1、14.214.2勾股定理的应用勾股定理的应用(1) (1) A B C 勾勾a 股股b 弦弦c 一、一、 勾股定理：勾股定理： 直角直角三角形的两条直角边三角形的两条直角边 的平方和等于它斜边的平方。的平方和等于它斜边的平方。 那么那么a2 + b2 = c2 如果如果在在RtABC中，中， C=90 语言叙述语言叙述： 字母表示字母表示： 二、勾股定理的证明二、勾股定理的证明 c c a a b b c c a a b b c c a a b b （一）（一） （二）（二） （三）（三） 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a a 、 b b 、 c c满足满足 那么这个三角形是直角三角形。
2、那么这个三角形是直角三角形。 222 cba 三、三、 直角三角形的判定直角三角形的判定 如图所示是圆柱形无盖玻如图所示是圆柱形无盖玻 璃容器璃容器,高高18cm,底面周长底面周长 60cm,在外侧距底在外侧距底1cm的点的点 C处有一蜘蛛处有一蜘蛛,与蜘蛛相对与蜘蛛相对 的圆柱形容器的上口外侧的圆柱形容器的上口外侧 距开口距开口1cm的的F外有一只苍外有一只苍 蝇蝇,试求急于捕获苍蝇充饥试求急于捕获苍蝇充饥 的蜘蛛所走的最短路线的的蜘蛛所走的最短路线的 长度长度. 例例1 1 我怎么走我怎么走 会最近呢会最近呢? A A B C 1818 F F 最短路程问题最短路程问题 最短路程问题最短路
3、程问题 A A B C 1818 F F 1 1 A F D C B 1 1 解解:如图所示如图所示,将侧面展开将侧面展开,在在RTCDF中中, FD=AB-AF-BD=18-1-1=16cm CD= 底面周长底面周长= 60=30cm 根据勾股定理根据勾股定理,得得: CF= cmCDFD343016 2222 如图所示如图所示,一块长方体的长为一块长方体的长为6cm， 宽为宽为4cm，高为，高为3cm，求蚂蚁从顶点，求蚂蚁从顶点 A沿着表面到达顶点沿着表面到达顶点B的最短路线的的最短路线的 长度长度. A B 最短路程问题最短路程问题 6 4 3 分析：蚂蚁由分析：蚂蚁由A爬到爬到B过程中
4、较短的路过程中较短的路 线有多少种情况？线有多少种情况？ (1)经过前面和上底面经过前面和上底面; (2)经过前面和右面经过前面和右面; (3)经过左面和上底面经过左面和上底面. A B 4 6 A B 3 C 6 4 3 B C A 6 4 3 B C A (1)(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，当蚂蚁经过前面和上底面时， 如图，最短路程为如图，最短路程为 解解 : : A B 4 6 A B 3 C 22 BCAC AB 22 76 85 (2)(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，当蚂蚁经过前面和右面时，如图， 最短路程为最短路程为 22 BCAC A B 6 4 3 B C A AB 22
5、 310 109 (3)(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如当蚂蚁经过左面和上底面时，如 图，最短路程为图，最短路程为 A B 22 BCAC AB 6 4 3 B C A 22 49 97 85 97 109 最短路程为最短路程为 85 A B 我怎么走 会最近呢? 有一个圆柱有一个圆柱,它的高等于它的高等于 12厘米厘米,底面半径等于底面半径等于3 厘米厘米,在圆柱下底面上的在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁点有一只蚂蚁,它想从它想从 点点A爬到点爬到点B , 蚂蚁沿着蚂蚁沿着 圆柱侧面爬行的最短路圆柱侧面爬行的最短路 程是多少程是多少? (的值取3) B A 高 12cm B A 长18cm
6、 (的值取3) 9cm AB= AB=15(cm) 蚂蚁爬行的最短路程是蚂蚁爬行的最短路程是15厘米厘米. 15912 22 在一个棱柱形的石凳子上，一位小朋在一个棱柱形的石凳子上，一位小朋 友吃东西时留下一点食物在友吃东西时留下一点食物在B B处，恰好处，恰好 一只机灵而勇敢的蚂蚁路过一只机灵而勇敢的蚂蚁路过A A处（处（A A在在B B 的对面），它的触角准确的捕捉到了的对面），它的触角准确的捕捉到了 这个信息，并迅速的传给它的小脑袋，这个信息，并迅速的传给它的小脑袋， 于是它迫不急待的想从于是它迫不急待的想从A A处爬向处爬向B B处。处。 聪明的同学们，你们想一想：蚂蚁怎聪明的同学们，
