1、高三数学一模试卷高三数学一模试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A0 B0，1 C1，2 D0，1，2 2若复数满足，则（ ） A B C D 3设 x，则“且”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4若非零向量，满足，则向量与的夹角为（ ） A B C D 5已知点 F 为抛物线的焦点，点 P 在抛物线上且横坐标为 8，O 为坐标原点，若OFP的面积为，则该抛物线的准线方程为（ ） A B C D 6如图，三棱锥 VABC 中，VA底面 ABC，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B C D 7“碳中和”是指企业、
2、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”某“碳中和”研究中心计划派 5 名专家分别到 A，B，C 三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻 1 名专家，则分派方法的种数为（ ） A90 B150 C180 D300 8过直线上一点 P 作圆 M：的两条切线，切点分别为 A，B，若使得四边形 PAMB 的面积为的点 P 有两个，则实数 m 的取值范围为（ ） A B C或 D或 二、多选题二、多选题 9将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A B是图象的
3、一个对称中心 C当时，取得最大值 D函数在区间上单调递增 10甲罐中有 3 个红球、2 个黑球，乙罐中有 2 个红球、2 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以 A 表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ） A B C D 11如图，正三棱柱中，底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形，D 为 BC 中点，则（ ） A直线平面 B点到平面的距离为 C异面直线与所成角的余弦值为 D设 P，Q 分别在线段，上，且，则 PQ 的最小值为 12已知双曲线 C：，为 C 的左、右焦点，则（ ） A双曲线和 C 的离心率相等 B若 P
4、 为 C 上一点，且，则的周长为 C若直线与 C 没有公共点，则或 D在 C 的左、右两支上分别存在点 M，N 使得 三、填空题三、填空题 13若，则的值为 14若的展开式中项的系数为160，则正整数 n 的值为 15已知为 R 上的奇函数，且，当时，则的值为 16在空间直角坐标系 Oxyz 中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面比如方程表示球面，就是一种常见的二次曲面二次曲而在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛已知点 P(x，y，z)是二次曲面上的任意一点，且，则当取得最小值时，的最大值为 四、解答题四、解答题 172022 年 2 月 4 日至 20 日，第 24 届冬季奥林匹克运动会
5、在北京成功举办这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，折射出我国更加坚实的文化自信，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟） ，并根据样本数据绘制得到下图所示的频率分布直方图 （1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计样本数据的 85%分位数； （2）采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在200，280的学生中抽取 6 人若从这 6 人中随机抽取 3 人在全校交流观看体会，设抽取的 3 人中观费时长在200，240）的人数为X，求 X 的分布列和数学
6、期望 18已知等差数列的前 n 项和为， （1）求的通项公式； （2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个 1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前 n 项和为，求的值 19如图，四边形 ABCD 中， （1）若，求ABC的面积； （2）若，求ACB的值 20如图，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 为矩形，E 为 CD 的中点，且VBC为等边三角形 （1）若 VBAE，求证：AEVE； （2）若二面角 ABCV 的大小为，求直线 AV 与平面 VCD 所成角的正弦值 21已知椭圆 C：的离心率为，依次连接 C 四个顶点所得菱形的面积为4 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2
7、）若 A（2，0） ，直线 l：与 C 交于 两点，且 APAQ，试判断直线 l 是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，说明理由 22已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当，求 a 的取值范围； （3）证明： 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】因为， 所以 。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出集合 A，再利用交集和补集的运算法则，从而求出 集合 。 【解析】【解答】由， 所以 。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数 z,再利用复数与共轭复数的关系，从而得出复数 z 的共轭复数。 【解析】【解答】由且，可得， 当
