1、2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知A1，0，1，3，5，Bx|x（x4）0，则AB（）A0，1B1，1，3C0，1，3D1，32（5分）命题“xR，x20”的否定是（）AxR，x20BxR，x20Cx0R，x020Dx0R，x0203（5分）函数f（x）sin2x+3cos2x的最小正周期和最大值分别为（）A和2B和1+3C2和2D2和1+34（5分）若实数x，y满足约束条件x+y3y-x1x0，则z2x+y的最大值为（）A1B3C4D65（5分）已知
2、F1、F2为椭圆：x24+y21的左、右焦点，M为上的点，则MF1F2面积的最大值为（）A3B2C23D46（5分）科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时所释放出的能量，则里氏震级r可定义为r=23lgI+3.2若I1.2104，则相应的震级为（）（已知：lg20.3010，lg30.4771）A5.8B5.9C6.0D6.17（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20B24C28D328（5分）已知AB=DC=（1，3），且AB|AB|+AD|AD|=AC|AC|，则|AC|（）A2B22C23D49（5分）在复平面xOy内，复数z1，z2所对
3、应的点分别为Z1，Z2，给出下列四个式子：z12|z1|2；|z1z2|z1|z2|；OZ12=|OZ12|；|OZ1OZ2|OZ1|OZ1|其中恒成立的个数为（）A1B2C3D410（5分）若无穷等差数列an的首项a10，公差d0，an的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是（）ASn单调递增BSn单调递减CSn有最小值DSn有最大值11（5分）已知直线a、b、l和平面、，a，b，l，且对于以下命题，下列判断正确的是（）若a、b异面，则a、b至少有一个与l相交；若a、b垂直，则a、b至少有一个与l垂直A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C是假命题，是假命题D是真命题，是真命题12（5分
4、）已知定义域为R的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足：f（x）+g（x）2x若存在实数a，使得关于x的不等式（nf（x）a）（g（x）a）0在区间1，2上恒成立，则正整数n的最小值为（）A1B2C3D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知一组数据a，1，3，7的中位数为4，则该组数据的方差为 14（5分）学号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九位同学参加甲、乙两项公益活动，其中甲组四人，乙组五人，则1号同学和9号同学恰好分在同一组的概率为 15（5分）已知抛物线：y22px（p0）的焦点为F，斜率为1的直线l与抛物线相交于A、B两点，若|AF|3，|BF|5
5、，则|AB| 16（5分）已知函数f（x）=1x+|x+a|+b若函数f（x）在（，0）上存在两个不相等的零点，则实数a的取值范围是 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步臻.17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a24，且对任意nN*，都有Sn+12Sn2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=nan，求数列bn的前n项和Tn18（12分）“双减”实施后学生自主学习的时间增加了，某校调查了某年级200名学生每周的自主学习时间（单位：小时），并制成了如图所示的频率分布直方图，其时间的范围是7，12，样本数据分组为7，8），8，9），9，10），10.1
6、1），11，12根据直方图，计算下列问题（1）求a的值及自主学习时间在9，10）内的学生人数；（2）从这200名学生中随机抽取1人，记所抽取学生自主学习时间在8，11）内为事件A，所抽取学生自主学习时间在10，12内为事件B，判断事件4和B是否互相独立，并说明理由19（12分）在三棱锥DABC中，ADCD，ADBC，ACBC，ADCD，ACBC2（1）求三棱锥DABC的体积；（2）求异面直线AC与BD所成角的大小20（12分）已知双曲线：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右顶点分别为A1（1，0）、A2（1，0），离心率为2，过点F（2，0）斜率不为0的直线l与交于P、Q两点（1）求双
