1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望4.2 随机变量的方差随机变量的方差4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数4.4 矩与协方差矩阵矩与协方差矩阵. . . 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量
2、的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了. . .例如：例如：1. 评定某工厂生产的一批灯泡的质量，一般评定某工厂生产的一批灯泡的质量，一般是评定灯泡的寿命，寿命是随机变量，通常是评定灯泡的寿命，寿命是随机变量，通常只需知这批灯泡的平均寿命以及相对于这个只需知这批灯泡的平均寿命以及相对于这个平均寿命的偏离程度就够了。平均寿命的偏离程度就够了。. . .2. 钢厂生产的一批钢锭，它的含碳量和钢厂生产的一批钢锭，它的含碳量和其硬度有密切的关系，因此，除了掌握其硬度有密切的关系，因此，除了掌握含碳量和平均硬度，还有必要了解含碳含碳量和平均
3、硬度，还有必要了解含碳量与硬度之间的联系，特别希望知道彼量与硬度之间的联系，特别希望知道彼此有无线性关系。此有无线性关系。. . .由此可见在随机变量的研究中，常由此可见在随机变量的研究中，常常需要去研究某些与随机变量有关的，常需要去研究某些与随机变量有关的，能反映随机变量重要特征的能反映随机变量重要特征的“数数”，我，我们把这种们把这种“数数”称作随机变量的称作随机变量的数字特数字特征征。. . . 最常用的数字特征最常用的数字特征 数学期望数学期望 方差方差 协方差、相关系数协方差、相关系数 矩矩. . .4.1.1 一维随机变量数学期望的定义一维随机变量数学期望的定义数学期望是最基本的数
4、字特征，数学期望是最基本的数字特征，数学期望是能够体现随机变量取值的数学期望是能够体现随机变量取值的平均数。平均数。让我们先看一个简单的例子：让我们先看一个简单的例子：4.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望. . .例例: 在一次测验中，在一次测验中，10名学生有名学生有2人得人得70分，分，5人得人得80分，分，3人得人得90分，那么他们分，那么他们的平均成绩为的平均成绩为81分，具体计算方法为：分，具体计算方法为：(70 280 590 3) 1070 0.280 0.590 0.3 换个角度，若将换个角度，若将10个学生中任一个人的个学生中任一个人的测验成绩看成随机变量测验成绩看成
5、随机变量X，则，则X的概率的概率分布为分布为. . . 上面平均分算式的右端正好是上面平均分算式的右端正好是 X 的各的各个可能取值与相应概率乘积之和，所以由个可能取值与相应概率乘积之和，所以由 所确定的数字特征恰好是随所确定的数字特征恰好是随机变量的平均值。机变量的平均值。kkkx P Xx. . .考虑到考虑到 X 随机变量会有无穷多个可能值随机变量会有无穷多个可能值xk，同时这些同时这些 xk 可正可负，而平均值应当与可正可负，而平均值应当与求和的次序无关，反映在数学上便是要求求和的次序无关，反映在数学上便是要求级数级数 绝对收敛绝对收敛。kkkx p. . .111,1,2,.,()(
6、)kkkkkkkkkkkEXP Xxpkx px pXE XXx p 设设离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布律律为为若若级级数数绝绝对对收收敛敛 则则称称级级数数为为随随机机变变量量的的数数学学期期望望 记记为为. .即即定定义义4.14.1简称简称期望期望或或均值均值.Xkpnxxx21nppp21. . .关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数是一个实数, 而非变量而非变量, 它是一种它是一种加加权平均权平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, 也称
7、也称均值。均值。 (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不随保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的取可能值的平均值平均值,它不应随可能值的排列次序而改变。它不应随可能值的排列次序而改变。. . .例例4.2 设某口袋中装有标号设某口袋中装有标号i的球的球i只只(i=1,2, ,n), 现在现在从中随机取出一只从中随机取出一只, 求所得球上号码的数学期望求所得球上号码的数学期望.解解 设设X表示所取球上的号码，则表示所取球上的号码，则X的分布律为的分
8、布律为 P(X=i)=2i/n(n+1), i=1,2, ,n于是于是21122()(1)(1)2(1)(21)21(1)63nniiiE Xiin nn nn nnnn n . . .到站时刻到站时刻 7:10 7:30 7:50 8:10 8:30 8:50 概率概率 1/5 2/5 2/5一旅客一旅客7:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望.例例4.3 按规定按规定, 某车站每天某车站每天7:008:00, 8:009:00 都都恰有一辆客车到站恰有一辆客车到站, 但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者到且两者到站的时间相互独立。其规律为：站的时间相互独立
