1、 高三理数第一次联合考试试卷高三理数第一次联合考试试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2若复数 z 满足，则 z 的虚部等于（ ） A4i B2i C2 D4 3“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ） A B C D 4已知单位向量，则与的夹角为（ ） A30 B60 C120 D150 5如图，、分别为椭圆
2、的左、右焦点，点 P 在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（ ） A B C D 6北京 2022 年冬奥会即将开幕，北京某大学 5 名同学报名到甲乙丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，每个场馆至少安排 1 名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A90 种 B125 种 C150 种 D243 种 7已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（ ） A5 B512 C1024 D64 8已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 9瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设
3、计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上 A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为，沿山道继续走 20m，抵达 B 点位置测得瀑布顶端的仰角为已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为，则该瀑布的高度约为（ ） A60m B90m C108m D120m 10若，则（ ） A B C D 11已知函数满足，且当时，成立，若，则，的大小关系是（ ） A B C D 12如图，四棱柱的底面是边长为 2 的正方形，侧棱平面 ABCD，且，E、F 分别是 AB、BC 的中点，P 是线段
4、上的一个动点（不含端点） ，过 P、E、F 的平面记为，Q 在上且，则下列说法正确的个数是（ ） 三棱锥的体积是定值；当直线时，；当时，平面截棱柱所得多边形的周长为；存在平面，使得点到平面距离是 A 到平面距离的两倍 A1 B2 C3 D4 二、填空题二、填空题 13若曲线在点处的切线斜率为 2，则 142020 年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中学校需要安排男教师名，女教师名做义工，和需满足条件，则该校安排教师最多为 人 15将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是 . 16已知若对任意，恒
5、成立，则实数 a 的取值范围为 . 三、解答题三、解答题 17已知在各项均为正数的等差数列中，且，构成等比数列的前三项. （1）求数列，的通项公式； （2）设数列_，求数列的前项和.请在；这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答. 18某商品的包装纸如图 1，其中菱形的边长为 3，且，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点，汇聚为一点，恰好形成如图 2 的四棱锥形的包裹. （1）证明：底面； （2）设点为上的点，且二面角的正弦值为，试求与平面所成角的正弦值. 19如图，P 是抛物线 E：y24x 上的动点，F 是抛物线 E 的焦点 （1）求|PF|的最小值； （2）点 B，C 在
6、 y 轴上，直线 PB，PC 与圆（x1）2+y21 相切当|PF|4，6时，求|BC|的最小值 20已知函数，其中. （1）试讨论函数的单调性； （2）若，证明：. 21为 2020 年全国实现全面脱贫，湖南贫团县保靖加大了特色农业建设，其中茶叶产业是重要组成部分，由于当地的地质环境非常适宜种植茶树，保靖的“黄金茶”享有“一两黄金一两茶”的美誉.保靖县某茶场的黄金茶场市开发机构为了进一步开拓市场，对黄金茶交易市场某个品种的黄金茶日销售情况进行调研，得到这种黄金茶的定价（单位：百元/）和销售率（销售率是销售量与供应量的比值）的统计数据如下： 10 20 30 40 50 60 0.9 0.65
7、 0.45 0.3 0.2 0.175 参考数据：与的相关系数，与的相关系数，. 参考公式：，. （1）设，根据所给参考数据判断，回归模型与哪个更合适？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果保留一位小数） ； （2）某茶场的黄金茶生产销售公司每天向茶叶交易市场提供该品种的黄金茶，根据（1）中的回归方程，估计定价（单位：百元/）为多少时，这家公司该品种的黄金茶的日销售额最大，并求的最大值. 22在平面直角坐标系中，由经过伸缩变换得到曲线，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程； （2）若直线 的极坐标方程为， 与曲线、曲线
8、在第一象限交于、，且，点的极坐标为，求的面积 23已知函数. （1）求不等式的解集； （2）设函数的图象与直线有 3 个交点，求的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】， 所以 . 故答案为：B 【分析】由一元二次不等式求解确定集合 A，即可求解。 【解析】【解答】由题意，虚部为 4 故答案为：D 【分析】由复数的四则运算化简 z,即可求解。 【解析】【解答】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖） ， 其正视图和侧视图是一个圆， 俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上， 俯视图是有 2 条对角线且为实线的正方形， 故答案为
