1、 高三文数第二次质量检测试卷高三文数第二次质量检测试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2若，则的虚部为（ ） A B C1 D-1 3若等差数列和等比数列满足，则（ ） A4 B1 C1 D4 4搭载神州十三号载人飞船的长征二号 F 遥十三运载火箭，精准点火发射后约 582 秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：m/s）和燃料的质量 M（单位：kg） 、火箭的质量 m（除燃料外，单位：kg）的函数关系是当火箭的最大速度为 11.5km/s 时，约等于（ ） （参考数据：） A313 B314 C312 D311
2、5已知，则（ ） A B12 C12 D 6已知函数，若，则（ ） A B C D 7右图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色区域的面积，将窗花图案放置在边长为的正方形内，在该正方形内随机生成 1000 个点，恰有 535 个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为（ ） A B C D 8已知点 A（1，2）在圆 C：外，则实数 m 的取值范围为（ ） A B C D 9已知函数与函数在区间上的图像交于A，B，C 三点，则的面积是（ ） A2 B C D4 10“中国天眼”射电望远镜的反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆面为底，垂直于圆面的直径被截得
3、的部分为高，球冠面积，其中 R 为球的半径，为球冠的高） ，设球冠底的半径为 r，周长为 C，球冠的面积为 S，则当，时，（ ） A B C D 11过双曲线的下焦点作圆的切线，切点为 E，延长 FE 交抛物线于点 P，O 为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 12已知，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13若实数 x，y 满足约束条件，则的最大值为 14设向量，满足，与的夹角为 60，则 15设为数列的前 n 项和，满足，数列的前 n 项和为，满足，则 16已知 P 是椭圆上的动点，且不在坐标轴上，是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点
4、，若 M 是的角平分线上一点，且，则的取值范围是 三、解答题三、解答题 17在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中，且满足 （1）求角 C 的大小； （2）若，求的面积 18近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市 20152021年的家庭平均教育支出，得到如下折线图 （附：年份代码 17 分别对应的年份是 20152021） 经计算得， （1）用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，求出相关系数 r（精确到 0.01） ，并指出是哪一层次的相关性？ （2）建立 y 关于 t 的回归方程； （3）若 2022 年该市某家庭总支出为 10 万元，
5、预测该家庭教育支出约为多少万元？ 附： （i）相关系数：；相关系数时相关性较强，时相关性一般，时相关性较弱 （ii）线性回归方程：，其中， 19如图，内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，四边形 DCBE 为平行四边形，平面ABC， （1）证明：平面平面 ADE； （2）求三棱锥 ACBE 体积的最大值 20如图，圆与抛物线相交于点 A、B、C、D，且 （1）若抛物线的焦点为，为其准线上一点，是坐标原点，求抛物线的方程； （2）设与 BD 相交于点，与组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积为，求点的坐标及的最大值 21已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若函数的最小值为 M，求证：
6、 22在直角坐标系 xOy 中，直线 的参数方程为（t 为参数） 以坐标原点 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）写出直线 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 C 交于 P，Q 两点，PQ 中点为 M，A（1，0） ，求的值 23已知函数 （1）求不等式的解集； （2）若，使，求实数 a 的取值范围 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】由 ，得 ， 所以 ， 因为 ， 所以 。 故答案为：B 【分析】利用已知条件结合绝对值不等式求解方法得出集合 A，再结合交集的运算法则，进而得出集合 。 2 【答案】D 【解
7、析】【解答】由 得 ，故 的虚部为-1。 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数 z，再结合复数的虚部的定义，从而得出复数 z 的虚部。 3 【答案】C 【解析】【解答】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为 d 和 ，则 ， 求得 ， ，那么 。 故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而解方程组求出公差和公比的值，再结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出 的值。 4 【答案】A 【解析】【解答】火箭的最大速度为 11.5km/s,即 ， 所以 ，所以 ， 即 。 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合对数