9、。其规律为： . . .其分布率为其分布率为以分计以分计为为解：设旅客的候车时间解：设旅客的候车时间),(X X 10 30 50 70 90 kp25251155 1255 1255 1270()( ) ( )55P XP ABP A P B上上表表中中例例如如7:10,8:30ABX其其中中 为为事事件件“第第一一班班车车到到站站” 为为事事件件“第第二二班班车车到到站站”候候车车时时间间 的的数数学学期期望望为为32122()103050709030.865252525E X 分分. . .4.1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为
10、是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在在数轴上取很密的分点数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则则X落在小区落在小区间间xi, xi+1)的概率是的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(小区间小区间xi, xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为()iif xx)(1iiixxxf. . . 由于由于xi与与xi+1很接近很接近, 所以区间所以区间xi, xi+1)中的值中的值可以用可以用xi来近似代替来近似代替.iiiixxfx)(这正是这正是dxxfx)(的渐近和式的渐近和式. 近似近似,iixxf )(因此因此X与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型
11、r.v 的数学的数学期望期望是是小区间小区间xi, xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为()iif xx. . .由此启发我们引进如下定义由此启发我们引进如下定义.定义定义4.2 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果积分如果积分( )xf x dx绝对收敛绝对收敛, 则称此积分值为则称此积分值为 X 的的数学期望数学期望, 即即请注意请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分的积分.()( )E Xx f x dx . . .例例4.4 由由5个相互独立工作的电子装置，它们个相互独立工作的电子
12、装置，它们的寿命的寿命Xk (k=1,2,3,4,5) 服从同一指数分布，其服从同一指数分布，其概率密度为概率密度为 (1) 若将若将5个装置并联成整机，求整机寿命个装置并联成整机，求整机寿命M的的数学期望。数学期望。(2) 若将若将5个装置串联成整机，求整机寿命个装置串联成整机，求整机寿命N的的数学期望。数学期望。00( )00 xexf xx . . .解解 Xk 的分布函数为的分布函数为 10( )00kxXexFxx (1) 若将若将5个装置并联成整机个装置并联成整机5max( )( )FxF x 51000 xexx 125max(,)MXXX 先先求求的的分分布布函函数数 M的概率
13、密度为的概率密度为4max5 10( )00 xxeexfxx max()( )E Mxfx dx 405(1)xxxeedx 13760 . . . N的概率密度为的概率密度为125minmin(,)( )NXXXFx 先先求求的的分分布布函函数数51000 xexx 5min( )11( )FxF x 5min50( )00 xexfxx (2) 若将若将5个装置串联成整机个装置串联成整机min()( )E Nxfx dx 50155xxedx ()11.4()E ME N()E M 13760 1()5E N 此即说明此即说明: 并联组成整机的平均寿命是串联组成并联组成整机的平均寿命是串
14、联组成整机的平均寿命的整机的平均寿命的11.4倍倍。. . .例例4.5 设随机变量设随机变量X服从服从Cauchy分布分布，其概率密度为，其概率密度为 21, .1fxxRx 求证：求证：E(X)不存在不存在.解解：因为：因为 22220020112111111ln(1)|.xfx dxxdxxxdxdxxxx . . .1. 离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望4.1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望若若 Y=g(X), 且且, 2, 1, kpxXPkk则则1( )( ()()kkkE YE g Xg xp 2. 连续型随机变量函数的数学期望连续型随机
15、变量函数的数学期望 X 是连续型的是连续型的,它的概率密度为它的概率密度为 f (x) , (,( )g xf x dx 绝绝对对收收敛敛若若则则有有( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx 1(),kkkg xp 若若绝绝对对收收敛敛. . .1(),( ) ()( ) ( ),kkkg xpXE YE g Xg x f x dxX 离离散散型型连连续续型型 该公式的重要性在于该公式的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 这这给求随机变量函数的期望带来很大方便给求随机
16、变量函数的期望带来很大方便.Y=g(X) 的数学期望为：的数学期望为：. . .3. 二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望(1),( , ), (,)(,)ijijijE g X Yg xX Yg x yyp 设设为为离离散散型型随随机机变变量量为为二二元元函函数数 则则(,)ijX Yp其其中中的的联联合合概概率率分分布布为为 (,)( , ) ( , )ddE g X Yg x y f x yxy (2),( , ),X Yg x y设设为为连连续续型型随随机机变变量量为为二二元元函函数数 则则(,)( , )X Yf x y其其中中的的联联合合概概率率密密度度为为. .
