1、学学1 平方根、算术平方根的概念平方根、算术平方根的概念2 知道正数和知道正数和0的平方根，负数没有平方根。的平方根，负数没有平方根。3 会求正数和会求正数和0的平方根和算术平方根。的平方根和算术平方根。 有理数都是有限小数或无线循环小数，但是在现实生活中，有些数却是无限不循环小数，例如圆周率(=3.141 592 65)就是这样一个数；又如，一个面积为8的正方形的边长也是一个无限不循环小数. 本章我们学习什么是平方根、立方根、无理数、实数等概念，以及如何估计一个有理数的大致范围并求其近似值等. 随着对数的认识的不断深入和发展，人们发现了许多无限不循环小数，这种小数叫作无理数.有理数和无理数统
2、称为实数. 某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8,刚好用去正方形的地垫30块.你能算出每块地垫的边长是多少吗？每块地垫的面积是 . 10.830=0.36()即 =0.36.由于 =0.36.因此面积为0.36的正方形地垫的边长是 m.边长边长0.60.6【分析】【分析】要求每块正方形地垫的边长，先要求出每块地垫的面积. 在实际问题中，有时要找一个数，使它的平方等于给定的数. 如果有一个数如果有一个数r,使得使得r=a，那么我们把，那么我们把r叫作叫作a的一个平方根的一个平方根，也叫作二次方根，也叫作二次方根.由此我们抽象出下述概念：这就是说： 例如，由于2=4，因此2是4的一个平方根.若若r
3、=a，则，则r是是a的一个平方根的一个平方根.4的平方根除了2以外，还有其他的数吗？我是你的平方根很高兴认识你我也是你的平方根！为什么-2也是4的平方根？因为(-2)=4，因此-2也是4的一个平方根.除了2和-2以外，4的平方根还有其他的数吗？ 因为边长大于2的正方形，它的面积一定大于4，所以，比2大的数都不是4的平方根. 同理边长小于2的正方形，它的面积一定小于4，所以，比2小的数都不是4的平方根.由于(-b)=b，因此，-2以外的负数都不是4的平方根.而0显然不是4的平方根.所以，4的平方根有且只有两个：2与-2. 一般地，如果r是整数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r和-r.
4、 我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”；把a的负平方根记作 ，读作“负根号a”.aa 这样，正数a的平方根可以用“ ”来表示，读作“正、负根号a”.a例如，4的平方根是2与-2，即24零的平方根是多少？负数有平方根吗？ 由于0=0，而非零数的平方不等于0，因此零的平方根就是0本身.我们把0的平方根也叫作0的算术平方根，记作 ，即0.00 由于同号两数相乘得正数，且0=0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根.负数有平方根吗？ 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方开平方.【注意】【注意】开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，
5、可以求一个数的平方根.+1-1+2-2+3-3149平方开平方分别求下列各数的平方根：分别求下列各数的平方根：.1.21，92536，解解 由于由于6=36，因此，因此36的平方根是的平方根是 ,即即 .6与-6由于由于 ，因此，因此 的平方根是的平方根是 ,92535292535与35-即即 . 由于由于1.1=1.21，因此，因此1.21的平方根是的平方根是 ,即即 .6363592511211.1与与-1分别求下列各数的算数平方根：.4902516100， 由于10=100，因此 请同学们拿出笔做完其它两道题. 正数的算术平方根只有一个！1.举例说明什么数是无理数？实数包括什么数？ 无限
6、不循环小数称为无理数.如、1.5326、 、 等.实数包括有理数和无理数.3622.一个数的平方等于a，则这个数是 .a的平方根3.正数a的平方根有两个： 和 ，其中算术平方根是 .0的平方根是 .负数 平方根.aaa0没有1.若x=9,则x= ；若x=7,则x= .2.与 相邻的两个整数分别是 和 .8一、填空：3. 11的算术平方根是 ，16的平方根是 .4. 的平方根是 .45. 和 统称为实数.二、判断题(1)的一个平方根；的一个平方根；是是492575(2)的一个算术平方根；的一个算术平方根；是是66(3)；的值是的值是416 (4) ；的平方根的平方根 4-42 1.分别求 的平方
7、根;6.258149 64，2.分别求 的算术平方根;0.166425 81，三、解答题学学1 无理数的概念无理数的概念2 无理数的近似数无理数的近似数3 用计算器求无理数的近似值用计算器求无理数的近似值 如图所示，将一个长为4cm，宽为2的长方形纸片剪拼成一个正方形.最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？沿虚线折叠再沿虚线折叠展开铺平剪开拼图 上面操作中长方形的面积是42=8()，因此正方形的面积也是8.根据正方形边长的平方等于面积，可得正方形的边长是 cm.8 正方形的面积是8，由于2=4, 3=9，又489，且面积较大的正方形的边长也较大，因此面积为8的正方形的边长的取值
