1、2.2用函数模型解决实际问题必备知识必备知识自主学习自主学习1.1.几种常见函数模型几种常见函数模型(1)(1)常见函数模型常见函数模型正比例函数模型正比例函数模型:y=kx(k0);:y=kx(k0);反比例函数模型反比例函数模型:y= (k0);:y= (k0);一次函数模型一次函数模型:y=kx+b(k0);:y=kx+b(k0);二次函数模型二次函数模型:y=ax:y=ax2 2+bx+c(a0);+bx+c(a0);导导思思1.1.如何构建函数模型解决实际问题如何构建函数模型解决实际问题? ?2.2.各种常见函数模型之间有什么区别各种常见函数模型之间有什么区别? ?kx指数函数模型指
2、数函数模型:y=ma:y=max x+b(a0,+b(a0,且且a1,m0);a1,m0);对数函数模型对数函数模型:y=mlog:y=mloga ax+c(m0,a0,x+c(m0,a0,且且a1);a1);幂函数模型幂函数模型:y=kx:y=kxn n+b(k0).+b(k0).(2)(2)本质本质: :许多实际问题许多实际问题, ,一旦认定是函数关系一旦认定是函数关系, ,就可以通过研究函数及其性质就可以通过研究函数及其性质, ,使问题得到解决使问题得到解决. .(3)(3)应用应用: :用来解决实际生活中常见的函数类型问题用来解决实际生活中常见的函数类型问题. .【思考思考】选择函数模
3、型时应注意什么问题选择函数模型时应注意什么问题? ?提示提示: :选择函数模型时选择函数模型时, ,要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合, ,根据根据散点图选取适当的函数模型、通过待定系数法求解析式散点图选取适当的函数模型、通过待定系数法求解析式, ,再通过数据验证再通过数据验证. .2.2.数学建模数学建模(1)(1)定义定义: :用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程, ,叫作数学建模叫作数学建模. .(2)(2)过程过程: :如图所示如图所示. .【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆( (对
4、的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”).”).(1)(1)函数函数y=xy=x2 2比比y=2y=2x x增长的速度更快些增长的速度更快些.(.() )(2)(2)当当a1,n0a1,n0时时, ,在区间在区间(0,+)(0,+)上上, ,对任意的对任意的x,x,总有总有logloga axxxxn naax x成立成立.(.() )(3)(3)函数函数y= y= 衰减的速度越来越慢衰减的速度越来越慢.(.() )12log x提示提示: :(1)(1). .指数函数增长的最快指数函数增长的最快. .(2)(2). .在同一个坐标系中在同一个坐标系中, ,画出三个函数的图象画出三个函数的图
5、象, ,知结论错误知结论错误. .(3).(3).对数函数变化的速度越来越慢对数函数变化的速度越来越慢. .2.2.一辆汽车在某段路上的行驶路程一辆汽车在某段路上的行驶路程s s关于时间关于时间t t变化的图象如图所示变化的图象如图所示, ,那么图象那么图象所对应的函数模型为所对应的函数模型为( () ) A.A.分段函数分段函数B.B.二次函数二次函数C.C.指数函数指数函数D.D.对数函数对数函数【解析解析】选选A.A.由图象知由图象知, ,在不同时段内在不同时段内, ,路程折线图不同路程折线图不同, ,故对应的函数模型为故对应的函数模型为分段函数分段函数. .3.(3.(教材二次开发教材
6、二次开发: :例题改编例题改编) )某人从某人从A A地出发地出发, ,开汽车以开汽车以60 km/h60 km/h的速度的速度, ,经经2 h2 h到到达达B B地地, ,在在B B地停留地停留1 h,1 h,则汽车离开则汽车离开A A地的距离地的距离y(y(单位单位:km):km)是时间是时间t(t(单位单位:h):h)的函的函数数, ,该函数的解析式是该函数的解析式是.【解析解析】当当0t20t2时时,y=60t;,y=60t;当当2t320),m(m0),为了保证鱼群的生长空间为了保证鱼群的生长空间, ,实际养殖量实际养殖量x x小于小于m,m,以便留出适当的空闲量以便留出适当的空闲量