8、的运算法则和指数与对数的互化公式，进而得出 的值。 5 【答案】C 【解析】【解答】因为 ， ， ， 解得： ，所以 ， 所以 ， 所以 。 故答案为：C 【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式得出 的值，再结合二倍角的正切公式得出 的值。 6 【答案】D 【解析】【解答】 定义域为 R，且 ，又因为 ，所以 ，所以 。 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合定义域求解方法和求和法得出 ，再利用 和代入法得出 与 a 的关系式。 7 【答案】B 【解析】【解答】设此窗花图案中深色区域的面积为 ，由几何概型的概率公式可得 ， 解得 。 故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合正方形的面积
9、公式和几何概型求概率公式，得出此窗花图案中深色区域的面积。 8 【答案】A 【解析】【解答】由题意， 表示圆 故 ，即 或 点 A（1，2）在圆 C： 外 故 ，即 故实数 m 的取值范围为 或 即 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合点与圆的位置关系，从而求出实数 m 的取值范围。 9 【答案】A 【解析】【解答】 ，则 ，令 ，即 或 或 ，解得： ， ， ，不妨设 ， ， ，则 为等腰三角形， 。 故答案为：A 【分析】利用 x 的取值范围结合两函数求交点的方法，令 ，从而得出交点的坐标，再结合两点求距离公式结合等腰三角形的定义，进而判断出三角形 为等腰三角形，再利用三角形的面积公式得
10、出三角形 的面积 。 10 【答案】B 【解析】【解答】如示意图，根据题意 ， ，由勾股定理可得 ，联立方程解得 ， 于是 。 故答案为：B. 【分析】根据题意结合球冠的周长公式得出 r 的值，再利用球冠的面积公式得出 Rh 的值，由勾股定理可得出 h,R 的值，进而得出 的值。 11 【答案】D 【解析】【解答】设双曲线的上焦点为 ，则 ， 抛物线为 ， 为抛物线的焦点，O 为 的中点， ，则 为 FP 的中点，又 为 的中点，则 为 的中位线， ， ， 切圆 O 于 E， ， 设 ，则 ， ， 由点 在抛物线 上，则 ， 在直角 中， ， 即 ，整理得 ， 即 ，又因为 ，所以 。 故答案
11、为：D 【分析】设双曲线的上焦点为 ，则 ，从而设出抛物线标准方程，所以 为抛物线的焦点，O 为 的中点，再结合平行四边形法则和中点的性质，则 为 FP 的中点，再利用 为 的中点，则 为 的中位线，再结合中位线的性质，所以 ，再利用 ，得出 ，再利用 切圆 O 于 E，得出 ，进而得出 ，设 ，再利用两点距离公式得出 ，由点 在抛物线 上结合代入法得出 ，在直角 中结合勾股定理和中点的性质，得出 ，再利用双曲线的离心率变形和双曲线的取值范围，进而得出双曲线的离心率的值。 12 【答案】A 【解析】【解答】记 ，则 ， 令 ，解得： ； ，解得： ； 所以 在 单减，在 单增. 所以 ，即 .
12、 当 时，有 ，即 ； 记 ，则 . 令 ，解得： ； ，解得： ； 所以 在 单增，在 单减. 所以 ，即 ， 当 时，有 ，即 ， 所以 。 故答案为：A 【分析】记 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，进而比较出 a,b 的大小，记 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而比较出 a,c 的大小，进而比较出 a,b,c 的大小。 13 【答案】3 【解析】【解答】由题意 ，即 ，要使得 最大，即直线 与可行域相交，且截距最小，画出可行域如图所示： 如图所示，当直线 经过 与 的交点 时，截距最小， 即 最大，故 的最大值为 。 故答案为：3。
13、【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，再结合可行域找出最优解，再由最优解求出线性目标函数的最大值。 14 【答案】 【解析】【解答】因为向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为 60， 所以 ， 所以 。 故答案为： 。 【分析】利用已知条件结合数量积的定义和数量积求向量的模的公式，进而得出 的值。 15 【答案】 【解析】【解答】因为 为数列 的前 n 项和，满足 ， ， 所以当 时， ， 当 时， ， 因为当 时也满足 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 。 故答案为： 。 【分析】利用 为数列 的前 n 项和，满足 ， ，再利用分类讨论的方法结合 的关系式和检验法得出数列 的
14、通项公式，再利用 得出数列 的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列 的前 n 项和，再利用代入法得出 的值。 16 【答案】（0,2） 【解析】【解答】由椭圆的对称性，不妨设 P 在第一象限， 延长 交 的延长线于点 ，连接 ， 由于 在 的角平分线上，可知 ， 所以 与 全等，则 ， 再由 ，知 ， ， （其中 为 的横坐标） ， ，由 可知 ，由椭圆的方程知 ， 的取值范围是（0,2） 。 故答案为： （0,2） 。 【分析】由椭圆的对称性，不妨设 P 在第一象限，延长 交 的延长线于点 ，连接 ，由于 在 的角平分线上，可知 ，所以 与 全等，再利用两三角形全等对应边相等，则 ，再由
15、，知 ，再结合作差法和椭圆的定义和勾股定理得出 （其中 为 的横坐标） ，由 可知 的取值范围，再由椭圆的方程得出 c 的值，进而得出 的取值范围。 17 【答案】（1）解：由题意，结合正弦定理 故 又，故 故，即，又 （2）解：由题意，又 故 即，又 由， 代入可得： 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合正弦定理和三角形中角 A 的取值范围得出 ， 再利用同角三角函数基本关系式得出角 C 的正切值，再结合三角形中角 C 的取值范围，进而得出角C 的值。 （2）利用已知条件结合三角形内角和为 180 度的性质以及诱导公式，再结合辅助角公式和三角形中角 A 的取值范围，进而得出角 A 的值，