7、曲线的渐近线方程；（2）记直线A1P、A2Q的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值21（12分）已知函数f（x）lnx+a（1）若曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线经过点（0，1），求实数a的值；（2）若对任意x（0，+），都有exaf（x）（e为自然对数的底），求证：a122（10分）已知函数f（x）|2x4|+|x2+a|（xR）（1）若a1，求证：f（x）4；（2）若对于任意x1，2，都有f（x）4，求实数a的取值范围2022年中学生标准学术能力高考数学诊断性试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一
8、项是符合题目要求的.1（5分）已知A1，0，1，3，5，Bx|x（x4）0，则AB（）A0，1B1，1，3C0，1，3D1，3【解答】解：A1，0，1，3，5，Bx|x（x4）0x|0x4，AB1，3故选：D2（5分）命题“xR，x20”的否定是（）AxR，x20BxR，x20Cx0R，x020Dx0R，x020【解答】解：根据特称命题的否定为全称命题可知：命题“xR，x20”的否定是“x0R，x020“，故选：C3（5分）函数f（x）sin2x+3cos2x的最小正周期和最大值分别为（）A和2B和1+3C2和2D2和1+3【解答】解：f（x）sin2x+3cos2x2sin（2x+3）的最小
9、正周期T，最大值为2故选：A4（5分）若实数x，y满足约束条件x+y3y-x1x0，则z2x+y的最大值为（）A1B3C4D6【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z2x+y得y2x+z，平移直线y2x+z，由图象知当直线y2x+z，经过点A时，直线y2x+z的截距最大，此时z最大，由x+y=3y-x=1得x=1y=2，即A（1，2），此时z2x+y2+24，即z的最大值为4，故选：C5（5分）已知F1、F2为椭圆：x24+y21的左、右焦点，M为上的点，则MF1F2面积的最大值为（）A3B2C23D4【解答】解：椭圆：x24+y21，可得a2，b1，c=3，可得F1MF2的面积的最大
10、值为S=122cb=12231=3，故选：A6（5分）科学家以里氏震级来度量地震的强度，设I为地震时所释放出的能量，则里氏震级r可定义为r=23lgI+3.2若I1.2104，则相应的震级为（）（已知：lg20.3010，lg30.4771）A5.8B5.9C6.0D6.1【解答】解：当I1.2104时，r=23lgI+3.2=23lg（1.2104）+3.2=23lg（12103）+3.2=23（2lg2+lg3+3）+3.2=23（0.6020+0.4771+3）+3.22.6694+3.25.9；故选：B7（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A20
11、B24C28D32【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是23，在轴截面中圆锥的母线长是12+4=4，圆锥的侧面积是248，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，圆柱表现出来的表面积是22+22420空间组合体的表面积是28，故选：C8（5分）已知AB=DC=（1，3），且AB|AB|+AD|AD|=AC|AC|，则|AC|（）A2B22C23D4【解答】解：如图示：，AB=DC=（1，3），四边形ABCD是平行四边形，又AB|AB|+AD|AD|=AC|AC|，DAB120，且四边形ABCD是菱形，ABC是等边三角形，|AC|
12、AB|=1+3=2，故选：A9（5分）在复平面xOy内，复数z1，z2所对应的点分别为Z1，Z2，给出下列四个式子：z12|z1|2；|z1z2|z1|z2|；OZ12=|OZ12|；|OZ1OZ2|OZ1|OZ1|其中恒成立的个数为（）A1B2C3D4【解答】解：设z1a+bi，z2c+di，（a，b，c，dR），则Z1（a，b），Z2（c，d），OZ1=（a，b），OZ2=（c，d），对于z12a2b22abi，|z1|2a2+b2，故不正确；对于z1z2（acbd）+（bc+ad）i，则|z1z2|2（acbd）2+（bc+ad）2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，|z2|2c2+
13、d2，则|z1|2|z2|2（a2+b2）（c2+d2）a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，则|z1z2|z1|z2|，故正确；对于OZ12=|OZ1|2a2+b2=|OZ1|2，故正确；对于OZ1OZ2=ac+bd，则|OZ1OZ2|=(ac+bd)2，|OZ1|OZ1|=a2+b2c2+d2(ac+bd)2，故错误故选：B10（5分）若无穷等差数列an的首项a10，公差d0，an的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是（）ASn单调递增BSn单调递减CSn有最小值DSn有最大值【解答】解：Snna1+n(n-1)2d=d2n2+(a1-d2)n，d20，Sn有最小值故选：C11（5分