7、. .已知鱼群的年增长量已知鱼群的年增长量y y和实际养殖量与空闲率和实际养殖量与空闲率( (空闲率是空闲量与最大养殖量的比值空闲率是空闲量与最大养殖量的比值) )的乘积成正比的乘积成正比, ,比例系数为比例系数为k(k0).k(k0).(1)(1)写出写出y y关于关于x x的函数关系式的函数关系式, ,并指出该函数的定义域并指出该函数的定义域; ;(2)(2)求鱼群年增长量的最大值求鱼群年增长量的最大值. .【解析解析】(1)(1)根据题意知根据题意知, ,空闲率是空闲率是 , ,故故y y关于关于x x的函数关系式是的函数关系式是y=kxy=kx ,0 xm. ,0 xm.(2)(2)由
8、由(1)(1)知知,y=kx,y=kx =- x =- x2 2+kx= 0 xm,+kx= 0 xm,则当则当x= x= 时时,y,y取得最大值取得最大值,y,ymaxmax= .= .所以鱼群年增长量的最大值为所以鱼群年增长量的最大值为 . .mxmmxmmxmkm2kmmk(x)m24，m2mk4mk4类型二用分段函数模型解决实际问题类型二用分段函数模型解决实际问题( (数学建模数学建模) )【典例典例】国庆期间国庆期间, ,某旅行社组团去风景区旅游某旅行社组团去风景区旅游, ,若旅行团人数在若旅行团人数在3030人或人或3030人以人以下下, ,飞机票价格为飞机票价格为900900元元
9、; ;若旅行团人数多于若旅行团人数多于3030人人, ,则给予优惠则给予优惠: :每多每多1 1人人, ,飞机票飞机票价格就减少价格就减少1010元元, ,直到达到规定人数直到达到规定人数7575人为止人为止. .旅行团乘飞机旅行团乘飞机, ,旅行社需付给航旅行社需付给航空公司包机费空公司包机费15 00015 000元元. .(1)(1)写出飞机票的价格关于人数的函数写出飞机票的价格关于人数的函数; ;(2)(2)旅行团人数为多少时旅行团人数为多少时, ,旅行社可获得最大利润旅行社可获得最大利润? ?【思路导引思路导引】(1)(1)分段函数模型分段函数模型,(0,30,(30,75,(0,3
10、0,(30,75为两个分段区间为两个分段区间; ;(2)(2)利润函数也是两段利润函数也是两段, ,要分别求最大值要分别求最大值. .【解析解析】(1)(1)设旅行团人数为设旅行团人数为x,x,飞机票价格为飞机票价格为y y元元, ,900 0 x30y900 10(x30) 30 x75900 0 x30y1 200 10 x 30 x75.， ，则 ， ， ，即 ， (2)(2)设旅行社获得利润为设旅行社获得利润为S S元元, , 因为因为S=900 x-15 000S=900 x-15 000在区间在区间(0,30(0,30上单调递增上单调递增, ,当当x=30 x=30时时,S,S取最
11、大值取最大值12 000,12 000,又又S=-10(x-60)S=-10(x-60)2 2+21 000+21 000在区间在区间(30,75(30,75上上, ,当当x=60 x=60时时,S,S取最大值取最大值21 000.21 000.故当故当x=60 x=60时时, ,旅行社可获得最大利润旅行社可获得最大利润. .2900 x 15 000 0 x30Sx(1 200 10 x) 15 000 30 x75900 x 15 000 0 x30S10(x60)21 000 30 x75.， ，则 ， ， ，即 ， 【解题策略解题策略】解决分段函数问题的注意点解决分段函数问题的注意点(
12、1)(1)分段函数的分段函数的“段段”一定要分得合理一定要分得合理, ,不重不漏不重不漏; ;(2)(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集; ;(3)(3)分段函数的值域求法分段函数的值域求法: :逐段求函数值的范围逐段求函数值的范围, ,最后比较再下结论最后比较再下结论. .【跟踪训练跟踪训练】已知已知A,BA,B两地相距两地相距150150千米千米, ,某人开汽车以某人开汽车以6060千米千米/ /时的速度从时的速度从A A地到地到B B地地, ,在在B B地停地停留留1 1小时后再以小时后再以5050千米千米/ /时的速度返
13、回时的速度返回A A地地. .(1)(1)把汽车离开把汽车离开A A地的距离地的距离x(x(千米千米) )表示为时间表示为时间t(t(小时小时) )的函数的函数; ;(2)(2)求汽车行驶求汽车行驶5 5小时与小时与A A地的距离地的距离. .【解析解析】(1)(1)汽车以汽车以6060千米千米/ /时的速度从时的速度从A A地到地到B B地需地需2.52.5小时小时, ,这时这时x=60t;x=60t;当当2.5t3.52.5t3.5时时,x=150;,x=150;汽车以汽车以5050千米千米/ /时的速度返回时的速度返回A A地需地需3 3小时小时, ,这时这时x=150-50(t-3.5