17、.(1) 若若(X,Y)为二维离散型随机变量，则为二维离散型随机变量，则 .iiijjjE Xx pE Yy p iijijx p jijijy p ( )dYyfyy (2) 若若(X,Y)为二维连续型随机变量，则为二维连续型随机变量，则 ,d d ,d dE Xx fx yx yE Yy fx yx y ( )dXxfxx . . .补充例补充例： 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X 202P0.40.30.32(),(35)E XEX 求求。解解因而由数学期望的定义得到因而由数学期望的定义得到()( 2)0.400.320.30.2E X 2222(35)3( 2)50.430
18、50.33250.3EX 13.4 . . .例例4.8 已知随机变量已知随机变量X 的联合密度为的联合密度为求求 E(3X) ,E(e 4X) 。0( )0 xexf x 其其它它003(3)33()(|3)xxxEXdxxe dexxef xx 解解445050()11()|5)5xXxxE edxedxxeef . . .例例4.9 已知已知 (X,Y) 的联合密度为的联合密度为601,02(1)( , )0 xyxyxf x y 其其它它()( , )E Xx f x y dxdy 解解12(1)2006xdxx ydy 2122(1)0062xyx dx 122012(1)xx dx
19、 25 21xy2(1)yx:(),( ),()E XE YE XY求求。. . .( )( , )E Yy f x y dxdy 2122006ydyxy dx 212220062yxy dy 22203(2)4yy dy 45 21xy2(1)yx. . .()( , )E XYxyf x y dxdy 21xy2(1)yx12(1)22006xdxx y dy 3122(1)0063xyx dx 123016(1)xx dx 132016(1)xx dx 415 ()()( )E XYE XE Y本本例例中中, ,. . .例例4.10 假定国际市场每年对我国某种商品的需求量假定国际市场
20、每年对我国某种商品的需求量是一个随机变量是一个随机变量X(单位单位:吨吨)，它在，它在(2000,4000)上服从上服从均匀分布均匀分布. 已知每售出一吨该商品可赚已知每售出一吨该商品可赚3万美元，但万美元，但如果销售不出去，每吨需仓储等费用如果销售不出去，每吨需仓储等费用1万美元万美元. 试问试问外贸部门应组织多少货源才能使收益的期望值最大外贸部门应组织多少货源才能使收益的期望值最大.解解:设应组织设应组织 k 吨货源，记吨货源，记Y为收益为收益, 则则3(),()3 ,XkXXkYg XkXk 4,3 ,XkXkkXk 1,20004000( )20000,Xxfx 其其它它. . .4,
21、()3 ,XkXkYg XkXk 1,20004000( )20000,Xxfx 其其它它( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx 400020001( )2000g x dx 4000200011(4)320002000kkxk dxkdx21(70004000000)1000kk当当 k=3500 时时, E(Y)最大最大 . . .设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 000)(xxexfx的数学期望。的数学期望。求求XeY2 解解:Y是随机变量是随机变量X的函数的函数,31)()(022 dxeedxxfeYExxx. . .1. 设设 C 是常数是常