8、范围是大于 而小于 ，也就说明正方形的边长不是 数.23整那么那么 是一个什么数呢？请填空：是一个什么数呢？请填空：8观察下列结果：2.8=7.84， 2.9=8.41； 2.82=7.9524， 2.83=8.0089 2.828=7.997 584， 2.829=8.003241； 从上述数据，你能猜出面积为8的正方形的边长为多少吗？面积为8的正方形，它的边长应该比2.828大，比2.829小， 由此猜想，面积为8的正方形，它的边长是一个小数点后面的位数可以不断增加的小数. 事实上，我们可以说明这个边长不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数.我们把无
9、限不循环小数叫作我们把无限不循环小数叫作无理数无理数. 上述分析知道， 是一个无限不循环小数，即 是一个 .88无理数圆周率=3.14159265，也是一个 .无理数23 =1.4142136, =1.7320508 , 都是无理数. 由于正方形的边长的平方等于它的面积，因此面积为8的正方形的边长可以记作 .8 与有理数一样，无理数也有正负之分，例如 ， ，是正无理数， ， ，是负无理数.2 23 32 23 3 根据事实需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个无理数. 例如=3.14159265，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位， ， 得到3.14， 3.142， ，我们称
10、3.14，3.142是的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值. 3.14，3.142， 3.1416， 都是的近似值，称它们为近似数. 利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.用计算器求下列各式的值. ；10241 82(精确到小数点后面第三位).解解 (1)依次按键：1204=显示：32所以 =32.1024 (2)依次按键：8=显示：2.828 427 125所以 2.828.8 .33322 1.用计算器求下列各式的值. ；31361 .1.537622.面积为6的正方形，它的边长是多少？用计算器求边长的近似值(精确到0.001cm).=56.=1.24.4492 63.用计
11、算器分别求 .001058011精确到精确到的近似值的近似值，532；4141. 2；7321. 3；2362. 5；3173. 11.7620 0.58学学1 立方根的概念立方根的概念2 正数、负数、正数、负数、0的立方根的立方根3 会求一个数的立方根会求一个数的立方根 如图3-2，一个正方体的体积为8，它的棱长是多少？图3-2由于2=8，因此体积为 8的正方体，它的棱长是 cm.想: ( ) =822 这个问题其实就是找一个数，使它的立方等于8.可以这样想：什么数的立方等于8.图3-2 在实际问题中，有时要找一个数，使它的立方等于给定的数.由此我们抽象出下列概念：如果一个数b，使得b=a，
12、那么我们把b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根.a的立方根记作 ，读作“立方根号a”或“三次根号a”.3a例如，由于2=8，因此2是8的一个立方根，即. 2 38由于(-2)=-8，因此-2是-8的一个立方根，即. 2 38-求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 开立方与立方也互为逆运算，根据这种这种关系，可以求一个数的立方根.+3-3+5-527-27-125立方开立方125分别求下列各数的立方根：1， ， 0， -0.064.解：解：由于 =1，因此 = .11由于( )= ，因此 = .278278请每位同学独立做完后面两题.13 一般地，在迄今为止我们所认识的 数中，每一个数 个立方根
13、； 一个正数有一个 的立方根，一个负数有一个 的立方根，0的立方根是 .有且只有一正负0利用计算器可以求一个数的立方根.用计算器求下列各数的立方根：343 ，-1.331.解解 按键：334=显示：7所以 =7.3343按键：(-)=显示：-1.1所以 = -1.1.33311. 2ndf2ndf1 .3 3 12ndf键是第二功能键，有切换运算的意思. 实际上，许多有理数的立方根都是无理数，如 ， ，都是无理数，但我们可以用有理数来近似地表示它们.3233解解 按键：2=显示：1.259 921 05所以.260123 2ndf用计算器求 的近似值(精确到0.001).321. 求下列各数的
14、立方根：1， ， -0.125.271252. 用计算器求下列各数的立方根：-1000，216，-3.375.3. 计算器求下列各数的近似值(精确到0.001).333753，4. 判断下列说法是否正确，并说明理由。 (1) 4是64的立方根； (2) 64没有立方根； (3) (5)d的立方根是5； (4) 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.学学1 无理数的概念无理数的概念2 无理数的近似数无理数的近似数3 用计算器求无理数的近似值用计算器求无理数的近似值 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？2 2 ， 0 ，1.414， ， ， ， ，9 932 32 0.101 001 000
15、1(相邻两个1之间逐次增加1个0).0，1.414， ， 是有理数.932 ， ， ，0.1010010001 是无理数.232有理数和无理数统称为有理数和无理数统称为实数实数.这样，我们可以得到：实数有理数无理数整数分数(有限小数或无限循环小数)(无限不循环小数) 在七年级上册我们已经学过：任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？如何用数轴上的点表示无理数 和 ？8 88 8 图3-3-3 -2 -1 0 1 2 3ONM88 图3-4 我们已经知道，一个面积为8的正方形(如图33)的边长是 .因此，我们以数轴的原点O为圆心，以正方形的边长为半径