16、再利用正弦定理结合代入法得出 a 的值，再结合三角内角和为 180 度的性质和两角和的正弦公式得出角 B 的正弦值，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积。 18 【答案】（1）解： 故相关性较强 （2）解： （3）解：当时， 故家庭教育支出为万元 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合平均数公式和相关系数的求解公式得出相关系数 r，再结合相关系数判断出 y 与 t 的相关性较强。 （2）利用已知条件结合最小二乘法得出 y 关于 t 的回归方程。 （3）利用已知条件结合代入法和线性回归方程得出 2022 年该市某家庭总支出为 10 万元，预测出的该家庭教育支出。 19 【答案】（1）证明：
17、因为平面 ABC，平面 ABC，所以， 因为内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，所以， 因为，所以平面， 因为四边形 DCBE 为平行四边形，所以，所以平面， 因为平面 ADE，所以平面平面 ADE， （2）解：因为平面 ABC，所以平面 ABC， 所以， 所以当最大时，三棱锥 ACBE 体积最大， 设，则 所以，当时等号成立， 所以三棱锥 ACBE 体积的最大值为. 【解析】【分析】 （1）利用 平面 ABC 结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用三角形 内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，所以 ，再结合线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用四边形 DCBE 为平行四边形，所
18、以 ，所以 平面 ，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平面 ADE。 （2）利用 平面 ABC， ，所以 平面 ABC，再结合等体积法和三棱锥的体积公式，得出当 最大时，三棱锥 ACBE 体积最大，设 结合勾股定理得出 的值，再结合三角形的面积公式结合均值不等式求最值的方法得出 的最大值， 从而得出三棱锥 ACBE 体积的最大值。 20 【答案】（1）解：抛物线的焦点为，设点， 所以，则，可得， 故抛物线的标准方程为. （2）解：根据圆与抛物线的对称性，四边形是以轴为对称轴的等腰梯形， 不妨设，A、D 在第一象限， 设点、，则、， 联立，消去可得， 则关于的二次方程有两个不等的正根，
19、所以，解得， 依据对称性，点在轴上，可设点， 由得，所以， 解得，所以，点， ， 当且仅当时，等号成立，故当时，取得最大值 4. 【解析】【分析】 （1） 利用抛物线 求出焦点的坐标，即焦点为 ，设点 ，再结合向量的坐标表示结合数量积的坐标表示得出 p 的值，进而得出抛物线的标准方程。 （2） 根据圆与抛物线的对称性，四边形 是以 轴为对称轴的等腰梯形，不妨设 ，A、D 在第一象限，设点 、 ，再结合点与点关于 y 轴对称，则 、 ， ，再利用圆与抛物线相交，联立二者方程可得 ，则关于 的二次方程 有两个不等的正根，再利用判别式法和韦达定理和 p 的取值范围，进而结合交集的运算法则，从而得出实
20、数 p 的取值范围，依据对称性，点 在 轴上，可设点 ，由 结合两点求斜率公式得出 m 的值，从而得出点 G 的坐标，再结合三角形的面积公式和 ，再利用均值不等式求最值的方法得出 与 组成蝶形（如图所示的阴影区域）的面积 S 的最大值。 21 【答案】（1）解：当时，的定义域是， ， 设，则在单调递增，且 所以当时，；当时， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）解：由（1）得的定义域是， 令，则，在上单调递增， 因为，所以， 故存在，使得 当时，单调递减； 当时，单调递增； 故时，取得最小值，即， 由，得， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即时，取最大值 1， 【
21、解析】【分析】 （1）利用 a 的值求出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。 （2） 由（1）得 的定义域，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数 的单调性，进而得出函数 的最小值，即 ，由 ，得 ，令 ， ，再利用求导的方法判断函数 h(x)的单调性，进而得出函数 h(x)的最大值，进而证出不等式 成立。 22 【答案】（1）解：由可得，即直线 的普通方程为， 由可得，所以，即 所以曲线 C 的直角坐标方程为 （2）解：直线 的参数方程也可表示为（ 为参数） ， 将其代入可得， 设该方程的根为，则， 所以， 所以 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结
22、合参数方程与普通方程的转化方法，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，得出直线 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程。 （2） 利用直线 与曲线 C 交于 P，Q 两点，联立二者方程得出交点 P,Q 的坐标，再结合中点的坐标表示得出点 M 的坐标，再结合点 A 的坐标结合两点距离公式得出 的值。 23 【答案】（1）解：当时，由，得，解得， 当时，由，得，解得， 当时，由，得，解得， 综上，不等式的解集为 （2）解：，使，则函数的图象与直线有公共点， 因为直线恒过点， 令图象的最低点为，则 直线 PA 的斜率为， 由图象可知，当或时，函数的图象与直线有公共点， 所以实数 a 的取值范围为 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合零点分段法得出绝对值不等式 的解集。 （2） ，使 ，则函数 的图象与直线 有公共点，利用直线 恒过点 ，再结合绝对值的定义得出分段函数 f(x)的解析式，再利用分段函数 f(x)的解析式画出分段函数 f(x)图像,进而得出分段函数 f(x)的图象的最低点的坐标，再结合两点求斜率公式得出直线 PA 的斜率，由分段函数的图象和直线 的图像可知函数 的图象与直线 有公共点时的实数 a 的取值范围。