22、数, 则有则有 E(C)=C 。2. 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数, 则有则有()()E CXCE X 。4.1.4 数学期望的性质数学期望的性质3. 设设 X, Y 是两个随机变量是两个随机变量, 则有则有()()( )E XYE XE Y 。注意：注意：()()( )E XYE XE Y 。11()nniiiiiiEa Xa E X 推推广广：. . .(3) 设二维设二维(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y)，其边缘，其边缘 密度为密度为fX(x), fY(y)则则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)()E XY() ( , )xy f x y dxdy
23、 ( , )( , )xf x y dxdyyf x y dxdy ()( )E XE Y( )( )xYxfx dxyfy dy( , )( , )xf x y dy dxyf x y dx dy. . .4. 设设 X, Y 是是相互独立相互独立的随机变量的随机变量, 则有则有()() ( )E XYE X E Y 。11:()nniiiiEXE X 推推广广(各各Xi相互独立相互独立时时). . .( 4)若若 X，Y相互独立相互独立，则，则E(XY)=E(X)E(Y)( , )( )( )XYf x yfx fy()( , )E XYxyf x y dxdy ( )( )XYxyfxf
24、y dxdy ( )( )XYxfx dxyfy dy () ( )E X E Y 因为因为 X，Y相互独立，相互独立，. . .nM 将将 个个球球放放入入个个盒盒子子中中，设设每每个个球球落落入入各各个个盒盒子子是是等等可可能能的的，求求有有球球盒盒子子的的数数学学期期望望。解iX引引入入随随机机变变量量1,1,2,0,iiXiMi 第第 个个盒盒子子有有球球。第第个个盒盒子子无无球球120-111,1-MinXXXXXMM 则则。且且每每个个服服从从分分布布，由由于于每每个个球球落落入入各各个个盒盒子子的的概概率率均均为为而而不不落落入入该该盒盒子子的的概概率率为为（）例例4.11. .
25、 .101niP XM 所所以以1111,niP XM1,2,.iM 12()()ME XE XXX 得得12()()()ME XE XE X 111nMM 本题将本题将X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和,然后利用然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量期望之和来随机变量和的数学期望等于随机变量期望之和来求，这种处理方法具有一定的求，这种处理方法具有一定的普遍意义普遍意义。. . .(1)(1, ),)XBpE Xp 若若则则(2)( ,XB n pE Xnp 若若则则(3)( ),()EXX 若若则则(4)( , )(,)2XUaEaXbb 若若则则5),(1)E XX 若若服服
26、从从参参数数为为 的的指指数数分分布布 则则2(6)(),(,)XNE X 若若则则常见分布的期望常见分布的期望. . .练习：练习： 把数字把数字1,2,n 任意地排成一列，如果数字任意地排成一列，如果数字k 恰好出现在第恰好出现在第 k 个位置上，则称为一个巧合，求个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望巧合个数的数学期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解解: 设巧合个数为设巧合个数为X，引入引入 1,0kkkX 数数字字 恰恰好好出出现现在在第第 个个位位置置上上，否否则则 k=1,2, ,nnkkXX1则则!)!1(nnn1nkkXEXE1)()(故故11nn. . .