7、你们想一想：蚂蚁怎 样走最近？样走最近？ 最短路程问题最短路程问题 B B A 蛋糕 A C 最短路程问题最短路程问题 如图，在棱长为如图，在棱长为10厘米厘米 的正方体的一个顶点的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向处有一只蚂蚁，现要向 顶点顶点B处爬行，已知蚂蚁处爬行，已知蚂蚁 爬行的速度是爬行的速度是1厘米厘米/秒，秒， 且速度保持不变，问蚂且速度保持不变，问蚂 蚁能否在蚁能否在20秒内从秒内从A爬爬 到到B？ B 蛋糕 最短路程问题最短路程问题 A B A B 最短路程问题最短路程问题 轴对称问题轴对称问题 如图所示如图所示,一牧童在一牧童在A处放羊处放羊,他家在他家在B处处,A、
8、B两处相距河岸的两处相距河岸的 距离距离AC、BD分别为分别为500m和和700m,且且CD=500m,天黑前牧童天黑前牧童 从从A处将羊牵到河边饮水后再赶回家处将羊牵到河边饮水后再赶回家,请通过计算说明牧童至少请通过计算说明牧童至少 要走多少米要走多少米? A F E D C B P 解解:作点作点A关于关于CD对称的点对称的点E,连结连结BE,交交 CD于点于点P,连结连结AP,则沿着则沿着AP、PB回家的回家的 路程最短路程最短. 过点过点E作作EF垂直于垂直于BD交交BD的延长线于点的延长线于点F. 22 1200500 AC=EC,CDAC PA=PE 则则PA+PB=PE+PB=B
9、E BF=BD+DF=700+500=1200m CD=EF=500m 在在RTBEF中中,根据勾股定理根据勾股定理,得得 BE= =1300(m) 即牧童至少要走即牧童至少要走1300米米. 两点之间两点之间 线段最短线段最短 轴对称问题轴对称问题 如图所示如图所示,正方形正方形ABCD的边长为的边长为8cm,点点M在在AB上上,BM=2cm, 对角线对角线AC上有一动点上有一动点P,求求PM+PB的最小值的最小值. D 解解:连结连结BD,连结连结DM交交AC于点于点P,连结连结PB, 则则PM+PB的最小值就是的最小值就是DM的长度的长度. 22 68 四边形四边形ABCD为正方形为正方
10、形 AC垂直平分垂直平分BD PB=PD 则则PB+PM=PD+PM=DM AM=AB-BM=8-2=6cm 在在RTAMD中中,根据勾股定理根据勾股定理,得得 DM= =10(cm) 即即PM+PB的最小值为的最小值为10cm. 两点之间两点之间 线段最短线段最短 A B C M P 小 结 、立体图形中立体图形中路线最短路线最短的问题，往往是把立的问题，往往是把立 体图形展开，得到平面图形根据“体图形展开，得到平面图形根据“两点之间，两点之间， 线段最短”线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计确定行走路线，根据勾股定理计 算出最短距离算出最短距离 、在解决实际问题时，首先要、在解决实际问
11、题时，首先要画出适当的示画出适当的示 意图意图，将实际问题抽象为数学问题，并，将实际问题抽象为数学问题，并构建直构建直 角三角形模型角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问，再运用勾股定理解决实际问 题题 应用勾股定理解决实际问题的一般思路：勾股定理解决实际问题的一般思路： .把几何体适当展开成把几何体适当展开成 平面图形，再利用“平面图形，再利用“两两 点之间线段最短点之间线段最短”性质”性质 来解决最短路程问题。来解决最短路程问题。 .要记住勾股定理及逆要记住勾股定理及逆 定理的内容。定理的内容。 挑战挑战“试一试试一试”: : 一辆装满货物的卡一辆装满货物的卡 车车，其外形高其外形高2.5
12、米米， 宽宽1.6米米，要开进厂门要开进厂门 形状如图的某工厂形状如图的某工厂， 问这辆卡车能否通过问这辆卡车能否通过 该工厂的厂门该工厂的厂门?说明理说明理 由由。 A B C D 2米米 2.3米米 A B M N O C D 分析分析 H 2米米 2.3米米 由于厂门宽度由于厂门宽度 足够足够, ,所以卡车能否通所以卡车能否通 过过, ,只要看当卡车位于只要看当卡车位于 厂门正中间时其高度是厂门正中间时其高度是 否小于否小于CHCH如图所示如图所示, , 点点D D在离厂门中线在离厂门中线0.80.8米米 处处, ,且且CDAB, CDAB, 与地面与地面 交于交于H H 解：解： CDCD 22 ODOC 22 8 . 01 CHCH0.60.62.32.3 2.9(2.9(米米) )2.5(2.5(米米).). 因此高度上有因此高度上有0.4米的余量，米的余量， 所以卡车能通过厂门所以卡车能通过厂门 在在RtOCD中，由勾股定理得中，由勾股定理得 0.60.6米米， A B M N O C D H 2米米 2.3米米 OCOC1 1米米 ( (大门宽度一半大门宽度一半) )， ODOD0 0. .8 8米米 （卡车宽度一半卡车宽度一半）