9、：B 【分析】由三视图的概念即可求解。 【解析】【解答】因为，所以， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 , 故答案为：C 【分析】由 ，求出。代入夹角公式即可求解。 【解析】【解答】解：由于是面积为的正三角形，过轴于 则 为 的中点,所以 ，由 ，解得 所以 ，即 ，即 ， 将点 的坐标代入椭圆方程得 ，即 ，解得 故答案为：A 【分析】做 轴于 H，即可判断 H 为的中点，从而确定，再由的面积即可求出 c，即可求解。 【解析】【解答】把 5 名同学分为 3 组，各组人数可为 3，1，1 或 2，2，1. 各组人数为 3，1，l 时，有 种； 各组人数为 2，2，l 时，有 种; 故不同的安排方
10、法共有 种， 故答案为：C 【分析】先按 3，1，1 或 2，2，1.分成 3 组，再进行 3 组全排列即可。 【解析】【解答】解：设等比数列的公比为 q， 因为 ，所以 ，解得 ， 因为 与 的等差中项为 ，则有 ， 即 ，解得 ， 所以 ，故 ， 则 ， ， ， ， 所以 故答案为：D 【分析】由 及 列方程即可求出首项和公比，即可求解。 【解析】【解答】根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，设，因为，点到直线的距离， 所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ， 由双曲线的定义可知 ，在 中，由余弦定理可得 ，整理得 ， 所以 ，即离心率 . 故答案为：C. 【分析】设 ，确定点到直线的距
11、离，进而确定，结合双曲线的定义可得，进而在中由余弦定理即可求出 a=b,即可求解。 【解析】【解答】解：如图，设瀑布顶端为 P，底端为 H，瀑布高为 h， 该同学第一次测量时所处的位置为 A，第二次测量时的位置为 B， 由题意可知， ， ，且 ， 所以 ， ， 在 中，由余弦定理可知， ， 即 ，解得 故答案为：A 【分析】设瀑布顶端为 P，底端为 H，瀑布高为 h，如图，可确定 ，即可得到，在中，由余弦定理即可求解。 【解析】【解答】因为，所以， 又因为 ， ， 所以 ，即 ， 所以 ， 又因为 ，所以 ， 故答案为：B 【分析】切化弦，化简可得 ，即可求解。 【解析】【解答】解：因为函数满
12、足，即，且在 上是连续函数，所以函数是奇函数， 不妨令 ，则 ，所以 是偶函数， 则 ，因为当 时， 成立， 所以 在 上单调递减， 又因为 在 上是连续函数，且是偶函数，所以 在 上单调递增， 则 ， ， ， 因为 ， ， ， 所以 ，所以 ， 故答案为：D. 【分析】由已知条件可构造函数 ，确定其单调性及奇偶性，即可比较大小。 【解析】【解答】对于:因为，平面， 平面 ，所以 平面 ， 因为 ，所以点 P 到平面 的距离为定值， 而 的面积为定值，所以三棱锥 的体积是定值， 即三棱锥 的体积是定值，故正确； 对于：如图，延长 EF 交 DC 的延长线于点 M， 设平面 交棱 于点 W，连接
13、 MW，并延长 MW 交 于点 P， 因为 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ， 因为 F 为 BC 的中点，则 W 为 CQ 的中点， 因为 ，则 ， ， ， 所以 ，则 ， 因为 ，则 ， 则 ，即错误； 对于：如图，设直线 EF 分别交直线 DA、DC 于点 N、M， 连接 PN、PM，分别交 、 于点 R、S，连接 RE、SF， 由可知， ，同理可知 ， 因为 ， ，则 为等腰直角三角形， 则 ，同理可知， 也为等腰直角三角形， 同理可知， ， 同理 ，由勾股定理可得 ， 则截面的周长为 ，即正确； 对于：设截面 交棱 于点 R， 假设存在平面 ，使得点 到平面 距离是 A 到平面 距
14、离的两倍， 则 ，可得 ， 因为 ，则 ，则 ，不符合题意； 即不存在平面 ，使得点 到平面 距离是 A 到平面 距离的两倍， 故错误 综上所述，正确. 故答案为：B. 【分析】由等体积法可判断 ；如图补全图形，即可判断 ；如图，结合 ，可判断 ；假设存在平面 ，使得点到平面 距离是 A 到平面 距离的两倍，可得，求出，再结合，发现矛盾，可判断。 【解析】【解答】，解得: 故答案为：-2 【分析】由导数的几何意义即可求解。 【解析】【解答】由于 和 需满足约束条件，画出可行域为： 对于需要求该校招聘的教师人数最多，设目标函数为 ，得 ， 则题意转化为：在可行域内任意取 、 且为整数，使得目标函
15、数的斜率为定值 ，截距最大时的直线为过 的交点 A ，此时 取最大值，即 . 故答案为：13. 【分析】画出可行域，结合图像及 z 的含义即可求解。 【解析】【解答】由题意，因为在上没有零点，所以半周期，令， 当 k=0 时， ； 当 k0 时， . 故答案为： . 【分析】先确定 的解析式，由 在上没有零点 ，可确定半周期，再由，分 k=0,k0，讨论即可求解。 【解析】【解答】由题意，. 当时，； 当时， （1）若，则，设，于是，所以. （2）若，首先，而函数在上单调递减，则，而函数在上单调递减，则，则，设，于是， 所以。 综上所述：。 【分析】由题意，再利用分类讨论的方法结合不等式恒成立
16、问题求解方法，再结合函数的单调性，从而求出函数的最值，进而求出实数 a 的取值范围。 【解析】【分析】 （1），及求出首项和公差，即可求解； （2） 若选 ，利用错位相减法即可求解； 若选 利用裂项相消法即可求和； 若选 通过讨论 n 为奇数和偶数，分组求和即可。 【解析】【分析】 （1）由线段长度，借助勾股定理即可确定 ， ，又 在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得 ，即可得证； （2）如图建立空间直角坐标系，由（1）可得 为二面角的平面角 ， 利用正弦定理 即可求 BT,确定 T 点坐标， 设面的法向量为 由 ， 求出法向量，由向量夹角公式即可求解。 【解析】【分析】 （1）求得抛物线的焦
17、点和准线方程，运用抛物线的定义和性质，即可求得|PF|的最小值； （2）设 ，分别求得 的方程，运用直线和圆相切，得到 为方程 的两根，再由韦达定理可得 ，进而可求得其最小值 【解析】【分析】 （1）求出导函数，分和时 讨论即可求解； （2）等价转换不等式得到 ，即证 ，令，求导得到 ，二次求导得到 ， 确定 g(x)的单调性，即可求解。 【解析】【分析】 （1）由相关系数可判断 回归模型更合适 ，代入数据即可求解。 （2）先确定 ，通过求导确定函数单调性，即可求解。 【解析】【分析】 （1）由即可转换求解。 （2）由两方程联立 可求表达式，由可求表达式，进而由， 求出， 由 即可求解。 【解析】【分析】 （1）分段讨论去绝对值，即可求解； (2)画出 f(x)的图像，如图，借助图像即可求解；