8、 ， 时，满足 ，但不满足 且 ， 则“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件。 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 且”是“”的充分不必要条件。 【解析】【解答】由，可得， 则 ，则 ， 又因为 ，则 。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合数量积为 0 两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，再结合两向量的夹角的取值范围，进而得出两向量 与的夹角。 【解析】【解答】抛物线的焦点， 由 ，可得 ，不妨令 ， 则 ，解之得 , 则抛物线方程为 ，其准线方程为 。 故答案为：B 【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点 F 的坐标，再利用点
9、 P 在抛物线上且横坐标为 8 结合代入法得出点 P 的纵坐标，进而得出点 P 的坐标，再结合三角形的面积公式和已知条件得出 p 的值，从而求出抛物线的标准方程，再结合抛物线的 标准方程确定准线的位置，进而得出抛物线的准线方程。 【解析】【解答】因为 VA底面 ABC，底面 ABC，所以， 又因为 ，所以 ，而 ， 所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中，共顶点的长、宽、高， 因此该三棱锥外接球的半径 ，设该三棱锥的内切球的半径为 ， 因为 ，所以 ， 因为 ， ，所以 ， 由三棱锥的体积公式可得： ， 所以 。 故答案为：C 【分析】利用准线 VA底面 ABC 结合线面垂直的定义证出
10、线线垂直，所以 ，再利用，所以，再利用，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中，共顶点的长、宽、高，再结合勾股定理得出该三棱锥外接球的半径，设该三棱锥的内切球的半径为 ，再利用结合勾股定理得出 BC 的长，再利用，结合勾股定理得出 VB 的长，由三棱锥的体积公式可得该三棱锥的内切球和外接球的半径之比。 【解析】【解答】根据题意有两种方式： 第一种方式，有一个地方去 3 个专家，剩下的 2 个专家各去一个地方， 共有 种方法， 第二种方式，有一个地方去 1 个专家，另二个地方各去 2 个专家， 共有 ， 所以分派方法的种数为 。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公
11、式，再结合分类加法计数原理得出分派方法的种数。 【解析】【解答】由圆 M：可知，圆心，半径为 1， ， 四边形 PAMB 的面积为 ， ， 要使四边形 PAMB 的面积为 的点 P 有两个， 则 ， 解得 。 故答案为：A. 【分析】由圆 M 的标准方程求出圆心坐标和半径长，进而得出 的值，再利用三角形的面积公式结合求和法得出四边形 PAMB 的面积，再结合勾股定理得出的值，要使四边形 PAMB的面积为的点 P 有两个，再结合点到直线的距离公式得出实数 m 的取值范围。 【解析】【解答】A：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数.判断错误； B： ， 则 是 图象的一个对称中心.判断正确； C
12、： ， 当 时， 取得最小值.判断错误； D：由 ，可得 则函数 在区间 上单调递增.判断正确. 故答案为：BD 【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图像变换得出函数 f(x)的解析式，再利用余弦型函数的图像判断出余弦型函数的对称性，进而得出余弦型函数的一个对称中心，再利用余弦型函数的图像求出余弦型函数的最值，再利用余弦型函数的图像判断出余弦型函数在区间 上的单调性，从而找出正确的选项。 【解析】【解答】因为甲罐中有 3 个红球、2 个黑球，所以，故答案为：项 A 符合题意； 因为 ，所以 C 符合题意； 因为 ，所以 ，因此 D 符合题意； 因为 ，所以 B 不正确。 故答案为：ACD 【分
13、析】利用已知条件结合古典概型求概率公式得出事件 A 的概率，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式得出事件 B 的概率，再结合条件概率公式得出 和的值，进而找出正确的选项。 【解析】【解答】在正三棱柱中，为的中点，所以， 如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ，因为 ，即 ，又 平面 ，所以 平面 ，A 符合题意； 因为 ，所以 ，则点 到平面 的距离为 ，B 符合题意； 因为 ， ，设直线 与 所成角为 ，则 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，C 不符合题意； 设 ，则 、 ，因为 ， ，所
14、以 ， ，则 ， ，所以 ，所以当 时 有最小值，所以 ，所以 ，D 符合题意； 故答案为：ABD 【分析】在正三棱柱 中，为的中点，再结合等边三角形三线合一得出，再利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积为 0 两向量垂直的等价关系，得出平面的法向量与向量垂直，进而推出直线平面，再利用数量积求出点到平面的距离，再利用数量积求向量夹角公式得出异面直线与所成角的余弦值，再利用已知条件和向量共线的坐标表示以及两点距离公式得出，再结合二次函数的图像求最值的方法得出 PQ 的最小值，进而找出正确的选项。 【解析】【解答】A：双曲线 C：的离心率
15、 双曲线 的离心率 则双曲线 和 C 的离心率不一定相等.判断错误； B：P 为 C： 上一点，且 则有 ，整理得 则 的周长为 .判断正确； C：由 ，可得 由题意可知，方程 无解 当 时，方程 有解； 当 时，则有 ，解之得 或 故若直线 与 C 没有公共点，则 或 .判断正确； D：根据题意，过双曲线 C 的左焦点 的直线 方程可设为 令 ，由 ，可得 由 ，可得 则有 ，则有 ， 整理得 ，显然不成立. 当过双曲线 C 的左焦点 的直线 为水平直线时，方程为 则 ， ，即 . 综上可知，不存在分别在 C 的左、右两支上 M，N 使得 .判断错误. 故答案为：BC 【分析】利用已知条件结
