1、高三理数第一次模拟考试试卷高三理数第一次模拟考试试卷 一、单选题一、单选题 1设，则复数对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合，则（ ） A B C D 3已知命题，；命题，则下列命题中为真命题的是（ ） A B C D 4设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A B C D 5在正四棱柱中，已知，R 为 BD 的中点，则直线与所成角的正弦值为（ ） A B C D 6将 6 名优秀教师分配到 5 个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到 1 个学校，每个学校至少分配 1 名优秀教师，则不同的分配方案共有（ ） A2400 种 B1800 种 C1
2、200 种 D1600 种 7把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A B C D 8在区间和中各随机取 1 个数 x 和 y，则的概率为（ ） A B C D 9已知为数列的前 n 项积，若，则数列的前 n 项和（ ） A B C D 10设 ，若 为函数的极小值点，则（ ） A Bmn C D 11设 P 是椭圆的下顶点，若 C 上存在点 Q 满足，则 C 的离心率的取值范围是（ ） A B C D 12设，则（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知向量，若，则 . 14已知双曲线的焦点到它的渐近线的距
3、离为，则 C 的离心率为 15记为数列的前 n 项和.若，则 . 16在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥.所得多面体的三视图中，以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）. 三、解答题三、解答题 17某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费 y（单位：元）与印刷数量 x（单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了下面的散点图及一些统计量的值. 5 3.5 0.2 2 30 0.7 7 表中，. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
4、，. （1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费 y 与印刷数量 x 的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据建立 y 关于 x 的回归方程（结果精确到 0.1） ； （3）若该图书每册的定价为 9 元，则至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于 80000 元（假设能够全部售出）. 18如图所示，经过村庄 B 有两条夹角为的公路 BA 和 BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 F，分别在两条公路边上建两个仓库 D 和 E（异于村庄 B） ，设计要求（单位：千米）. （1）若，求的值（保留根号） ； （2）若设，当为何值时
5、，工厂产生的噪音对村庄 B 的居民影响最小（即工厂 F 与村庄 B 的距离最远） ，并求其最远距离.（精确到 0.1，取） 19如图，四棱锥的底面是长方形，底面， （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值 20设函数，已知是函的极值点 （1）求 m； （2）设函数证明： 21已知抛物线的焦点为 F，且 F 与圆上点的距离的最大值为 8 （1）求抛物线 M 的方程； （2）若点 Q 在 C 上，QA，QB 为 M 的两条切线，A，B 是切点（A 在 B 的上方） ，求面积的最小值 22在直角坐标系中，的圆心为，半径为 1. （1）写出M的一个参数方程； （2）直线 与M相切，且与
6、 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴分别交于 AB 两点，若 与两坐标轴所围成的三角形 OAB 的面积为 6，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 的极坐标方程. 23已知函数. （1）当 a=1 时，求不等式的解集； （2）若，求 a 的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】设，则， 所以， ，故 ， ，则 ， 因此，复数 在复平面内对应的点位于第四象限. 故答案为：D. 【分析】设 ，则，由复数相等求出 a,b 即可求解。 2 【答案】A 【解析】【解答】因为 2 和 3 的最小公倍数为 6，故. 故答案为：A. 【分析】由集合元素的特点及
