1、专题复习专题复习函 数 思 想 学校学校准备围建一个矩形生物苗圃园其中一边靠墙准备围建一个矩形生物苗圃园其中一边靠墙（墙（墙足够长）足够长），另外三边用长为，另外三边用长为3030米的篱笆围成试问：当这个米的篱笆围成试问：当这个苗圃园垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积苗圃园垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值。最大？并求出这个最大值。 一、提出问题一、提出问题教学楼教学楼生物园生物园1.1.你是用什么方法解决这个问题的？你是用什么方法解决这个问题的？2.2.解决这个问题经历了哪些步骤解决这个问题经历了哪些步骤? ?解后反思：解后反思： 函数思想函数思
2、想 是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。和解决问题。 就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。二、反思提炼二、反思提炼 实际问题实际问题（或数学问题）（或数学问题）函数问题函数问题运用函数图像运用函数图像和性质解题和性质解题实际问题实际问题（或（或数学问题）数学问题）的的答案答案设未知数设未知数找变量间关系找变量间关系运用
3、函数思想的解题思路：运用函数思想的解题思路：检验检验EPDCBA 例例1 1 如图，已知在正方形如图，已知在正方形ABCDABCD中，中，AB=4AB=4，P P是线段是线段ADAD边上边上的任意一点（不含端点的任意一点（不含端点A A、D D），连接），连接PCPC，过点，过点P P作作PEPCPEPC交交ABAB于于E E当点当点P P在在ADAD上运动到什么位置时，线段上运动到什么位置时，线段AEAE最长？并求最长？并求出出AEAE的最大值。的最大值。三、综合应用三、综合应用 例例2 2 小明爸爸生产经销一种成本价为小明爸爸生产经销一种成本价为2020元千克的农产品，元千克的农产品，经调
4、查发现，该农产品每天的销售量与销售单价基本满足一次经调查发现，该农产品每天的销售量与销售单价基本满足一次函数关系，并且当销售单价为函数关系，并且当销售单价为2828元时，每天销售元时，每天销售2424千克；当销千克；当销售单价为售单价为3030元时，每天销售元时，每天销售2020千克千克. .设这种农产品的销售单价设这种农产品的销售单价为为x x元，每天的销售量为元，每天的销售量为y y千克，千克，（1 1）求）求y y与与x x之间的函数关系式；之间的函数关系式； （2 2）当销售单价定为多少元时每天的利润最大？最大利润）当销售单价定为多少元时每天的利润最大？最大利润是多少？是多少？（3 3
5、）在保证销售量尽可能大的前提下该商场每天还想获得）在保证销售量尽可能大的前提下该商场每天还想获得150150元的利润，应将销售单价定为多少元？元的利润，应将销售单价定为多少元？例例3 3 如图，在如图，在RTRTABCABC中，中，C=90C=90，AB=10cmAB=10cm，AC:BC=4:3AC:BC=4:3，点，点P P从点从点A A出发沿出发沿ABAB方向向点方向向点B B运动，速度为运动，速度为1cm/s.1cm/s.同时点同时点Q Q从点从点B B出出发沿发沿B-C-AB-C-A方向向点方向向点A A 运动，速度为运动，速度为2cm/s2cm/s，当一个运动点到达终，当一个运动点
6、到达终点时，另一个运动点也随之停止运动点时，另一个运动点也随之停止运动. .（1 1）求）求AC,BCAC,BC的长；的长；（2 2）设点）设点P P的运动时间为的运动时间为x x（秒），（秒），PBQPBQ的面积为的面积为y y（cmcm），当），当PBQPBQ存在时，求存在时，求y y与与x x的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3 3）PBQPBQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；若不存在，请说明理由；四、拓展提高四、拓展提高（4 4）当）当x=5x=5秒时，在
7、直线秒时，在直线PQPQ上是否存在一点上是否存在一点M M，使，使BCMBCM的周长的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由。最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由。 例例3 3 如图，在如图，在RTRTABCABC中，中，C=90C=90，AB=10cmAB=10cm，AC:BC=4:3AC:BC=4:3，点，点P P从点从点A A出发沿出发沿ABAB方向向点方向向点B B运动，速度为运动，速度为1cm/s.1cm/s.同时点同时点Q Q从点从点B B出出发沿发沿B-C-AB-C-A方向向点方向向点A A 运动，速度为运动，速度为2cm/s2cm/s，当一个运动点到达
