1、 高三下学期数学第一次联考试卷高三下学期数学第一次联考试卷 一、单选题一、单选题 1设 i 是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则 a 的值为（ ） A1 B-1 C2 D-2 2已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ） A B C D 3已知双曲线的一条渐近线为 ，若双曲线的右焦点到 的距离是其右顶点到 的距离的两倍，则该双曲线的离心率是（ ） A B2 C D 4已知随机变量 X，Y 分别满足，XB（8，p） ，YN（，） ，且期望 E（X）=E（Y） ，又 P（Y3）=，则 p=（ ） A B C D 5如图，连接ABC的各边中点得到一个新的A1B1C1，又连接A1B1C1各边中点得到一个新
2、的A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，A1B1C1，A2B2C2，这一系列所有三角形的面积和趋向于一个常数.已知 A（0，0） ，B（5，0） ，C（1，3） ，则这个常数是（ ） A B5 C10 D15 6如图，已知长方体，以 D 为坐标原点，的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则，又分别是棱，的中点，那么三棱锥的体积为（ ） A4 B6 C8 D12 7函数（）的图象向左平移个单位后关于直线对称，则函数在区间上的最小值为（ ） A B C D 8若关于 x 的不等式的解集是，则（ ） A B C D 二、多选题二、多选题 9已知，则下列结论正确的
3、是（ ） A若，则 B若，则 C若，则 D若，则的夹角为 10已知（） ，则下列结论正确的是（ ） A B当时，n=5 C若（）的展开式中第 7 项的二项式系数最大，则 n 等于 12 或 13 D当 n=4 时， 11已知函数，其中为实数，则（ ） A函数有两个不同零点 0 和； B若对于任意两个不同的实数都有，则； C若在0，1上单调递增，则或； D若有三个不同的实数根，则. 12如图，E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 各边上的点（不与各边的端点重合） ，且AE:EB=AH:HD=m，CF:FB=CG:GD=n，ACBD，AC=4，BD=6.则下列结论正确的是（ ） AE，F，G
4、，H 一定共面 B若直线 EF 与 GH 有交点，则交点一定在直线 AC 上 CAC平面 EFGH D当 m=n 时，四边形 EFGH 的面积有最大值 6 三、填空题三、填空题 13 . 14一个盒子里装有除颜色外完全相同的 6 个小球，盒子中有编号分别为 1、2、3、4 的红球 4 个，编号分别为 4、5 的白球 2 个，从盒子中任取 3 个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）.则在取出的 3 个小球中，小球编号最大值为 4 的概率是 . 15函数（a0，b0，a1，b1）是偶函数，则、与三者间的大小关系是 . 16已知 A、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点，且满足
5、PBA=2PAB，则 . 四、解答四、解答题题 17某大型商场为了了解客户对于在其商场销售的某品牌电视机的五种型号的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 某品牌电视机型号 65E3F 65E3G 65E5G 65E7G 65E8G 回访客户（人数） 700 150 200 600 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 满意率是指：某品牌电视机型号的回访客户中，满意人数与总人数的比值假设客户是否满意互相独立，且每种型号电视机客户对于此型号电视机满意的概率与表格中该电视机型号的满意率相等. （1）从所有的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率； （2）
6、从 65E3F 型号、65E3G 型号电视机的所有客户中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为X，求 X 的分布列和期望. 18已知数列的每一项都为正数，它的前 n 项和为，且，（）成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）求并证明：. 19已知平面四边形. （1）若，求边的长； （2）当且时，求. 20在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，O 为 AD 的中点，DC/AB，DCAD，PA=PD，PO=AB=2DC，BC=CD， （1）求证：平面 PBC平面 POC； （2）求平面 PAB 与平面 PCB 所成角的余弦值. 21已知 O 为坐标原点，抛物线 E：（p0） ，
