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1、第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年湖南省高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 |3Ax yx， |19Bxx ，则()( RA B ) A(1,3) B(3,9) C3，9 D 2 （5 分）已知复数 5 5 2 i zi i ，则| (z ) A5 B5 2 C3 2 D2 5 3 （5 分）设 1 3 3a

2、， 1 3 log 2b ， 1 2 1 ( ) 3 c ，则( ) Abac Bcba Cbca Dcab 4 （5 分）函数 2 ( )cos () 3 f xx 的最小正周期为( ) A 2 B2 C D 4 5 （5 分）左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件 “骰子向上为 6 点且硬币向上为正面” 的概率为( ) A 1 6 B 1 12 C 1 3 D 1 2 6 （5 分）设m，n，l为三条不同的直线，a，为两个不同的平面，则下面结论正确的是( ) A若m，n，/ /，则/ /mn B若/ /m，/ /n，mn，则 C若m，n，则mn D/ /m，/ /n，lm，ln，

3、则l 7 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出的(S ) 第 2 页（共 19 页） A10ln B2 3ln C7ln D3 2ln 8 （5 分）已知函数 | ( )32 x a f x ，且满足(5)(3)fxfx，则f（6）( ) A29 B11 C3 D5 9 （5 分）已知抛物线 2 :12C yx的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心， FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则| (AF ) A16 B10 C12 D8 10 （5 分）已知函数( )f x是偶函数，当0x 时，( )1f xxlnx，则曲线( )yf x在1x 处的切线方程

4、为( ) Ayx B2yx Cyx D2yx 11 （5 分）南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术” 现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第 19 项为( )（注 2222 (1)(21) :123) 6 n nn n A1624 B1198 C1024 D1560 12 （5 分）在三棱锥DABC中，1ABBCCDDA，且ABBC，CDDA，M， N分别是

5、棱BC，CD的中点，下面四个结论：第 3 页（共 19 页） ACBD； / /MN平面ABD；三棱锥ACMN的体积的最大值为 2 12 ； AD与BC一定不垂直其中所有正确命题的序号是( ) A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）已知数列 n a是等比数列， 1 1a ， 3 36a ，则 2 a 14 （5 分）已知向量(4, 3),( 1,2)ab ，, a b的夹角为，则sin 15 （5 分） 38 1 (2)x x 的展开式中

6、常数项是（用数字表示） 16 （5 分）双曲线 22 22 22 22 1(0,0) xy ab ab 与椭圆 22 11 22 11 1(0) xy ab ab 有相同的焦点，且左、右焦点分别为 1 F， 2 F，它们在第一象限的交点为P，若 1212 sin2sinFPFPFF，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题，每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题

7、为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17（12 分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(3)coscos0acBbC （1）求sin B；（2）若1,2 2ab，求ABC的面积 18 （12 分）如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合）， E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD 平面BCP （1）证明：BP 平面DCP （2）三棱锥DBPC的体积最大时，求二面角BPDE的余弦值第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）生男生女都一样，女儿也是传后人由于某些地区仍

8、然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地 200 户家庭进行调查统计这 200 户家庭中，头胎为女孩的频率为 0.5，生二孩的频率为 0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为 60 （1）完成下列22列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩 60 头胎为男孩合计 200 （2）在抽取的 200 户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7 户，进一步了解情况，在抽取的 7 户中再随机抽取 4 户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望附： 2 ()P K

9、k 0.15 0.05 0.01 0.001 k 2.072 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd （其中)nabcd 20 （12 分）已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 :1 43 xy C的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线:4m x 与x轴交于点A，直线 2 MF与直线AN的交点为B （1）证明：点B恒在椭圆C上（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得 2 PTQ 恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由第 5 页（共 1

10、9 页） 21 （12 分）已知函数( )12 a f xlnxax x 有两个不同的极值点 1 x， 2 x （1）求a的取值范围（2）求( )f x的极大值与极小值之和的取值范围（3）若 11 (0, ),( ,) 22 mn，则( )( )f mf n是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方

11、程是 11 cos , 42 ( 31 sin 42 x y 是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转 3 ，交曲线C于点N，求 | |OMON的最大值选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |2|3|f xxx （1）解不等式( ) 32f xx；（2）若函数( )f x最小值为M，且23(0,0)abM ab，求 13 211ab 的最小值第 6 页（共 19 页） 2019-2020 学年湖南省高三（上）期末数学试卷（理科）学年湖南省高三（上）

13、 5 【解答】解： 55 (2) 5517 25 iii ziii i ， 22 | |( 1)75 2z 故选：B 3 （5 分）设 1 3 3a ， 1 3 log 2b ， 1 2 1 ( ) 3 c ，则( ) Abac Bcba Cbca Dcab 【解答】解：因为 1 3 31a ， 1 3 log 20b ， 1 2 1 0( )1 3 c，所以bca，故选：C 4 （5 分）函数 2 ( )cos () 3 f xx 的最小正周期为( ) A 2 B2 C D 4 第 7 页（共 19 页）【解答】解：因为 2 2 cos(2)1 121 3 ( )cos ()cos(2