16、合双曲线的离心率公式得出双曲线 和 C 的离心率不一定相等，再结合已知条件和三角形的周长公式和线线垂直的位置关系得出三角形的周长，再利用直线与双曲线的位置关系，即直线与 C 没有公共点，得出实数 t 的取值范围，根据题意，过双曲线 C 的左焦点的直线方程可设为，令，由结合向量共线的坐标表示得出，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，整理得，显然不成立，当过双曲线 C 的左焦点的直线为水平直线时，方程为，进而得出点 M,N 的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用向量共线定理得出，得出不存在分别在 C 的左、右两支上 M，N 使得，进而找出正确的选项。 【解析】【解答】
17、由， 可得 ， 则 ， 。 故答案为： 。 【分析】利用已知条件结合两角和的余弦公式和同角三角函数基本关系式得出 的值，再利用二倍角的正切公式得出的值 。 【解析】【解答】二项式的通项公式为：， 令 ，所以 ， 令 ，所以 ， ，或 ，因为 ， 所以方程 无实数根，故 ，即 。 故答案为：6。 【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出 的展开式中项的系数，进而结合判别式法得出正整数 n 的值。 【解析】【解答】由题设，故，即的周期为 2， 所以 ，且 ， 所以 。 故答案为： 。 【分析】利用已知条件结合周期函数的定义，从而得出函数 的周期，再利用函数的周期
18、性结合对数的运算法则和对数函数的单调性，得出函数的值。 【解析】【解答】由题设，故，当且仅当时等号成立，所以，此时， 令 ，则 ，故 ， 所以，当 时 ，当 时 ，即 在 上递增，在 上递减. 故 ，且 时等号成立， 综上所述， 的最大值为 。 故答案为： 。 【分析】由题设结合均值不等式求最值的方法得出 的最小值，此时，令，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出的最大值。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于 1，得出 a 的值，再结合频率分布直方图估计出样本数据的 85%分位数。 （2）
19、 由题意结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，得出观看时长200,240)、240,280对应的频率，再利用分层随机抽样的方式得出两个区间中应分别抽取的人数，从而得出抽取的 3 人中现看时长在200,240)中的人数 X 的所有可能取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量 X 的分布列，再利用随机变量 X 的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量 X 的数学期望。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前 n 项和公式得出等差数列的首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。 （2）利用 与之间插入个 1，再结
20、合分组求和的方法和等比数列前 n 项和公式得出在中对应的项数为，再利用分类讨论的方法得出，且，再利用分组求和的方法得出数列的前 100 项的和。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合余弦定理得出角 B 的余弦值，再结合三角形中角 B 的取值范围，进而得出角 B 的值，再利用三角形的面积公式得出三角形ABC的面积。 （2） 设 ，从而得出，的值，在ACD中结合正弦定理得出，在ABC中结合正弦定理得出，联立上式，并由整理得的值，再利用，得出的取值范围，进而得出的值，从而得出ACB的值。 【解析】【分析】 （1）利用点 E 为 CD 的中点，所以，所以三角形ADE为等腰直角三角形，所以，同理，所
21、以 AEBE，再利用 VBAE结合线线垂直证出线面垂直，所以 AE面 VBE，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 AEVE。 （2） 取 BC 中点 O，AD 中点 G、连接 OG，VO，则 OGBC，再利用三角形VBC为等边三角形结合等边三角形三线合一，所以 VOBC，所以GOV为二面角 ABCV 的平面角，进而得出 ，以，方向分别作为 x，y 轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出 直线 AV 与平面 VCD 所成角的正弦值 。 【解析】【分析】 （1） 由已知条件结合椭圆的离心率公式得
22、出 a,c 的关系式，再结合依次连接 C 四个顶点所得菱形的面积为 4 结合菱形的面积公式得出 ab 的关系式，再结合椭圆中 a,b,c 三者的关系式得出 a,b,c 的值，进而得出椭圆 C 的标准方程。 （2） 设 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出，再结合韦达定理得出，再利用 APAQ结合两向量垂直数量积为 0 的等价关系得出，再结合数量积的坐标表示和代入法得出，再结合韦达定理和得出，进而得出 m 与k 的关系式，再结合分类讨论的方法结合代入法得出直线 l 的方程，再利用直线的点斜式方程得出直线 l 恒过定点，进而得出定点坐标。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。 （2） 由（1）知，当 时，在1，）单调递减，再利用函数的单调性，进而得出函数的最大值，进而得出此时的值，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再结合函数求极限的方法和零点存在性定理得出实数 a 的取值范围。 （3） 由（2）知，当 时，对，有，当时，得出，令，得出，再利用放缩法和求和法证出不等式成立。
