1、第七节立体几何中的向量方法第七节立体几何中的向量方法1直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所的有向线段所在直线与直线在直线与直线l_或或_，则称此向量，则称此向量a为直线为直线l的的方向向量方向向量(2)平面的法向量：直线平面的法向量：直线l，取直线，取直线l的方向向量的方向向量a，则，则向量向量a叫做平面叫做平面的法向量的法向量平行平行重合重合2空间位置关系的向量表示空间位置关系的向量表示位置关系位置关系向量表示向量表示直线直线l1，l2的方向向量的方向向量分别为分别为n1，n2l1l2n1
2、n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线直线l的方向向量为的方向向量为n，平面平面的法向量为的法向量为mlnmnm0lnmnm平面平面，的法向量分的法向量分别为别为n，mnmnmnmnm03.利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角求两条异面直线所成的角设设a，b分别是两异面直线分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则的方向向量，则l1与与l2所成的角所成的角a与与b的夹角的夹角a，b范围范围_0a，b 关系关系cos |cosa，b|_(2)求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a，平面，平面的法向量为的法向量为n，直线，
3、直线l与平与平面面所成的角为所成的角为，则，则sin _(3)求二面角的大小求二面角的大小若若AB、CD分别是二面角分别是二面角l的两个面内与棱的两个面内与棱l垂垂直的异面直线，则二面角的大小就是直的异面直线，则二面角的大小就是_的的夹角夹角(如图如图771) |cosa，n|设设n1，n2分别是二面角分别是二面角l的两个面的两个面，的法向的法向量，则向量量，则向量n1与与n2的夹角的夹角(或其补角或其补角)的大小就是的大小就是_(如图如图771)二面角的平面角的大小二面角的平面角的大小1怎样求平面的法向量？怎样求平面的法向量？2如何确定一个二面角的两个半平面的法向量夹角与如何确定一个二面角的
4、两个半平面的法向量夹角与这个二面角的平面角的大小关系？这个二面角的平面角的大小关系？【提示提示】可从两个方面判断：一是观察图形，确定二可从两个方面判断：一是观察图形，确定二面角的平面角是锐角还是钝角；二是根据两个半平面的法向面角的平面角是锐角还是钝角；二是根据两个半平面的法向量的方向来确定量的方向来确定 1(人教人教A版教材习题改编版教材习题改编)设设u(2，2，t)，v(6，4，4)分别是平面分别是平面，的法向量若的法向量若，则，则t()A3B4C5D6【解析解析】，则，则uv262(4)4t0，t5.【答案答案】C【答案答案】A3已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m(0，1，
5、0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为，则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或或135 D90【答案答案】C【答案答案】A 如图如图774所示，在四棱锥所示，在四棱锥PABCD中，中，PC平面平面ABCD，PC2，在四边形，在四边形ABCD中，中，BC90，AB4，CD1，点，点M在在PB上，上，PB4PM，PB与平面与平面ABCD成成30的角的角(1)求证：求证：CM平面平面PAD；(2)求证：平面求证：平面PAB平面平面PAD.【尝试解答尝试解答】以以C为坐标原点，为坐标原点，CB所在直线为所在直线为x轴，轴，CD所在直线所在直线为为y轴，轴，CP所在直线为所在直线为z
6、轴建立如轴建立如图所示的空间直角坐标系图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面平面ABCD，1恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键标，是运用向量法证明平行和垂直的关键2证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可这的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算样就把几何的证明问题转
7、化为向量运算3证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明线与直线垂直证明 如图如图775所示，已知直三棱柱所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABC为等腰直为等腰直角三角形，角三角形，BAC90，且，且ABAA1，D、E、F分别为分别为B1A、C1C、BC的中点求证：的中点求证：(1)DE平面平面ABC；(2)B1F平面平面AEF.【证明证明】如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系Axyz，令，令ABAA14，则则A
8、(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4) (2012湖南高考湖南高考)如图如图776所示，在四棱锥所示，在四棱锥PABCD中，中，PA平面平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是是CD的中点的中点(1)证明：证明：CD平面平面PAE；(2)若直线若直线PB与平面与平面PAE所成的角和所成的角和PB与平面与平面ABCD所所成的角相等，求四棱锥成的角相等，求四棱锥PABCD的体积的体积【思路点拨思路点拨】(1)以点以点A为坐标原点建系，用向量法证为坐标原点建系，用向量法证明明CDAE，CDAP.(2)先确定平面先确定平面PAE和平
9、面和平面ABCD的法向量，再根据直线的法向量，再根据直线PB的方向向量和两个平面的法向量的夹角余弦值的绝对值的方向向量和两个平面的法向量的夹角余弦值的绝对值相等求相等求AP.【尝试解答尝试解答】如图所示，以如图所示，以A为坐标原点，为坐标原点，AB，AD，AP所在所在直线分别为直线分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴建立轴建立空间直角坐标系设空间直角坐标系设PAh，则相关各点的坐标为：则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(4，0，0)， (2012山东高考山东高考)在如图在如图778所示的几何体中，所示的几何体中，四边形四边形ABCD是等腰梯形，是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面平面AB
10、CD，AEBD，CBCDCF.(1)求证：求证：BD平面平面AED；(2)求二面角求二面角FBDC的余弦值的余弦值 【思路点拨思路点拨】(1)先证先证ADBD，再根据，再根据AEBD可证可证明结论成立明结论成立(2)根据根据ADBD知知ACBC，以点，以点C为坐标原点建立空为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法求解间直角坐标系，用向量法求解【尝试解答尝试解答】证明证明 (1)因为四边形因为四边形ABCD是等腰梯是等腰梯形，形，ABCD，DAB60，所以所以ADCBCD120.又又CBCD，所以，所以CDB30，因此因此ADB90，即，即ADBD.又又AEBD，且，且AEADA，AE，AD平面平