14、) 32232 x f xxx ，所以它的最小正周期为 2 2 ，故选：C 5 （5 分）左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件 “骰子向上为 6 点且硬币向上为正面” 的概率为( ) A 1 6 B 1 12 C 1 3 D 1 2 【解答】解：骰子向上为 6 点的概率为 1 6 ，硬币向上为正面的概率为 1 2 ，故所求事件的概率为 111 6212 故选：B 6 （5 分）设m，n，l为三条不同的直线，a，为两个不同的平面，则下面结论正确的是( ) A若m，n，/ /，则/ /mn B若/ /m，/ /n，mn，则 C若m，n，则mn D/ /m，/ /n，lm，ln，

15、则l 【解答】解：对于选项A选项中，m，n可能异面；故错误对于选项B选项中，也可能平行或相交；故错误对于选项D选项中，只有m，n相交才可推出l故错误对于选项C，由于m，n，则，直线m和n可以看做是平面和的法向量，由于，所以mn，故正确故选：C 7 （5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出的(S ) 第 8 页（共 19 页） A10ln B2 3ln C7ln D3 2ln 【解答】解：运行程序框图中的程序，可得 2348 1237 Slnlnlnln 2348 1237 ln 8ln 3 2ln 故选：D 8 （5 分）已知函数 | ( )32 x a f x ，且满足(5)(

16、3)fxfx，则f（6）( ) A29 B11 C3 D5 【解答】解：因为(5)(3)fxfx，所以( )f x的图象关于4x 对称，所以4x 时， |4| 31 a ，4a ， f（6） |6 4| 329211 ，故选：B 9 （5 分）已知抛物线 2 :12C yx的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心， FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则| (AF ) A16 B10 C12 D8 第 9 页（共 19 页）【解答】解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，ADBD 由抛物线定义知 1 | | 2 ADAFAB，所以30ABD因为F

17、到准线的距离为 6，所以| | 2 612AFBF 故选：C 10 （5 分）已知函数( )f x是偶函数，当0x 时，( )1f xxlnx，则曲线( )yf x在1x 处的切线方程为( ) Ayx B2yx Cyx D2yx 【解答】解：因为函数( )f x是偶函数，当0x 时，( )1f xxlnx，所以当0x 时，0x ，所以( )()()1f xfxxlnx ，所以( 1)1f ，又( )()1fxlnx ，所以( 1)1f ，所以曲线( )yf x在1x 处的切线方程为yx 故选：A 11 （5 分）南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公

18、式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术” 现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第 19 项为( )（注 2222 (1)(21) :123) 6 n nn n A1624 B1198 C1024 D1560 第 10 页（共 19 页）【解答】解：设该数列为 n a，令 1nnn baa ，设 n b的前n项和为 n B，又令 1nnn cbb ，设 n c的前n项和为 n C 易 n cn， 2 2 n nn C ，进

19、而得 2 1 33 2 nn nn bC ，所以 2 (1)1 33 222 n n nn bn ，则 (1)(1) 3 6 n n nn Bn ，所以 1 1 nn aB ，所以 19 1024a 故选：C 12 （5 分）在三棱锥DABC中，1ABBCCDDA，且ABBC，CDDA，M， N分别是棱BC，CD的中点，下面四个结论： ACBD； / /MN平面ABD；三棱锥ACMN的体积的最大值为 2 12 ； AD与BC一定不垂直其中所有正确命题的序号是( ) A B C D 【解答】解：设AC的中点为O，连接OB、OD，如图所示；则ACOB，ACOD，又OBODO，所以AC

20、平面OBD，所以ACBD，故正确；因为/ /MNBD，所以/ /MN平面ABD，故正确；当平面DAC与平面ABC垂直时， A CMN V 三棱锥最大，第 11 页（共 19 页）最大值为 2211 34448 A CMNNACM VV 三棱锥三棱锥，故错误；若AD与BC垂直，又因为ABBC，所以BC 平面ABD，所以BCBD，又BDAC，所以BD 平面ABC，所以BDOB，因为OBOD，所以显然BD与OB不可能垂直，故正确综上知，正确的命题序号是故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题

21、卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）已知数列 n a是等比数列， 1 1a ， 3 36a ，则 2 a 6 【解答】解：设 n a的公比为q，由 1 1a ， 3 36a ，得 2 36q ，所以6q ，故 2 6a 故答案为：6 14 （5 分）已知向量(4, 3),( 1,2)ab ，, a b的夹角为，则sin 5 5 【解答】解：向量(4, 3),( 1,2)ab ，, a b的夹角为，则 4 ( 1)( 3) 22 5 cos 5| |5 5 a b ab ， 2 5 sin1cos 5 ，故答案为： 5 5 15 （5 分） 38 1 (2)x x