14、).x=150-50(t-3.5).所求函数的解析式为所求函数的解析式为x=x= (2)(2)当当t=5t=5时时,x=-50,x=-505+325=75,5+325=75,即汽车行驶即汽车行驶5 5小时离小时离A A地地7575千米千米. .60t 0t2.5150 2.5t3.550t325 3.5t6.5. ，类型三指数类型三指数( (对数对数) )函数模型函数模型( (数学建模数学建模) )【典例典例】20202020年初年初, ,我国暴发新型冠状病毒肺炎疫情我国暴发新型冠状病毒肺炎疫情, ,某校复学后某校复学后, ,对教室用药对教室用药熏消毒法进行消毒熏消毒法进行消毒. .已知药物释
15、放过程中已知药物释放过程中, ,室内每立方米空气中的含药量室内每立方米空气中的含药量y(y(毫克毫克) )与时间与时间t(t(小时小时) )成正比成正比; ;药物释放完毕后药物释放完毕后,y,y与与t t的函数关系式为的函数关系式为y= y= (a(a为常数为常数).).如图所示如图所示, ,根据图中提供的信息根据图中提供的信息, ,回答下列问题回答下列问题: :ta1()16(1)(1)从药物释放从药物释放 , ,求每立方米空气中的含药量求每立方米空气中的含药量y(y(毫克毫克) )与时间与时间t(t(小时小时) )之间的函之间的函数关系式数关系式; ;(2)(2)据测定据测定, ,当空气中
16、每立方米的含药量降低到当空气中每立方米的含药量降低到0.250.25毫克以下时毫克以下时, ,学生方可进教学生方可进教室室, ,那么从药物释放那么从药物释放, ,至少需要经过多少小时后至少需要经过多少小时后, ,学生才能回到教室学生才能回到教室? ?【思路导引思路导引】(1)(1)根据题目、图象提供的数据根据题目、图象提供的数据, ,利用待定系数法求出函数关系式利用待定系数法求出函数关系式; ;(2)(2)根据每立方米的含药量低于根据每立方米的含药量低于0.250.25毫克毫克, ,列出不等式列出不等式, ,求解求解. .【解析解析】(1)(1)设药物释放过程中即设药物释放过程中即t(0,0.
17、1)t(0,0.1)时时,y,y与与t t的函数关系式为的函数关系式为y=kt,y=kt,将将(0.1,1)(0.1,1)代入代入y=kt,y=kt,得得1=0.1k,1=0.1k,所以所以k=10,y=10t.k=10,y=10t.t0.1,+)t0.1,+)时时, ,将将(0.1,1)(0.1,1)代入代入y= ,y= ,得得 =1,a= .=1,a= .故所求函数关系式为故所求函数关系式为:y= :y= ta1()161a101()161101t1010t,t0,0.1 ,1(),t0.1,).16(2)(2)由由(1)(1)知知,y,y在在0.1,+)0.1,+)上单调递减上单调递减.
18、 .令令 0.25= , ,t- ,所以所以t .t .即即 小时也就是小时也就是3636分钟后分钟后, ,学生才能回到教室学生才能回到教室. .1t101()16121()16110123535【解题策略解题策略】1.1.在实际问题中在实际问题中, ,常常遇到有关平均增长率的问题常常遇到有关平均增长率的问题, ,如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为N,N,平均增长率为平均增长率为p,p,则对于时间则对于时间x x的总产值或总产量的总产值或总产量y,y,可以用下面的公式可以用下面的公式y=N(1+p)y=N(1+p)x x表示表示. .解决平均增长率的问题解决平均增长率的问题, ,要用
19、到这个函数式要用到这个函数式. .2.2.对数函数模型可设为对数函数模型可设为y=klogy=kloga ax+b.x+b.利用条件确定系数利用条件确定系数, ,对数函数模型解题的关对数函数模型解题的关键是对数运算键是对数运算. .【跟踪训练跟踪训练】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬, ,研究燕子的科学家发现研究燕子的科学家发现, ,燕子的飞行燕子的飞行速度可以表示为函数速度可以表示为函数v=5logv=5log2 2 ( (单位单位:m/s),:m/s),其中其中Q Q表示燕子的耗氧量表示燕子的耗氧量. .(1)(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位求燕子