14、）已知直线a、b、l和平面、，a，b，l，且对于以下命题，下列判断正确的是（）若a、b异面，则a、b至少有一个与l相交；若a、b垂直，则a、b至少有一个与l垂直A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C是假命题，是假命题D是真命题，是真命题【解答】解：对于，若a，b都不与交线相交，则只有一种可能，即a，b均平行于交线，若a、b异面，则a、b至少有一个与l相交，故正确；对于，根据面面垂直的性质定理得：若a，b垂直，则，或b，故a、b至少有一个与l垂直，若a、b垂直，则a、b至少有一个与l垂直，故正确故选：D12（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足：f（x）+g（x）2x若存
15、在实数a，使得关于x的不等式（nf（x）a）（g（x）a）0在区间1，2上恒成立，则正整数n的最小值为（）A1B2C3D4【解答】解：由题设，f（x）+g（x）f（x）g（x）2x，又f （x）+g（x）2x，联立可得f（x）2x1+2x1，g（x）2x12x1，又f（x）22x-12-x-1=1，当且仅当x0时等号成立，即f（x）在（，0）上递减，在（0，+）上递增，所以，在1，2上f（x）54，178，而g（x）2x12x1在1，2上递增，故g（x）34，158，若f(x)ang(x)a，则158a5n4且n为正整数，只需n2即可若f(x)ang(x)a，则17n8a34且n为正整数，不成
16、立；综上，正整数n的最小值为2故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知一组数据a，1，3，7的中位数为4，则该组数据的方差为 5【解答】解：由数据a，1，3，7的中位数为4，则a3，若a7，则这组数据的中位数为3+72=5，不符合题意，所以3a7，则这组数据的中位数为3+a2=4，解得a5，这组数据的平均数为1+3+5+74=4，故这组数据的方差为s2=14(1-4)2+（34）2+（54）2+（74）25故答案为：514（5分）学号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九位同学参加甲、乙两项公益活动，其中甲组四人，乙组五人，则1号同学和9号同学恰好分在同一
17、组的概率为 49【解答】解：1号同学和9号同学恰好分在同一组的选法为：C22C72+C22C73=56，甲组四人，乙组五人的分法共有C94=126种，则1号同学和9号同学恰好分在同一组的概率=56126=49，故答案为：4915（5分）已知抛物线：y22px（p0）的焦点为F，斜率为1的直线l与抛物线相交于A、B两点，若|AF|3，|BF|5，则|AB|22【解答】解：作AA，BB分别垂直于准线与A，B点，由抛物线的性质可得|AA|AF|，|BB|BF|，过A作ADBB于D点，则|BD|BB|AA|532，直线AB的斜率为1，则|AB|=2|BD|22，故答案为：2216（5分）已知函数f（x
18、）=1x+|x+a|+b若函数f（x）在（，0）上存在两个不相等的零点，则实数a的取值范围是 （1，+）【解答】解：若f（x）=1x+|x+a|+b在（，0）上有两个不同的零点，即|x+a|=-1x-b在（，0）上存在2个不同的交点，（1）当a0时，如图1，|x+a|=-1x-b仅有1个交点，不满足题意；（2）当a0且a在点P左侧时，如图2，仅有1个交点，不满足题意；（3）当a0且-1x-b在xa处的切线斜k1时，如图3，仅有一个交点，令g（x）=-1x-b，g（x）=1x2，所以当x1时，g（1）1，即a1，求得a1，不满足题意；（4）当a0且-1x-b在xa处的切线斜率k1时，如图4，方程
19、即可能存在2个交点，满足题意，且由（3）知g（1）1，此时a1，即a1；综上可得a的取值范围为（1，+） 故答案为：（1，+）三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步臻.17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a24，且对任意nN*，都有Sn+12Sn2（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=nan，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）因为S22S12，所以a2a12，因为a24，所以a12，当n2时，Sn2Sn12，Sn+12Sn2，两式相减得，an+12an，因为a22a1，所以对任意 nN*，都有an+12an，即数列an为等比数列，首项为2，
20、公比为2，所以an=2n(nN*)（2）由题可得bn=n2n，Tn=12+222+323+n2n，2Tn=1+222+322+n2n-1两式相减得，Tn=1+12+122+12n-1-n2n，所以Tn=1-12n1-12-n2n=2-2+n2n，(nN*)18（12分）“双减”实施后学生自主学习的时间增加了，某校调查了某年级200名学生每周的自主学习时间（单位：小时），并制成了如图所示的频率分布直方图，其时间的范围是7，12，样本数据分组为7，8），8，9），9，10），10.11），11，12根据直方图，计算下列问题（1）求a的值及自主学习时间在9，10）内的学生人数；（2）从这200名学生
