1、人教人教2019 A版版 选择性必修选择性必修 一一2.3.1 两直线的交点坐标 第二章直线和圆的方程学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。情境导学1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则
2、点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组2. 探究新知两条直线的交点点睛：点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是()A.(1,2) B.(4,1) C.(3,2) D.(2,1)答案:B 小试牛刀典例解析归纳总结跟踪训练了例2.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4
3、x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.典例解析思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.跟踪训练2 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限, 则a的取值范围是.例3 (1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程; (2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出,即得所求直线方程.典例解析解:(1)设所求直线方
4、程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0. 点P(1,0)在直线上, 1-2+(3+2)=0. 利用直线系方程求直线的方程 经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.归纳总结跟踪训练3 已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为()A.2x+y=0B.2x-y
5、=0C.x+2y=0D.x-2y=0(方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-)=0,=8,直线l的方程为2x-y=0.答案:B 跟踪训练例4 光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.思路分析:求点A关于直线l的对称点A求反射光线所在直线的方程求入射光线与反射光线的交点坐标求入射光线所在的直线方程典例解析点关于直线的对称点的求法 归纳总结跟踪训练4 直线y=2x是ABC的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别 为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标.解:把
6、A,B两点坐标代入y=2x知,A、B不在直线y=2x上,因此y=2x为角C的平分线,设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为A(a,b),则跟踪训练金题典例 过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰 好为线段AB的中点,求此直线的方程.解:分析一:设出直线的方程,求出交点的坐标,再用中点坐标公式.解法一:若直线斜率不存在,则方程为x=3.金题典例k=8.所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.分析二:设出A(x1,y1),由P(3,0)为AB的中点,易求出B的坐标,而点B在另一直线上,从而求出x1、y1的值,再由两点式求直线的方程.解
7、法二:设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-x1,-y1).点A,B分别在已知两直线上,分析三:由于P(3,0)为线段AB的中点,可对称地将A,B坐标设为(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程.点睛:解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累,以上三种解法各有特点,要善于总结,学习其简捷解法,以提高解题速度.解法三:P(3,0)为线段AB的中点,可设A(3+a,b),B(3-a,-b).点A,B分别在已知直线上,1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是()A.(-9,-10)B.(-9,10)C.(9,10) D.(9,-10
8、)答案:B 当堂检测2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为()A.-24 B.24 C.6 D. 6答案:A 3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1l2,则点P的坐标为.解析:直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1l2,a1+1(a-2)=0,解得a=1,答案:(3,3) 4.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点. 证明:将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).课堂小结人教人教B版必修第三册版必修第三册