20、静止时的耗氧量是多少个单位; ;(2)(2)当一只燕子的耗氧量是当一只燕子的耗氧量是8080个单位时个单位时, ,它的飞行速度是多少它的飞行速度是多少? ?Q10【解析解析】(1)(1)由题知由题知, ,当燕子静止时当燕子静止时, ,它的速度它的速度v=0,v=0,代入题中给出的函数关系式代入题中给出的函数关系式, ,可得可得0=5log0=5log2 2 , ,解得解得Q=10.Q=10.即燕子静止时的耗氧量是即燕子静止时的耗氧量是1010个单位个单位. .(2)(2)将耗氧量将耗氧量Q=80Q=80代入题中给出的函数关系式代入题中给出的函数关系式, ,得得v=5logv=5log2 2 =
21、5log =5log2 28=15.8=15.即当一只燕子的耗氧量是即当一只燕子的耗氧量是8080个单位时个单位时, ,它的飞行速度为它的飞行速度为15 m/s.15 m/s.Q108010课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.已知变量已知变量y=1+2x,y=1+2x,当当x x减少减少1 1个单位时个单位时,y,y的变化情况是的变化情况是( () )A.yA.y减少减少1 1个单位个单位B.yB.y增加增加1 1个单位个单位C.yC.y减少减少2 2个单位个单位D.yD.y增加增加2 2个单位个单位【解析解析】选选C.C.结合函数结合函数y=1+2xy=1+2x的变化特征可知的变化特征可
22、知C C正确正确. .2.2.下列函数中下列函数中, ,增长速度最快的是增长速度最快的是( () )A.y=2 021A.y=2 021x xB.y=xB.y=x2 0212 021C.y=logC.y=log2 0212 021x xD.y=2 021xD.y=2 021x【解析解析】选选A.A.指数函数指数函数y=ay=ax x, ,在在a1a1时呈爆炸式增长时呈爆炸式增长, ,并且随并且随a a值的增大值的增大, ,增长速度增长速度越快越快. .3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )某商场以每件某商场以每件3030元的价格购进一种商品元的价格购进一种商品, ,试
23、销中发试销中发现现, ,这种商品每天的销量这种商品每天的销量m(m(件件) )与售价与售价x(x(元元/ /件件) )之间的关系满足一次函数之间的关系满足一次函数:m= :m= 162-3x.162-3x.若要使每天获得最大的销售利润若要使每天获得最大的销售利润, ,则该商品的售价应定为则该商品的售价应定为 ( () )A.40A.40元元/ /件件B.42B.42元元/ /件件C.54C.54元元/ /件件D.60D.60元元/ /件件【解析解析】选选B.B.设每天获得的销售利润为设每天获得的销售利润为y y元元, ,则则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)y=(x-30)(1
24、62-3x)=-3(x-42)2 2+ + 432(30 x54,xN),432(30 x54,xN),所以当所以当x=42x=42时时, ,获得的销售利润最大获得的销售利润最大, ,故该商品的售价应故该商品的售价应定为定为4242元元/ /件件. .4.4.如图如图, ,一动点一动点P P从边长为从边长为1 1的正方形的正方形ABCDABCD的顶点的顶点A A出发出发, ,沿正方形的边界逆时针沿正方形的边界逆时针运动一周运动一周, ,再回到点再回到点A.A.若点若点P P经过的路程为经过的路程为x,x,点点P P到顶点到顶点A A的距离为的距离为y,y,则则y y关于关于x x的的函数关系式
25、是函数关系式是.【解析解析】当当0 x10 x1时时,AP=x,AP=x,也就是也就是y=x.y=x.当当1x21x2时时,AB=1,AB+BP=x,BP=x-1,AB=1,AB+BP=x,BP=x-1,根据勾股定理根据勾股定理, ,得得APAP2 2=AB=AB2 2+BP+BP2 2, ,所以所以y=AP= y=AP= 当当2x32x3时时,AD=1,DP=3-x,AD=1,DP=3-x,根据勾股定理根据勾股定理, ,得得APAP2 2=AD=AD2 2+DP+DP2 2, ,所以所以y=AP= y=AP= 221x 1x2x2.（ ） 2213xx6x 10.（ ） 当当3x43x4时时, ,有有y=AP=4-x.y=AP=4-x.所以所求的函数关系式为所以所求的函数关系式为 答案答案: : 22x 0 x1x2x21x2yx6x 10 2x34x 3x4.， ， ， ，22x 0 x1x2x21x2yx6x 10 2x34x 3x4， ， ， ，