22、的展开式中常数项是 112 （用数字表示）【解答】解： 38 1 (2)x x 的展开式的通项为： 3 8824 4 188 1 (2)()2( 1) rrrrrrr r TCxC x x ，令2440r，解得6r ，则 38 1 (2)x x 的展开式中常数项是 8 666 8 2( 1)112C ，故答案为：112 16 （5 分）双曲线 22 22 22 22 1(0,0) xy ab ab 与椭圆 22 11 22 11 1(0) xy ab ab 有相同的焦点，且左、右焦点分别为 1 F， 2 F，它们在第一象限的交点为P，若 1212 sin2sinFPFPFF，且第

24、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题，每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17（12 分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(3)coscos0acBbC （1）求sin B；（2）若1,2 2ab，求ABC的面积【解答】解：（1）因为(3)coscos0acBbC，所以3sincossincossincos0ABCBBC，所以3sincos(si

25、ncossincos )sinABBCCBA 因为sin0A，所以 1 cos 3 B ，所以 2 2 sin 3 B ；（2）由余弦定理得 22222 2 2cos 3 bacacBacac，因为1,2 2ab，所以 2 2 70 3 cc，即 2 3221(3)(37)0cccc，第 13 页（共 19 页）所以 7 3 c 所以ABC的面积为 1172 27 2 sin1 22339 acB 18 （12 分）如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合）， E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD 平面BCP （1）

26、证明：BP 平面DCP （2）三棱锥DBPC的体积最大时，求二面角BPDE的余弦值【解答】（1）证明：因为平面ABCD 平面BPC，且ABCD是正方形，所以DC 平面BPC，因为BP 平面BPC，所以BPDC，因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BPPC，又DCPCC，所以BP 平面DCP；（2）解：根据题意，当点P位于BC的中点时，BCP的面积最大，三棱锥DBPC的体积也最大，不妨设2BC ，记AD中点为G，以E为原点，分别以EB，EP，EG所在直线为为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0E，0，0)，(1B，0，0)，( 1D ，0，2)，(0P

27、，1，0)， ( 2,0,2),( 1,0,2)BDED ，( 1, 1,2)PD 设平面BDP的法向量为( , , )mx y z，则 220 20 m BDxz m PDxyz 令1x ，得(1,1,1)m ，设平面DEP的法向量为( , , )na b c， 20 20 n EDac n PDabc ，第 14 页（共 19 页）令2a ，得(2,0,1)n ，所以 2 115 cos, 535 m n ，由图可知，二面角BPDE为锐角，故二面角BPDE的余弦值为 15 5 19 （12 分）生男生女都一样，女儿也是传后人由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可

28、能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地 200 户家庭进行调查统计这 200 户家庭中，头胎为女孩的频率为 0.5，生二孩的频率为 0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为 60 （1）完成下列22列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩 60 头胎为男孩合计 200 （2）在抽取的 200 户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7 户，进一步了解情况，在抽取的 7 户中再随机抽取 4 户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望附： 2 ()P Kk 0.15 0.05 0.01 0.

29、001 k 2.072 3.841 6.635 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd （其中)nabcd 第 15 页（共 19 页）【解答】解：（1）因为头胎为女孩的频率为 0.5，所以头胎为女孩的总户数为2000.5100 因为生二孩的概率为 0.525，所以生二孩的总户数为2000.525105 22列联表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩 60 40 100 头胎为男孩 45 55 100 合计 105 95 200 2 2 200 (60 5545 40)600 3.841 105 95 100 100133 K ，

30、故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关（2）在抽取的 200 户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了 7 户，则这 7 户家庭中，头胎生女孩的户数为 4，头胎生男孩的户数为 3，则X的可能取值为 1， 2， 3，4 13 43 4 7 4 (1) 35 C C P X C ； 22 43 4 7 18 (2) 35 C C P X C ； 31 43 4 7 12 (3) 35 C C P X C ； 4 4 4 7 1 (4) 35 C P X C X的分布列为 X 1 2 3 4 P 4 35 18 35 12 35 1 35 41812116 12

31、34 353535357 EX 20 （12 分）已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 :1 43 xy C的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线:4m x 与x轴交于点A，直线 2 MF与直线AN的交点为B （1）证明：点B恒在椭圆C上第 16 页（共 19 页）（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得 2 PTQ 恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）证明：由题意知 2(1,0) F，(4,0)A，设( , )M s t，( ,)N st，则 22 1 43 st ， 2 2 3