27、 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.4.2方差方差. . . 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两，现用甲、乙两台仪器各测量台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐标上的点表用坐标上的点表示如图：示如图：哪台仪器好一些呢？哪台仪器好一些呢？ a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a
28、因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 a乙仪器测量结果乙仪器测量结果. . .又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：哪门炮射击效果好一些呢哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心中心中心. . . 由此可见由此可见, 研究随机变量与其均值的偏离程度是研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的十分必要的.那么用怎样的量去度量这个偏离程度呢那么用怎样的量去
29、度量这个偏离程度呢?这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差方差()E XE X能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度. 容易看到容易看到2() EXE X来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.但由于上式带有绝对值但由于上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量. . .4.2.1 随机变量方差的概念随机变量方差的概念222,() ,() ,()Va()r(),()Var()() ,()D XXEXE XXEXE XEXE XXD XXD X X 设设是是一一个个随随机机变变量量
30、 若若存存在在 则则称称为为的的方方差差 记记为为或或即即称称为为标标准准差差或或均均方方差差 记记为为。1. 方差的定义方差的定义. . .方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分取值分散程度的量。散程度的量。 方差的意义方差的意义D(X)是刻画是刻画X取值分散程度的一个量。取值分散程度的一个量。如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取值分散程度大取值分散程度大, E(X) 的代表性差。的代表性差。如果如果 D(X) 值小值小, 则表示则表示X 的取值比较集中的取值比较集中, 以以 E(X) 作为随机变量的代表性好。作为随机变量的代表性好。. . .离散型
31、随机变量的方差离散型随机变量的方差 21()()kkkD XxE Xp 。连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差2()()( )dD XxE Xf xx 2. 随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算利用定义计算 ( )f xX其其中中为为 的的概概率率密密度度。,1,2,kkP XxpkX 其其中中是是的的分分布布律律。()0.D X . . .)()()(22XEXEXD 证明证明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式计算利用公式计算22()()()E XD XE X注意注意.
32、 . .补充例补充例 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X 202P0.40.10.5(),()E XD X求求。解解2222()= () ( 20.2)0.4(00.2)0.1(20.2)0.5D XEXE X ()( 2) 0.40 0.12 0.50.2E X 3.56 。. . .1,10,( )1,01,0,.()Xxxf xxxD X 设设随随机机变变量量具具有有概概率率密密度度其其他他求求。解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE0 例例4.13 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE16 22)()()(XEXEXD 2061 16 。. . .4.
33、2.2 方差的性质方差的性质(1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有( )0D C 。(2) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有2()()D CXC D X 。()()( )D XYD XD Y 。(3) 设设 X, Y 相互独立相互独立, D(X), D(Y) 存在存在, 则则(4)()01,D XXC 的的充充要要条条件件是是以以概概率率取取常常数数即即1P XC 。2(5)( )(),( )()f xE XxxE Xf xD X 函函数数当当时时取取得得最最小小值值。2()()D XE Xx即即()()DXD X. . .证明2(3)()()() D
34、 XYEXYE XY 2)()(YEYXEXE 22()( )()(2)E XEXE XYE YE XE YE Y ()()( ).D XYD XD Y ,()( )X YXE XYE Y若若相相互互独独立立 则则与与也也相相互互独独立立()( )()(0)0 0E XE XE YE YEXE XYE Y . . .推广推广11222221122()()()()nnnnD k Xk Xk Xk D Xk D Xk D X则则有有相相互互独独立立若若,21nXXX 此性质说明此性质说明：随机变量随机变量X与数学期望的偏离程与数学期望的偏离程度比其它任何值的偏离程度都小。度比其它任何值的偏离程度都