7、交集运算即可求解。 3 【答案】B 【解析】【解答】当，可得，所以命题“，”为假命题， 则 为真命题； 当 时，可得 ，所以命题“ ， ”为真命题， 为假命题， 所以命题“ ”，“ ”，“ ”为假命题，“ ”为真命题. 故答案为：B. 【分析】易知 p 为假命题，q 为真命题，即可求解。 4 【答案】A 【解析】【解答】由题进行化简： A：令 ，符合定义，A 符合题意； B：令 , ，B 不符合题意； C；令 ， ，C 不符合题意； D：令 ， ，D 不符合题意. 故答案为：A 【分析】由 ，分别计算 ， ，逐项判断即可。 5 【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示： 因为 ， 所以 是直线
8、 与 所成的角， 又 ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 故答案为：D 【分析】借助正方体结构特征易知 是直线与所成的角，求出 B1C,RB1,利用余弦定理即可求解。 6 【答案】B 【解析】【解答】将 6 名教师分组，只有一种分法，即 1,1,1,1,2，共有 ， 再排列得 ， 故答案为：B. 【分析】先按 1,1,1,1,2 分组，再进行全排列即可求解。 7 【答案】C 【解析】【解答】由题意可知，将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，可得到函数 的图象. 故答案为：C. 【分析】由 向右平移，再横坐标缩短为原来的，纵
9、坐标不变即可求解。 8 【答案】C 【解析】【解答】在区间和中各随机取 1 个数 x 和 y，所有可能性在正方形中， 令 ，即 ， 当 时， ，当 时， ， 令 ，即 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 , 因为满足 的点 在如图所示的阴影部分， 所以所求概率为 , 故答案为：C 【分析】画出 ，对应的图行，如图，由几何概型即可求解。 9 【答案】D 【解析】【解答】当 n=1 时，； 当 时， ， 于是 是以-1 为首项，-2 为公差的等差数列，所以 . 所以 ， 故答案为：D. 【分析】由 ,代入，可判断数列为等差数列，即可求解。 10 【答案】C 【解析】【解答】 ， 若 ， 是开口向下
10、的抛物线，x=m 是极小值点， 必有 ，即 ， 若 ， 是开口向上的抛物线，x=m 是极小值点， 必有 ，即 ； 故答案为：C. 【分析】求出 由为其极限值点，借助二次函数图像，分和讨论即可。 11 【答案】A 【解析】【解答】解：点的坐标为，设，则， ， 故 ， ， ， 又对称轴 ， 当 时，即 时， 则当 时， 最大，此时 ，不满足题意， 当 时，即 时， 则当 时， 最大，此时 ， 则 ，即 ， ，此时只需 ，即 ， 因为 ，即 ，则 ，即 ，所以 所以 ， 又 ， 故 的范围为 ， 综上所述的 e 的范围为 ， 故答案为：A 【分析】设 ，可得；对称轴，当，可求得,不符合； 当 ，由
11、可得 进而可求离心率的范围。 12 【答案】D 【解析】【解答】因为，则， 构造函数 ，其中 ， 当 时， ，则 ， 则 ， 所以，函数 在 上为减函数，即 ， 即 ，即 ，所以 . 故答案为：D. 【分析】构造 ，求导，确定其单调性即可求解。 13 【答案】 【解析】【解答】因为向量，所以， 又 ，所以 ， 所以 . 故答案为： . 【分析】由向量的坐标运算求得 ，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解即可。 14 【答案】 【解析】【解答】根据条件可得，则，焦点坐标为 渐近线方程为 ， 故焦点到渐近线距离 ， 故 ， 所以离心率 ， 故答案为： 【分析】确定焦点坐标，由点到线的距离公式可求 b
12、，即可求解。 15 【答案】62 【解析】【解答】因为，令，则，所以是首相和公比都为的等比数列，则，所以. 故答案为：62. 【分析】令 可得判断为等比数列，进而可求解。 16 【答案】 【解析】【解答】根据题意，在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥，如果图是正视图，则几何体若如图下图（1）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次； 图（1） 几何体若如图下图（2）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次； 图（2） 故答案为：（或）. 【分析】如图，由图（1） （2）即可求解。 17 【答案】（1）解：由散点图判断更适合作为该图书每册的成本费 y 与印刷数量 x 的回归方程