16、画弧，与正半轴的交点M就表示 ，与负半轴的交点N就表示 ，如图34所示.这样，我们就分别用数轴上唯一的一个点表示出了无理数 和 .88 888 事实上，每一个无理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.因此综上所述可知：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.反过来，还可以说明：数轴上每一个点都表示唯一的一个实数数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.上面两个结论合起来可以简洁地说成：实数和数轴上的点一一对应. 实数分为正实数、零、负实数.与规定有理 数的大小一样，规定正实数都大于0，负实数都小于0.数轴上表示正实数的点在原点右边，表示负实数的点在原点左边
17、. 与有理数一样，如果两个实数只有符号不同，那么其中的一个叫做另一个的相反数，也说它们互为相反数.例如， 和 互为相反数，0的相反数是0.我们把实数a的相反数记作-a22 在数轴上，实数的绝对值意义也与有理数一样：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.例如：.22-22 ，设a表示一个实数，则|a|=a，当a 0时，0，当a =0时，-a，当a 0时.求下列各数的相反数和绝对值：，3 143. 解解 因为3 （ ）-= ， （ ）-= ，.143 所以， 的相反数分别为，3. 143，3 143. 3 143.由绝对值的意义得：3 | |143. = ，3| |1
18、43. = .这节课我们学到了哪些知识？1.( )和( )统称为实数。有理数无理数2.实数和数轴上的点( ).一一对应3.实数可分为( )、零、 ( ).正实数负实数4.实数a有相反数-a.5.实数的绝对值意义与有理数相同.1.把下列各数填入相应的框内：， -3.14，3 1.732，0，10318，3625，7.16 有理数无理数2. 求下列各数的相反数和绝对值：，7 .153 ，2 3.14，3.判断(正确的画“”，错误的画 “”).(1) 任何一个无理数的绝对值都是正数( )； (2) 带根号的数都是无理数( ) ；(3) 实数可以分为正实数和负实数两类( )； 学学1 实数有哪几种运算
19、。实数有哪几种运算。2 有理数的运算性质、顺序等在实数范有理数的运算性质、顺序等在实数范 围内也仍然适用。围内也仍然适用。3 实数运算和求实数的近似值实数运算和求实数的近似值 把数从有理数扩充到实数以后，实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算. 在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等，对于实数仍然成立.【填空】设a，b，c是任意实数，则(1)a+b= (加法交换律);(2) (a+b)+c= (加法结合律);(3) a+0=0+a= ;(4) a+ (-a) =(-a) +a= ;(5)ab= (乘法交换律);(6) (ab)c
20、= (乘法结合律);(7)1a=a1= (乘法交换律); (8)a(b+c)= (乘法对于加法的交换律), (b+c)a= (乘法对于加法的交换律); (9)实数的减法运算规定为a-b=a+ ; (10)对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足ab=ba=1,我们把b叫作a的 ；(11)实数的除法运算(除数b0),规定为ab=a ;(12)实数有一条重要性质：如果a0, b0,那么ab 0. 实数也可以比较大小：对于实数a，b，如果a-b0,则称a大于b(或者b小于a)，记作 ab(或ba)；同样地，如果a-b0,则称a小于b，记作ab.正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小.
21、从而数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大【问题】实数可以比较大小吗？如何比较？【问题】实数可以比较大小吗？如何比较？【问题】你还可以得出实数的哪些性质？【问题】你还可以得出实数的哪些性质？计算下列各式的值： ；5531 .33322 解：解： 5531 553 03 .3 加法结合律 .33322 332 .3 乘法对于加法的分配律用计算器计算：5 2(精确到小数点后面第二位).解解 按键：2=显示：3.162277665精确到小数点后面第二位得：3.16.1635 2 在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.不用计算器， 与2比较那个大？与3比较呢？ 50-1-212325， 可以分别看作是面积为5,4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此52.同样，因为59，所以53.51.计算：.24 553 .52 ;222231 .5553221232.用计算器计算： ；1523 . 531.4142+1.7321=3.1463.1.7100-1=0.7100.7.0248. ;3213.估计 与6的大小。37解：解： ，6=36， 37372 3736，376.