35、小。(5) ()()D XD Xx 22()()E XxE Xx 2()E Xx (),xE X 当当时时 等等号号成成立立。. . .1. 两点分布两点分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有, p 22)()()(XEXEXD 222)1(01ppp .pq pq4.2.3 重要分布的期望与方差重要分布的期望与方差. . . 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,即即XB(n,p), 其分布律为其分布律为若设若设10iiXi 如如第第 次次试试验验成成功功如如第第 次次试试验验失失败败i=1,2
36、，n 则则 是是n次试验中次试验中“成功成功” 的次数的次数.1niiXX 设设 X 表示表示n重努里试验中的重努里试验中的“成功成功” 次数次数 . 2. 二项分布二项分布 (1),kkn knP XkC pp0,1,2, , 01.knp. . .于是于是i=1,2, , n 由于由于X1,X2, Xn 相互相互独立独立niiXDXD1)()(= np(1 p)E(Xi) = p, D(Xi)= p(1 p) ,分布，所以分布，所以是是可知可知10 iXnpXEXEnii 1)()(),( , )()1,().E XXB n pnp D Xnpp即即若若则则. . .2. 二项分布二项分布
37、 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p则有则有)(0kXPkXEnk knknkppknk )1(0 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n, p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为. . .knknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp.np )1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnpnp. . .)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE npppnkkkknknk )1()1(0npppknknk
38、kknknk )1()!( !)1(0. . .nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn 22)()()(XEXEXD 222)()(npnppnn ).1(pnp npppkknnpnnknknk )2()2(222)1()!2()!()!2()1()1(pnp . . .3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,e! kkkXPk则有则有 0e!)(kkkkXE 11)!1(ekkk ee . 且且分分布布律律为为设设),( X . . .)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0e!)1(kkkkk 222)!2(ekkk ee22所以所以22)()()
39、(XEXEXD 22 (),(),.E XDXX 即即若若则则. . .4. 均匀分布均匀分布则有则有xxxfXEd)()( baxxabd1).(21ba ., 0,1)(其其他他bxaabxf其其概概率率密密度度为为设设, ),(baUX).(21ba . . .22)()()(XEXEXD 222d1 baxabxba2()12ba 2()(),().21( , )2,XU a babbaE XD X若若则则. . .5. 指数分布指数分布 ,e,0,( )0.0,0.xXxf xx 设设随随机机变变量量服服从从指指数数分分布布 其其概概率率密密度度为为其其中中则有则有xxxfXEd)(
40、)( 01edxxx 2221()()()D XE XE X 222202()( )dedxE Xx f xxxx . . .6. 正态分布正态分布其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有则有xxxfXEd)()( .de21222)(xxx tx 令令, tx ., 0,e21)(222)( xxfxtttde )(2122 22221eded22ttttt xxXExde21)(222)( 所所以以. . .de21)(222)(2xxx xxfxXDd)()()(2 2222ed2x ttx ttt 令令 ttttdee2222222202 .2 22(),)(),(XNE XD X
41、 若若则则. .222de2tt . . .10 pp)1(pp 10,1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 1 21 分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布0, 2常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差. . .两个重要结论两个重要结论211222121222221,(,),(,),(,)XYXNYNXYZaXbYcabc abZN . . 设设 与与 相相互互独独立立 服服从从正正态态分分布布 即即则则 与与 的的任任一一线线性性组组合合仍仍服服从从正正态态分分布布证明证明: 由期望和方差的性质可知由期望和方差的性质可知由于由于
42、X和和Y相互独立，故相互独立，故()()E ZE aXbYc ()()D ZD aXbYc ()( )abE XE Yc 12abc 22()( )abD XD Y 222212ab. . .练习练习：已知随机变量：已知随机变量XN(-1,1),YN(3,4), 且且X与与Y相相互独立，求随机变量互独立，求随机变量Z=2X-Y+4的概率密度。的概率密度。2(,),1,2,iiiXNin 若且它们相互独立，112212:,( ,0).nnnk Xk Xk Xk kk则它们的线性组合其中是不全为 的常数 仍然服从正态分布22112211(,)nnnniiiiiik Xk Xk XNkk且推广推广.
43、 . .22(),(),:()0,()1XE XDXXXD XXE . .设设随随机机变变量量 具具有有数数学学期期望望记记证证明明。称称 X* 为为 X 的标准化的标准化随机随机变量。变量。 ()XE XE 证证明明()XD XD ()0,()1E XD X 即即1()E X 0 21()D X 21()1D X . . .22(cm)(22.40,0.03 ),(22.50, 0.04 ),.,XNYNX Y设设活活塞塞的的直直径径 以以计计气气缸缸的的直直径径相相互互独独立立任任取取一一只只活活塞塞 任任取取一一只只气气缸缸 求求活活塞塞能能装装入入气气缸缸的的概概率率。解解22(22.