13、. （2）解：令，先建立 y 关于 u 的线性回归方程， 由于，故， 所以 y 关于 u 的线性回归方程为， 从而 y 关于 x 的回归方程为； （3）解：假设印刷 x 千册，依据题意得，解得 x12， 所以至少应该印刷 12000 册图书，才能使销售利润不低于 80000 元. 【解析】【分析】 （1）由散点图即可判断更适合； （2） 令，先建立 y 关于 u 的线性回归方程， 代入数据，即可求解； （3）由（2）可得 ，求解即可。 18 【答案】（1）解：若，又由，所以此时， 又因为为边长为 3 的等边三角形，所以， 在直角中，因为，所以， 在直角中，可得. （2）解：若，在中，所以， 在
14、中，其中， 所以 ， 即， 当且仅当时，即时，取得最大值 27， 此时（千米） ， 所以当时，工厂产生的噪音对村庄 B 的居民影响最小， 此时工厂距离村庄 B 的最远距离约为 5.2 千米. 【解析】【分析】 （1）由题意可得， 在 直角中 求得 DB，进而在 直角中 ，可求 BF; (2) 在中 ,由正弦定理可得，进而在中 ，由余弦定理化简可得， 从而解决问题。 19 【答案】（1）证明：因为平面，平面，则， 因为，平面， 因为平面，因此，平面平面. （2）解：因为底面，四边形为长方形， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、， 所以， 因为，所以，得
15、，所以 因为，、， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 设与平面所成角为，则 所以与平面所成角的正弦值为 【解析】【分析】 （1）由题意可证，结合可证平面，即可求解； （2）如图建立空间直角坐标系，设 ，由线面夹角的向量计算公式即可求解。 20 【答案】（1）解：由题意可知， 则， 因为是函数的极值点，所以， 所以，故；经检验成立 （2）解：由（1）得， 设，则， 当时，即，所以在区间单调递增； 当时，即，所以在区间单调递减， 因此当时， 考虑的定义域，即当时，同时还要求， 即要求，故的定义域为 且 ， 要证，因为，所以只需证， 即需证， 令，则且，则只需证， 即证， 令，则，所以在
16、区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以，即成立； 综上，证明见解析. 【解析】【分析】 （1）求出， 由题意可得，即可求解； （2）设 ，可证， 此时要证，因为，所以只需证，令，则且，则只需证， 构造，通过求导，确定单调性即可求解。 21 【答案】（1）解：由题意知，圆 C 的半径为，所以， 即，解得，所以抛物线 M 的方程为 （2）解：设， 直线 AB 的方程为，联立方程组， 消去 x，得， 则， 所以， 因为，所以或，则或， 所以切线 QA 的斜率为，其方程为，即， 同理切线 QB 的斜率为，其方程为 联立方程组,解得,即点 Q 的坐标为， 因为点 Q 在圆 C 上，所以，且， 即，满足
17、判别式的条件 点 Q 到直线 AB 的距离为，所以， 又由，得， 令，则，且， 因为在区间上单调递增，所以当时，t 取得最小值 4， 此时，所以面积的最小值为 16 【解析】【分析】 （1）由题意可得，即可求出 P,从而解决问题； （2） 设，直线 AB 的方程为 ，与抛物线方程联立，结合伟大丁，由弦长公式可求 ， 再通过导数的几何意义求出切线 QA 的方程 ，及切线 QB 的方程 ，两方程联立即可求 Q 的坐标，再由点到线的距离公式求出 Q 到直线 AB 的距离 ，从而得到 ，进而可求最小值。 22 【答案】（1）解：由题意可知，的标准方程为， 所以的参数方程为（为参数）. （2）解：由题意
18、可知，切线的斜率存在，设切线方程为 y=kx+b，即 kx-y+b=0， 因为圆心到直线 的距离为 1，所以， 化简得， 又，所以，即 由题意可知，k0，故， 联立方程组，解得， 所以直线 l 的直角坐标方程为，或， 所以直线 l 的极坐标方程为或. 【解析】【分析】 （1）写去圆的标准方程，即可得参数方程； （2） 设切线方程为 y=kx+b ，由 圆心到直线 的距离为 1 ，可得 ，再由 可得 ，两方程联立即可求解。 23 【答案】（1）解：当 a=1 时， 故，即， 当 x-1 时，得 5-2x+37，解得-2x-1； 当-1x4 时，得 54 时，得 52x-37，解得 40 时，等价于 a+42a，或 a+4-2a，解得 0a4， 综上，a 的取值范围为. 【解析】【分析】 （1）当 a=1 时，去绝对值得 ，分段求解即可； （2）由绝对值不等式的性质可得 进而由 ， 即可求解。