8、终，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动点时，另一个运动点也随之停止运动. .（1 1）求）求AC,BCAC,BC的长；的长；回顾总结回顾总结 1.1.什么是函数思想？什么是函数思想？ 2.2.什么时候运用函数思想？什么时候运用函数思想？ 3.3.运用函数思想的解题思路是什么？运用函数思想的解题思路是什么？ 4.4.运用函数思想的关键点是什么？运用函数思想的关键点是什么？ 5.5.函数思想往往与哪些思想方法结合在一起？函数思想往往与哪些思想方法结合在一起？确定函数关系式的方法：确定函数关系式的方法：1.1.列表法列表法; 2.; 2.待定系数法；待定系数法；3.3.根据数量关系；
9、根据数量关系； 4.4.直接列式。直接列式。3yx bxaxy2bxax 2x31.1.如图，已知函数如图，已知函数与与（a0a0，b0b0）的图象交于点）的图象交于点P P，点，点P P的纵坐标为的纵坐标为1 1，则关于，则关于x x的的方程方程=0 =0 的解为的解为 。 课后作业课后作业 2. 2.如图，直线如图，直线y yk k1 1x xb b与双曲线与双曲线 交于交于A A、B B两两点，它们的横坐标分别为点，它们的横坐标分别为1 1和和5 5，则不等式，则不等式k k1 1x x +b+b的解集是的解集是 2kx2kyx 3.3.已知非负数已知非负数a a，b b，c c满足条件
10、满足条件a ab b7 7，c ca a5 5，设，设S Sa ab bc c的最大值为的最大值为m m，最小值为，最小值为n n，则，则m mn n.4.4.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第上，按照这样的规律摆下去，则第 个图形需个图形需要要120120个个黑色棋子黑色棋子。图形序号图形序号 n n 1 2 3 41 2 3 4棋子个数棋子个数 y y 3 8 15 243 8 15 245.5.如图（如图（1 1），在），在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，D D是斜边是斜边A
11、BAB的中点，的中点，动点动点P P从从B B点出发，沿点出发，沿B BC CA A运动，设运动，设S SDPBDPB=y=y，点，点P P运动的路程运动的路程为为x x，若，若y y与与x x之间的函数图象如图（之间的函数图象如图（2 2）所示，则）所示，则ABCABC的面积的面积为为 。6.6.某旅社有某旅社有100100张床位，每床每晚收费张床位，每床每晚收费5050元时客元时客床可全部租出去，若每床每晚收费提高床可全部租出去，若每床每晚收费提高1010元时，元时，则会减少则会减少1010张床位的租出，问如果以这种方法变张床位的租出，问如果以这种方法变化下去，为了投资少获利最大，每床应收
12、费多少？化下去，为了投资少获利最大，每床应收费多少？ 7.如图，小明的父亲在相距如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千拴绳子的地方明做了一个简易的秋千拴绳子的地方 距地面高都是距地面高都是2.5米，绳子米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树米的小明距较近的那棵树0.5米时，米时，头部刚好接触到绳子，头部刚好接触到绳子，（1）选取合适的点作为原点，建立直角坐标系，求出抛物线的解）选取合适的点作为原点，建立直角坐标系，求出抛物线的解析式；析式；（2）求绳子的最低点距地面的距离）求绳子的最低点
13、距地面的距离 8. 8. 垂直于垂直于x x轴的直线轴的直线l l从从y y轴出发，沿轴出发，沿x x轴正方向以每秒轴正方向以每秒1 1个个单位长度的速度运动，设直线单位长度的速度运动，设直线l l与菱形与菱形OABCOABC的两边分别交于点的两边分别交于点M M、N N（点（点M M在点在点N N的上方）（的上方）（1 1）求）求A A、B B两点的坐标；两点的坐标；（2 2）设）设OMNOMN的面积为的面积为S S，直线，直线l l运动时间为运动时间为t t秒（秒（0t60t6），），试求试求S S与与t t的函数表达式；的函数表达式；（3 3）在题（）在题（2 2）的条件下，）的条件下，