44、40,0.03 ),(22.50, 0.04 )XNYN因因为为2( 0.10,0.05 ),XYN 所所以以0 YXPYXP故故有有()( 0.10)0.00( 0.10)0.0055022PXY (2) 0.9772 例例4.6. . .解解iX引引入入随随机机变变量量1,1,2,30,iiXii 元元件件 需需要要调调整整. .元元件件 不不需需要要调调整整123123,0.1, 0.2, 0.30-1XXXXXXX则则. .且且相相互互独独立立，分分别别服服从从参参数数为为的的分分布布，例例4.18 设某台机器由设某台机器由3个元件组成，在设备运转中各个元件组成，在设备运转中各个元件需
45、要调整的概率分别是个元件需要调整的概率分别是0.1，0.2，0.3.假设各假设各个元件是否需要调整相互独立，以个元件是否需要调整相互独立，以X表示同时需要表示同时需要调整的元件数，试求调整的元件数，试求X的数学期望与方差。的数学期望与方差。. . .由数学期望与方差的性质及由数学期望与方差的性质及0-1分布的性质得到分布的性质得到E(X) =E(X1)+E(X2)+E(X3) =0.1+0.2+0.3=0.6D(X) =D(X1)+D(X2)+D(X3) =0.1 0.9+0.2 0.8+0.3 0.7=0.46. . .解法解法2：设：设A,B,C分别表示元件分别表示元件1，2，3需要调整，
46、需要调整，则则A,B,C两两相互独立。两两相互独立。X可以取值为可以取值为0, 1, 2, 3.P(X=0)=()( )() ()0.9 0.8 0.70.504P ABCP A P B P C()P ABCABCABC0.9 0.8 0.30.1 0.8 0.70.9 0.2 0.70.398()P ABCABCABCP(X=1)=P(X=2)=0.9 0.2 0.30.1 0.8 0.30.1 0.2 0.70.092P(X=3)=P(ABC)=0.1 0.2 0.3=0.006. . .所以所以X的分布律为的分布律为Xkp01230.5040.3980.0920.006E(X) =1 0
47、.398+2 0.092+3 0.006=0.6E(X 2)=1 0.398+22 0.092+32 0.006=0.82所以所以D(X)= E(X 2) (EX)2 =0.82-0.36 =0.46. . .1、 设随机变量设随机变量X服从几何分布，概率分布为服从几何分布，概率分布为PX=k=p(1-p)k-1, k=1,2,其中其中0p0, D(Y)0, 称称4.3.2 相关系数相关系数XY为为随随机机变变量量与与的的相相关关系系数数。0,XYXY 当当时时 称称和和关关。不不相相. . . *(,), ()( ),.( )XYXE XYE YXYE X YCovD YD XXY 其其中中
48、注：注：. . .相关系数的性质相关系数的性质(1)1XY (2)1:(0),11.XYa abP YaXbXY 的的充充要要条条件件是是存存在在常常数数使使，即即 与与 依依概概率率 线线性性相相关关. . .考虑考虑t的函数的函数*2( )()f tEtXY 对任意对任意t, 有有 0.f t 判别式判别式 2240.XY 故故1.XY 而而 2*2*222()21XYf tt E XtE X YE Ytt . . .(3) 不相关的充要条件不相关的充要条件o1,0;XYX Y 不不相相关关o2,(,)0;X YCov X Y不不相相关关o3,()()( )X YE XYE X E Y 不
49、不相相关关。o4,()()( )X YD XYD XD Y不不相相关关对对 X 与与 Y, 下列事实是等价的：下列事实是等价的：. . .(4) 若随机变量若随机变量X与与Y相互独立相互独立, 则则X与与Y不相关不相关.相互独立相互独立不相关不相关证：由于当证：由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)= 0.故故(,)()()XYCov X YD XD Y = 0. 请看下述反例：请看下述反例：注：其逆命题不真，即注：其逆命题不真，即. . .2(0,14.2)3,XNYX 设设例例23321()0,()02xE XE Xxedx 解解2(1,1)(1)(1)(1)P XYP XP XP
50、 Y 由由3(,)()()( )()()( )Cov X YE XYE X E YE XE X E Y (,)(,)0,0()( )XYCov X YCov X YD XD Y 于于是是且且证明证明: (1) X, Y不相关不相关; (2) X, Y不相互独立不相互独立.知知X, Y不相互独立不相互独立. . .21222112222212121( , )21()()()()1exp22(1)f x y xxyy 由由221212(,) (, ),X YN XY设设试试求求与与的的相相关关系系数数。解解,e21)(21212)(1 xxfxX2222()221( )e,2yYfyy 。例例4.