32、(1) 4 s t 直线 2 MF 的方程为(1) 1 t yx s ，直线AN 的方程为(4) 4 t yx s ，联立可得 58 25 B s x s ， 3 25 B t y s ，即B 的坐标为 58 (2 5 s s ， 3 ) 25 t s 因为 2222222 222 (58)12(58)3691680100 1 434(25)4(25)1680100 BB xystssss ssss ，所以B 点恒在椭圆C上（2）解：当直线n 的斜率不存在时，不符合题意不妨设直线n 的方程为ykxb，由对称性可知，若平面内存在定点T，使得 2 PTQ 恒成立，则T 一定在x

33、轴上，故设 0 (T x，0)，由 22 1 43 ykxb xy 可得 222 (34)84120kxkbxb 因为直线n与椭圆C 只有一个公共点，所以 222222 644(34)(412)48(43)0k bkbkb，可得 22 34bk，所以 4 P k x b ， 3 PP ykxb b 又因为(4,4)Qkb， 2 PTQ ，所以 0 4 ( k TP TQx b ， 0 3) (4 x b ，4)0kb，即 00 43(4) ()(4)0 kkb xx bb ，所以 2 000 43(44)0 k xxx b ，对于任意的满足 22 430kb 的k，b 恒成立，所

34、以 0 2 00 440 430 x xx 解得 0 1x 故在平面内存在定点(1,0)T，使得 2 PTQ 恒成立第 17 页（共 19 页） 21 （12 分）已知函数( )12 a f xlnxax x 有两个不同的极值点 1 x， 2 x （1）求a的取值范围（2）求( )f x的极大值与极小值之和的取值范围（3）若 11 (0, ),( ,) 22 mn，则( )( )f mf n是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由【解答】解：（1） 2 22 1 ( )1 axxa fx xxx ，0x ，因为( )f x有两个不同的极值点 1 x， 2 x 所以 2 0

35、xxa有两个不同的正根，故 1 0 4 a （2）因为 12 x xa， 12 1xx，不妨设 12 xx，所以 1 ( )f xf x 极小值， 2 ( )f xf x 极大值，所以以 12 121212 12 ( )( )2 1224 a xx f xf xf xf xlnx xaxxlnaa x x 极小值极大值令t（a）42lnaa，则t（a） 1 40 a ，所以t（a）在 1 (0, ) 4 上单调递增，所以t（a） 1 ( )12 2 4 tln ，即( )f x的极大值与极小值之和的取值范围是(,12 2)ln （3）由（2）知 12 x xa， 12 1xx

36、因为 1 (0, ) 2 m， 1 ( ,) 2 n， 12 1 2 xx，所以 1 ( )() min f xf x， 2 ( )() max f xf x，所以 121 1221 212 ( )( )( )() min xxx f mf nf xf xlnxxa xx x 因为 12 1xx ，所以 2 2222 2 1 ()() 2 (1 )( 1)42 m i n x fmfnl nxl nxl n xx x ， 2 1 (1) 2 x，令( )(1)42h xlnxlnxx， 1 (1) 2 x，第 18 页（共 19 页）则 2 11(21) ( )40 1(1)

37、x h x xxx x ，所以( )h x在 1 (,1) 2 上单调递减，( )h x无最小值，故( )( )f mf n没有最小值（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 11 cos , 42 ( 31 sin 42 x y 是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取一点

38、M，直线OM绕原点O逆时针旋转 3 ，交曲线C于点N，求 | |OMON的最大值【解答】解：（1）由曲线C的参数方程是 11 cos , 42 ( 31 sin 42 x y 是参数），消去得曲线C的普通方程为 22 13 0 22 xyxy 所以C的极坐标方程为 31 sincos 22 ，即sin() 6 （2）不妨设 1 (M，)， 2 (,) 3 N ，0，2 ，则 11 | | sin()sin()sin(2) 663264 OMON 当 6 时，取得最大值，最大值为 3 4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |2|3|f xx

39、x （1）解不等式( ) 32f xx；（2）若函数( )f x最小值为M，且23(0,0)abM ab，求 13 211ab 的最小值【解答】解：（1）( ) |2|3|f xxx，( ) 32f xx，第 19 页（共 19 页）当2x 时，23 32xxx ，即 3 5 x，无解；当23x 剟时，23 32xxx ，即 7 3 x，得 7 3 3 x剟；当3x 时，23 32xxx，即1x，得3x 故所求不等式的解集为 7 ,) 3 （2）( ) |2|3|(2)(3)| 5f xxxxx， 235(0,0)abab，则213(1)9ab ， 13113 ()213(1) 2119 211 ab abab 13(1)3(21)16 10 92119 ba ab 当且仅当 211 235 0,0 ab ab ab ，即 5 8 5 4 a b 时取等号故 13 211ab 的最小值为 16 9

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