14、t t为何值时，为何值时，S S的面积最大？最大的面积最大？最大面积是多少？面积是多少？10.10.如图，已知在矩形如图，已知在矩形ABCDABCD中，中，AB=2AB=2，BC=3BC=3，P P是线段是线段ADAD边上的任意一点（不含端点边上的任意一点（不含端点A A、D D），连接），连接PCPC，过点，过点P P作作PEPCPEPC交交ABAB于于E E(1)(1)在线段在线段ADAD上是否存在不同于上是否存在不同于P P的点的点Q Q，使得，使得QCQEQCQE？若存在，求线段若存在，求线段APAP与与AQAQ之间的数量关系；若不存在，之间的数量关系；若不存在，请说明理由。请说明理由
15、。（2 2）当点）当点P P在在ADAD上运动到什么位置时，线段上运动到什么位置时，线段BEBE最长？最长？9.9.（1 1）已知矩形）已知矩形A A的长、宽分别是的长、宽分别是2 2和和1 1，那么是否存在另一个，那么是否存在另一个矩形矩形B B，它的周长和面积分别是矩形，它的周长和面积分别是矩形A A的周长和面积的的周长和面积的2 2倍对上倍对上述问题，小明同学从述问题，小明同学从“图形图形”的角度，利用函数图象给予了解的角度，利用函数图象给予了解决小明论证的过程开始是这样的：如果用决小明论证的过程开始是这样的：如果用x x、y y分别表示矩形分别表示矩形的长和宽，那么矩形的长和宽，那么矩
16、形B B满足满足x+yx+y=6=6，xyxy=4=4请你按照小明的论证请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程；思路完成后面的论证过程；（2 2）已知矩形）已知矩形A A的长和宽分别是的长和宽分别是2 2和和1 1，那么是否存在一个矩形，那么是否存在一个矩形C C，它的周长和面积分别是矩形，它的周长和面积分别是矩形A A的周长和面积的一半？小明认的周长和面积的一半？小明认为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？例例1.1.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下
17、去，则第边上，按照这样的规律摆下去，则第 个图形个图形需要需要120120个个黑色棋子黑色棋子。图形序号图形序号 n n 1 2 3 41 2 3 4棋子个数棋子个数 y y 3 8 15 243 8 15 24二、综合应用二、综合应用如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AEBP，CFBP，垂足分别为点E、F，已 知AD=4 （1）试说明AE2+CF2的值是一个常数； （2）过点P作PMFC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值 例例3 3 如图，在如图，在RTRTABCABC中，中，C=90C=90，AB=10cmAB=10cm，AC:BC=4:3AC:BC=
18、4:3，点，点P P从点从点A A出发沿出发沿ABAB方向向点方向向点B B运动，速度为运动，速度为1cm/s.1cm/s.同时点同时点Q Q从点从点B B出出发沿发沿B-C-AB-C-A方向向点方向向点A A 运动，速度为运动，速度为2cm/s2cm/s，当一个运动点到达终，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动点时，另一个运动点也随之停止运动. .求求AC,BCAC,BC的长；的长；设点设点P P的运动时间为的运动时间为x x（秒），（秒），PBQPBQ的面积为的面积为y y（cmcm），当），当PBQPBQ存在时，存在时，求求y y与与x x的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量x x的取值范围；的取值范围；当点当点Q Q在在CACA上运动，使上运动，使PQABPQAB时，以点时，以点B,P,QB,P,Q为定点的三角形与为定点的三角形与ABCABC是否相似，请说明理由；是否相似，请说明理由；当当x=5x=5秒时，在直线秒时，在直线PQPQ上是否存在一点上是否存在一点M M，使，使BCMBCM的周长最小，的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由。若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由。 三、拓展应用三、拓展应用