11、面AED，所以所以BD平面平面AED.(2)由由(1)知知ADBD，所以，所以ACBC.又又FC平面平面ABCD，因此因此CA，CB，CF两两垂直两两垂直以以C为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为所在的直线为x轴，轴，y轴，轴，z轴，建立如图所示的轴，建立如图所示的空间直角坐标系不妨设空间直角坐标系不妨设CB1，1利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角两个向量，则
12、这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为面的法向量分别为n1和和n2，则二面角的大小等于，则二面角的大小等于n1，n2(或或n1，n2)2利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角角是锐角还是钝角【解解】(1)证明证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形由由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于于D为为AA1的中点，故的中点，故DCDC1. (2012北京高考北京高考)如图如图7710(1)，在，在RtABC中，中，C90，BC3
13、，AC6.D，E分别是分别是AC，AB上的点，上的点，且且DEBC，DE2，将，将ADE沿沿DE折起到折起到A1DE的位的位置，使置，使A1CCD，如图，如图(2)(1)求证：求证：A1C平面平面BCDE；(2)若若M是是A1D的中点，求的中点，求CM与平面与平面A1BE所成角的大所成角的大小；小；(3)线段线段BC上是否存在点上是否存在点P，使平面，使平面A1DP与平面与平面A1BE垂垂直？说明理由直？说明理由【思路点拨思路点拨】(1)通过证明通过证明DE平面平面A1CD来证明来证明DEA1C.(2)以点以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求平面为坐标原点建立空间直角坐标系，求平面A1BE的
14、法向量，用向量法求解的法向量，用向量法求解(3)假设点假设点P存在，设出其坐标，然后求出平面存在，设出其坐标，然后求出平面A1DP的法的法向量，利用两个平面的法向量垂直求解向量，利用两个平面的法向量垂直求解【尝试解答尝试解答】(1)ACBC，DEBC，DEAC.DEA1D，DECD，又，又A1DCDD，DE平面平面A1DC.DEA1C.又又A1CCD，CDDED，A1C平面平面BCDE.立体几何开放性问题求解方法有以下两种：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结
15、论点或线的位置，然后再加以证明，得出结论(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在围，则存在这样的点或线，否则不存在如图如图7711，在三棱锥，在三棱锥PABC中，中，ABAC，D为为BC的中点，的中点，PO平面平面ABC，垂足，垂足O落在线段落在线段AD上，已知上，已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：证明：APBC；(2)在线段在线段AP上是否存在点上是否存在点M，使得二面角，使得二面角A
16、MCB为为直二面角？若存在，求出直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理的长；若不存在，请说明理由由用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由推理的难度，体现了由“形形”转转“数数”的转化思想的转化思想利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面、的法向量
17、的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点从近两年高考试题看，利用空间向量求空间角是每年必从近两年高考试题看，利用空间向量求空间角是每年必考内容，重点考查向量方法的应用，在利用平面的法向量求考内容，重点考查向量方法的应用，在利用平面的法向量求二面角大小时，两个向量的夹角与二面角的平面角相等还是二面角大小时，两个向量的夹角与二面角的平面角相等还是互补，是学生的易错易误点
18、，解答此类题目时应特别注意答互补，是学生的易错易误点，解答此类题目时应特别注意答题的规范化题的规范化(1)证明：证明：AA1BC；(2)求求AA1的长；的长；(3)求二面角求二面角ABCA1的余弦值的余弦值【规范解答规范解答】(1)取取BC，B1C1的中点分别为的中点分别为D和和D1，连接连接A1D1，DD1，AD.由由BB1C1C为矩形知，为矩形知，DD1B1C1.因为平面因为平面BB1C1C平面平面A1B1C1，所以所以DD1平面平面A1B1C1.又由又由A1B1A1C1知，知，A1D1B1C1.(2)判断法向量的夹角与二面角的大小关系，一般有两种判断法向量的夹角与二面角的大小关系，一般有
19、两种方法：一是观察法，借助几何体观察二面角是锐二面角还是方法：一是观察法，借助几何体观察二面角是锐二面角还是钝二面角；二是判断法向量的方向，同指向二面角内或外则钝二面角；二是判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则向量夹向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则向量夹角与二面角相等角与二面角相等1(2012广东高考广东高考)如图如图7713所示，在四棱锥所示，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形，PA平面平面ABCD，点，点E在线段在线段PC上，上，PC平面平面BDE.(1)证明：证明：BD平面平面PAC；(2)若若PA1，A
20、D2，求二面角，求二面角BPCA的正切值的正切值【解解】(1)证明证明PA平面平面ABCD，BD平面平面ABCD，PABD.同理由同理由PC平面平面BDE可证得可证得PCBD.又又PAPCP，BD平面平面PAC.(2)如图，分别以射线如图，分别以射线AB，AD，AP为为x轴，轴，y轴，轴，z轴轴的正半轴建立空间直角坐标系的正半轴建立空间直角坐标系由由(1)知知BD平面平面PAC，2(2012福建高考福建高考)如图如图7714，在长方体，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AA1AD1，E为为CD的中点的中点(1)求证：求证：B1EAD1.(2)在棱在棱AA1上是否存在一点上是否存在一点P，使得使得DP平面平面B1AE？若存在，？若存在，求求AP的长；若不存在，说明理由的长；若不存在，说明理由(3)若二面角若二面角AB1EA1的大小为的大小为30，求，求AB的长的长
