭合回路，因此 1
5、2121200CCCCCCddddddElElElElElEl16山东大学物理学院 宗福建静电场的标势静电场的标势 因此，电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的功与具体路径无关,只和两端点有关。把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E E对它所作的功为 21PPWdEl17山东大学物理学院 宗福建静电场的标势静电场的标势 这功的定义为P1点和P2点的电势差。若电场对电荷作了正功，则电势 下降。由此， 122121()()PPPPPPdd EEll18山东大学物理学院 宗福建静电场的标势静电场的标势 由定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。 因此，电场强度E
6、E 等于电势 的负梯度 E19山东大学物理学院 宗福建静电场的标势静电场的标势 只有势的差值才有物理意义。在实际计算中，为了方便，常常选取某个参考点，规定其上的电势为零，这样整个空间的电势就单值地确定了。参考点的选取是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷点作为参考点。令 ()=0， 则( )PPdEl20山东大学物理学院 宗福建静电场的标势静电场的标势 已知点电荷Q激发的电场强度为其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向由场点到无穷源点积分，把积分变数写为r，得 34QrrE02( )44rrdrrr00Q1Q21山东大学物理学院 宗福建静电场的标势静电场的标势 由电场的叠加性，多个
7、电荷激发的电势 等于每个电荷激发的电势的代数和。设有一组点电荷Qi ，与场点P的距离为ri ，则这组点电荷激发的电势为 ( )4iiiQPr022山东大学物理学院 宗福建静电场的标势静电场的标势 若电荷连续分布，电荷密度为 ，设r为由源点xx 到场点x x的距离，则场点x x处的电势为 1( )( )4dVr0 xx23山东大学物理学院 宗福建静电场的标势静电场的标势 由上式，假如空间所有电荷分布都给定，电势 就确定 ，因而电场 E E 就完全确定。 但是实际情况往往不是所有电荷分布都能够预先给定的。例如，在某一给定电荷附近放着一个导体，则导体表面上就会产生感应电荷分布，这个电荷分布正是要从电
8、场与电荷相互作用的规律求出来，而不是预先给定的。 24山东大学物理学院 宗福建静电势的微分方程静电势的微分方程真空中Maxwell方程组中，静电场的方程为：引入：则有：00/ EE20 E25山东大学物理学院 宗福建静电势的微分方程静电势的微分方程为自由电荷密度。上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松（Poisson）方程。给定边界条件就可以确定电势 的解。 20 E26山东大学物理学院 宗福建静电势的微分方程静电势的微分方程可以验证，电势 是泊松（Poisson）方程 的一个特解。20 1()( )4dVr。xx27山东大学物理学院 宗福建静电势的微分方程静电势的微分方程在静电问题上中，常
9、常有一些导体存在，由于导体的特殊性质，在导体表面上的边值关系有它的特点。导体内部有自由电子，在电场作用下这些电子就会运动。因此，在静电情况下，导体内部电场必须为零，而且导体表面上的电场亦不能有切向分量，否则电子将沿表面运动。即整个导体必须是一个等电势体。导体内部没有电场的必要条件是导体内部不带电，导体所带电荷只能分布于外表面上。 28山东大学物理学院 宗福建静电势的微分方程静电势的微分方程因此，导体的静电条件归结为：（1）导体内部不带电，电荷只能分布于导体外表面上；（2）导体内部电场为零；（3）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体的电势相等。 29山东大学物理学院 宗福建
10、静电势的微分方程静电势的微分方程设导体表面所带电荷面密度为 ，设它外面的真空电容率为0 ，得导体表面的边界条件 ：0n 常数30山东大学物理学院 宗福建山东大学物理学院 宗福建31标势的边值关系 在两介质界面上，电势必须满足边值关系。我们需要把电场的边值关系化为电势的边值关系。 2121()0()nEEn DD山东大学物理学院 宗福建32标势的边值关系如图所示，考虑介质1和介质2分界面两侧相邻的两点P1和P2 。由于电场强度有限，而P1P2 0，把电荷由P1移至P2所作的功亦趋于零，因此界面两侧的电势相等，即在界面上，电势 是连续的。 山东大学物理学院 宗福建33标势的边值关系另一边值关系式表