7、过点 C（0，2）作直线 l 交抛物线 E 于点A、B（其中点 A 在第一象限） ，且（0）. （1）求抛物线 E 的方程； （2）当=2 时，过点 A、B 的圆与抛物线 E 在点 A 处有共同的切线，求该圆的方程 22已知函数，其中 a，b 是实数且. （1）当时，讨论函数在（0，）上的极值情况； （2）若函数对一切恒成立，求的最小值. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】，复数 z 是纯虚数，则，所以， 故答案为：C. 【分析】 利用复数运算法则化简，再根据纯虚数得到等量关系，求出 a 的值. 【解析】【解答】， 且 ，解得： ，即 的取值范围为 . 故答案为：D. 【分析】由集合包
8、含关系可直接构造不等式组求得 的取值范围。 【解析】【解答】由题意知：， ，解得： ， 双曲线的离心率 . 故答案为：B. 【分析】分别表示出右焦点 F 到 的距离和右顶点 A 到 的距离，进而可得 a, c 的关系，即可求得离心率. 【解析】【解答】且，知，所以， 又 ，所以 . 故答案为：D 【分析】 利用已知条件列出方程求解 p 即可. 【解析】【解答】依题的面积依次构成一个无穷等比教列， 首项为 的面积 ，公比为 ，前 n 个三角形的面积和为 ， 当 n 趋向于无穷大时，前 n 个三角形的面积和趋向于常数 10. 故答案为：C. 【分析】先判断出 的面积依次构成一个无穷等比教列，求出三
9、角形的面积的和即可得到面积和趋向于常数 10。 【解析】【解答】由题意，长方体，且， 可得长方体 的棱长分别为 ， 所以三棱锥 的体积 . 故答案为：D. 【分析】根据题意求得长方体的棱长分别为 ，结合椎体的体积公式，即可求解。 【解析】【解答】函数的图象向左平移个单位后的图象表达式为 y，该函数的图象关于直线对称， 所以 ，又 所以， ， 所以 . 当 时， ， 所以当 ，即 时， 的最小值为 . 故答案为：A 【分析】根据函数 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数 f (x)在 上的最小值. 【解析】【解答】由不等式的
10、解集是，即方程的两个根为和， 所以 ，解得 ， ， 又由 ，则由 ，即 ， 所以必有 ， 对于 A 中， 且 ，所以 ，所以 A 不符合题意； 对于 B 中，当 时，得到 ，所以 B 不符合题意； 对于 C 中，当 时， ，又由 ，所以 C 不符合题意； 对于 D 中，当 时，可得 ， 又由 ，所以 D 符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据题意，分析可得方程 的两个根为和 ，可得，联立两式，用 a 表示 b、c，进而分析可得 a 0, 依次分析各个选项，综合可得答案. 【解析】【解答】若，则，解得，所以 A 不符合题意； 若 ，则 ，解得 ，所以 B 符合题意； 若 ，则 ，解得 或 ，所
11、以 C 不符合题意； 若 ，则 ， 设向量 与 的夹角为 ，可得 ， 因为 ，所以 ，所以 D 符合题意. 故答案为：BD 【分析】根据共线向量与向量垂直的坐标表示，以及向量的夹角公式，逐项进行判断，可得答案。 【解析】【解答】，A 符合题意； 的系数 ，则 ，所以 ，B 符合题意； 若 的展开式中第 7 项的二项式系数最大，当 n 为偶数，则 n 等于 12，当 n 为奇数，则 n 等于 11 或 13，C 不符合题意； 当 时， ， 令 ，则 ，又 ， 所以 ，D 符合题意. 故答案为：ABD 【分析】对于 A，由二项式展开式的系数的性质判断即可；对于 B,由题意可得 ，从而可求出 n 的
12、值；对于 C，利用二项式展开式的系数的性质判断即可；对于 D，当 n= 4 时，将代入结合可求得的值。 【解析】【解答】对于 A 中，当时，只有一个零点，所以 A 不符合题意； 对于 B 中，若 恒成立，则 在定义域 上是单调递增函数， 由函数 ，要使得函数 为单调递增函数， 当 时，要使得 在 上为增函数，则满足 ，解得 ， 当 时，要使得 在 上为增函数，则满足 ，解得 ， 所以要使得函数 为单调递增函数，则 ，所以 B 符合题意； 对于 C 中，当 时， 在 上单调递增，所以 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 所以 时， 单调递增； 当 时， 在 和 上单
13、调递增，在 上单调递减， 若 在 上单调递增，则 ，所以 ， 综上，若 在 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ，所以 C 符合题意； 对于 D 中，当 时， 在 上单调递增，方程 只有一个实根，不符合题意； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 要使得 有三个不同的实根，则满足 ，因为 ，所以不成立，舍去； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 要使得 有三个不同的实根，则满足 ，即 ，解得 ， 即若 有三个不同的实数根，则 ，所以 D 符合题意. 故答案为：BCD. 【分析】由 时，只有一个零点，可判断 A 选项的正误；结合分段函数和二次函数的单调性，分类讨论，可判断