21、中随机抽取1人，记所抽取学生自主学习时间在8，11）内为事件A，所抽取学生自主学习时间在10，12内为事件B，判断事件4和B是否互相独立，并说明理由【解答】解：（1）因为组距为1，所以0.4+a+0.15+0.1+0.11，得a0.25，在9，10）的频率为 0.25，所以在9，10）内的人数为0.2520050人；（2）在区间8，11）内的频率为0.15+0.25+0.40.8，所以 P（A）0.8，在区间10，12）内的频率为0.4+0.10.5，所以P（B）0.5，在区间10，11）内的频率为0.4，所以P（AB）0.4，因为P（A）P（B）P（AB），所以事件A与B互相独立19（12分
22、）在三棱锥DABC中，ADCD，ADBC，ACBC，ADCD，ACBC2（1）求三棱锥DABC的体积；（2）求异面直线AC与BD所成角的大小【解答】解：（1）因为ACBC，ADBC，ADACA，AD面ADC，AC面ADC所以BC面ADC所以三棱锥DABC 的体积V=13BCSACD因为ADCD，ADCD，AC2，所以AD=CD=2得V=13BC12ADCD=1321222=23即三棱锥DABC的体积为23（2）取AC中点H，因为ADCD，所以DHAC，由（1）知，BCDH因为BCACC，BC面ABC，AC面ABC所以DH底面ABC，如图，作BE平行且等于AC，所以ACBE是平行四边形，DBE（
23、或其补角） 是异面直线BD和AC所成的角，因为BCAC，所以AEAC，因为AH1，AE2，所以EH=AE2+AH2=22+12=5，同理BH=5因为DHEH，DHBH，DH1，所以DE=DB=6在DEB中，DE=DB=6，BE=2，所以cosDBE=BD2+BE2-DE22BDBE=62+22-62262=66即异面直线AC与BD所成角的余弦值为6620（12分）已知双曲线：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右顶点分别为A1（1，0）、A2（1，0），离心率为2，过点F（2，0）斜率不为0的直线l与交于P、Q两点（1）求双曲线的渐近线方程；（2）记直线A1P、A2Q的斜率分别为k1，k
24、2，求证：k1k2为定值【解答】解：（1）设双曲线的半焦距为c，由题意可知a1，e=ca=2，b2c2a23，在双曲线的方程为x2-y23=1；（2）证明：当直线l的斜率不存在时，点P，Q的坐标分别为（2，3）和（2，3），当k11时，k23，当k11时，k23，此时k1k2=-13，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk（x2），P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线l代入双曲线方程得（k23）x24k2x+4k2+30，所以x1+x2=4k2k2-3，x1x2=4k2+3k2-3，3k1+k2=3y1x1+1+y2x2-1=3k(x1-2)x1+1+k(x2-2)x2-1=k3(x
25、1-2)(x2-1)+(x1+1)(x2-2)(x1+1)(x2-1)=k4x1x2-5(x1+x2)+4(x1+1)(x2-1)，4x1x25（x1+x2）+4=4(4k2+3)-20k2+4(k2-3)k2-3=0，3k1+k20，k1k2=-13，k1k2为定值21（12分）已知函数f（x）lnx+a（1）若曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线经过点（0，1），求实数a的值；（2）若对任意x（0，+），都有exaf（x）（e为自然对数的底），求证：a1【解答】解：（1）f（x）lnx+a，定义域是（0，+），f（x）=1x，f（1）1，f（1）a，故曲线yf（x）在（1，f（1）处的切
26、线方程为：yx+a1，代点（0，1）得：a2；（2）证明：设g（x）exalnxa，则g（x）exa-1x，设g（x0）=ex0-a-1x0=0，则ax0+lnx0，g（x）在（0，+）上单调递增，x（0，x0）时，g（x）0，x（x0，+）时，g（x）0，g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，g（x）ming（x0）=ex0-a-lnx0a=1x0-x02lnx00，h（x）=1x-x2lnx在（0，+）上单调递减，且h（1）0，x01，ax0+lnx0122（10分）已知函数f（x）|2x4|+|x2+a|（xR）（1）若a1，求证：f（x）4；（2）若对于任意x1，2，都有f（x）4，求实数a的取值范围【解答】证明：（1）f（x）|2x4|+|x2+1|x22x+5|，x22x+54，f（x）4（2）当x1，2时，f（x）42x+|x2+a|，f（x）4，x22xax2+2x，设h（x）x22x，g（x）x2+2x，对任意x1，2，都有f（x）4，故h（x）maxag（x）min，在区间1，2上，h（x）maxh（1）3，g（x）ming（2）0，3a0，故实数a的取值范围为3，0第16页（共16页）