11、出为即， 2121nn 122121nn 山东大学物理学院 宗福建34标势的边值关系两绝缘介质之间：两绝缘介质之间：即， 121212nn0山东大学物理学院 宗福建35标势的边值关系两导电介质之间：两导电介质之间：即， 121212nn12nnJJJE山东大学物理学院 宗福建36标势的边值关系金属表面：金属表面：即， 0n 常数山东大学物理学院 宗福建37标势的边值关系带电金属球表面：带电金属球表面：即， 0dsQn 常数山东大学物理学院 宗福建38标势的边值关系一边是导电介质、一边是绝缘介质：一边是导电介质、一边是绝缘介质：即， 121220nn10nJ静电场的能量静电场的能量 由第1章，我
12、们知道，静电场的能量密度为2020201212()()()()()wEWE dVE E EEEEEE39山东大学物理学院 宗福建静电场的能量静电场的能量 由第1章，我们知道，静电场的能量密度为20202001212()1122wEWE dVEWdVdEES40山东大学物理学院 宗福建静电场的能量静电场的能量 面积分遍及无穷远界面。在边界处，电场强度为零。所以：这公式是通过电荷分布和电势表示出来的静电场总能量。注意这公式只有作为静电总能量才有意义，不应该把 看作能量密度，因为我们知道能量分布于电场内，而不仅在电荷分布区域内。 01122WdVdES12WdV41山东大学物理学院 宗福建12静电场
13、的能量静电场的能量 在静电场中之所以能够通过电荷分布来表示电场能量，是因为在这情况下电场决定于电荷分布，因而场的能量就由电荷分布决定。在非恒定情况下，电场和磁场互相激发，其形式就是独立于电荷分布之外的电磁运动，因而场的总能量不可能完全通过电荷或电流分布表示出来。 42山东大学物理学院 宗福建点电荷的势一个静止点电荷Q所激发的电场强度为 : 21414rrrEdrrEe 。QQ43山东大学物理学院 宗福建线电荷的势线电荷所激发的电场强度为 : 其电荷分布不在有限区域内，因此不能选 () = 0。若选 (r0)= 0 ，则有 :12rrEe 。00012ln()2rrrrEdrdrrrr 。44山
14、东大学物理学院 宗福建面电荷的势面电荷所激发的电场强度为 :其电荷分布不在有限区域内，因此不能选 () = 0。若选 z=0 = 0 ，则有 : zEe 。0zEdzz 。45山东大学物理学院 宗福建体电荷的势体电荷所激发的电场强度为 : 343Qa33,()4,()4rarQraaEr 00Qr46山东大学物理学院 宗福建体电荷的势体电荷所激发的电场的势为 : （ra)21414rrrEdrrEe 。QQ47山东大学物理学院 宗福建体电荷的势体电荷所激发的电场的势为 : （ra)3,()4rQrraaEe 021,()4rrarEe 。Q32231441()48arararEdrEdrEdr
15、rdraaaraa00。QQQQ48山东大学物理学院 宗福建体电荷的势体电荷所激发的电场的势为 :2221,()4,()41,()41(),()48rrrarrrarararraaeEe 0300300aaQQQQQ343Qa49山东大学物理学院 宗福建体电荷的势体电荷所激发的电场能量为 :2222220002021,()4,()41() 4() 422424320rraararrrawE dVr drrr drreEe 0303000aaaQQQQQ343Qa50山东大学物理学院 宗福建体电荷的势体电荷所激发的电场能量为 :2222200321,()41(),()48111()4224832
16、0arararraawdVarr draa03003000aaaQQQQQQ43Q343Qa51山东大学物理学院 宗福建例题求带电量Q 、半径为a的导体球的静电场总能量。 52山东大学物理学院 宗福建21()40()rrarraeE 0Q例题因为球内电场为零，故只须对球外积分 222222202042(4)1881112228aWr drrQdrraQWdVdVa 0。QQQ53山东大学物理学院 宗福建例题设电子静止质量的50%来自于静电能，求电子的经典半径。220215201282.8 104eeeeem crermm c54山东大学物理学院 宗福建近年来由高能物理学试验的结果，我们对有强相
17、互作用（核力作用）的粒子（质子、中子等）的电荷分布形状有一定的了解。测定这些粒子电荷分布的均方根半径数量级为1015m。 对这些粒子来说，决定粒子大小的相互作用并不是电磁相互作用，而是强相互作用。 55山东大学物理学院 宗福建对于象电子、子等没有强相互作用的粒子，目前实验还不能定出它们的内部机构。现有实验表明，在直到1019m范围内，电子仍然象是一个点粒子。虽然可以肯定电子内部是有结构的，但是目前实验还未深入到揭示电子内部结构的限度之内。从这些实验事实看出，经典电子半径re根本不能正确反映电子内部结构的限度。 56山东大学物理学院 宗福建虽然经典电动力学不能正确的描述电子的内部结构，但是电磁质量的概念在量子理论中仍然是重要的。在电子质量中，很可能有不小的一部分属于电磁质量。但是在目前量子理论仍然未能计算出电子电磁质量。 57山东大学物理学院 宗福建课下作业教材第教材第7272页页 习题习题14-1514-15补充题：补充题：对静电场，为什么能引入标势，并推导出标势的泊松方程。 58山东大学物理学院 宗福建谢谢！59山东大学物理学院 宗福建