14、 B 选项的正误；分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，可判断 C 选项的正误；由函数图像与性质，结合，分类讨论，可判定 D 选项的正误。 【解析】【解答】因为，则，又，则. 所以 ，即 四点共面，A 符合题意； 因为 ，所以 ，同理 . 当 时 又 ，此时四边形 EFGH 为梯形，即直线 EF 与 GH 有交点， 交点在面 ABC 内，又在面 ADC 内，而面 面 ， 所以直线 EF 与 GH 的交点在直线 AC 上，B 符合题意，C 不符合题意； 因为 及得 m=n： ，四边形 EPGH 为平行四边形， 又 ，所以 ，故平行四边形 EFGH 为矩形. 设 ，因为 ，所以 ，而 ， 所以
15、， 所以 ，则矩形 EFGH 的面积 ，可得 ，D 符合题意. 故答案为：ABD 【分析】根据等比例的性质可得 ，可判断 A 的正误；由题设得，若易得直线 EF 与 GH 有交点，结合点、线、面的关系判断交点位置即可判断B,C 的正误； 。由分析知四边形 EPGH 为平行四边形，结合得平行四边形 EFGH 为矩形，设并得到 EPGH 面积关于 x 的函数，由二次函数性质求最值即可判断 D 的正误。 【解析】【解答】. 故答案为：2 【分析】利用正切的二倍角公式进行计算可得答案。 【解析】【解答】由题意，从 6 个小球，任取 3 个小球，可得基本事件总数为种， 若编号为 4 的球有且只有一个且为
16、白球，有 种取法； 若编号为 4 的球有且只有一个且为红球，有 种取法； 若编号为 4 的球红球白球都取到，有 种取法， 小球编号最大值为 4 的基本事件个数为 种， 所以小球编号最大值为 4 的概率力 . 故答案为： 【分析】结合组合数公式求得基本事件的总数，再分编号为 4 的球有且只有一个且为白球，编号为4 的球有且只有一个且为红和编号为 4 的球红球白球都取到，三种情况讨论，求得所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求出小球编号最大值为 4 的概率。 【解析】【解答】是偶函数，则即， 所以 ，而 ，所以 恒成立，所以 . . 若 ，当 时 ，所以 ，所以 ，则
17、在 上单调递增；若 ，当 时 ，所以 ，所以 ， 则 在 上单调递增， 综上 在 上单调递增. 而 当且仅当 时取到等号，但 ， 所以 ，所以 f（a+b）f（2）f（ab）. 故答案为：f（a+b）f（2）f（ab） 【分析】利用函数 是偶函数，得，再利用导数判断函数的单调性，比较和 2的大小关系，再比较函数值的大小即可。 【解析】【解答】由题意可知， 设 ，直线 PA，PB 的斜率分别为 ， 则 ， 由正弦定理得 ， 由 得 ， 所以 ，又 ，从而 ，即 ，又 ， 解得： ，所以 . 故答案为： . 【分析】设 ，表示出直线 PA，PB 的斜率，得到，利用正弦定理和二倍角公式求出，进而求出
18、的值 。 【解析】【分析】 (1) 根据表中的数据求出样本中的回访客户的总数和满意的客户人数，再利用古典概型的概率公式求解即可； (2)由题意可得 ，然后根据题意分别求出各自对应的概率，从而可求得 X 的分布列和期望. 【解析】【分析】 （1）根据等比中项的性质得到 ，即可得到 ，作差即可得到 ，即可得到奇数项，偶数项分别成等差数列，即可求出数列的通项公式； （2）利用分组求和法求出 ，即可得到 ， 利用放缩法及裂项相消法求和即可证得。 【解析】【分析】 （1） 连接 AC，在中，由余弦定理得 AC2的值， 在中，由余弦定理列出方程，即可求得边的长； （2）连接 BD，在中，由余弦定理求得 B
19、D 的值，进而求得，结合 ，得到 ，在中，利用正弦定理即可求出的值. 【解析】【分析】 (1)推导出 POAD，通过证明 BC平面 POC，证明平面 PBC平面 POC； (2) 以 O 为原点，OA、OP 所在直线分别为 x 轴、z 轴，过 O 且垂直于 AD 的直线为 y 轴建立空间直角坐标系 ，利用向量法能求出平面 PAB 与平面 PCB 所成角的余弦值. 【解析】【分析】(1)设直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得 p，进而得到抛物线 E 的方程； (2)由向量共线的坐标表示，结合韦达定理解方程可得 A、B 的坐标，设出圆心坐标，由圆的切线的性质和导数的几何意义求得 a, b,再求圆的半径，可得所求圆的方程. 【解析】【分析】(1)分 b0 和 b 0 两种情况讨论极值即可； (2)分 a 0 两种情况进行讨论，a 0 时，令 通过 f (x) min0 得到关于 k 的不等式，分情况构造函数，求出最值，即可得到 k 的范围.
