1、14.1 勾股定理第14章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（HS） 教学课件1.直角三角形三边的关系情境引入1.掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法（重点）2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想（难点）学习目标 某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火? 导入新课导入新课问题情境问题情境（图中每一格代表一平方厘米）（1）正方形P的面积是 平方厘米；（2）正方形Q的面积是 平方厘米；
2、（3）正方形R的面积是 平方厘米.121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2直角三角形三边的关系讲授新课讲授新课上面三个正方形的面积之间有什么关系？观察正方形瓷砖铺成的地面. 这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方 那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?想一想想一想P的面积(单位长度)Q的面积(单位长度)R的面积(单位长度)图2图3P、Q、R面积关系直角三角形三边关系QPRQPRABCABC916259413SP+SQ=SRBC2+AC2=A
3、B2(每一小方格表示1平方厘米)试一试试一试BC2+AC2=AB2QPRQPR把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积.QPRQPR把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.432147225S正方形R 分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.做一做做一做 由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2勾股定理勾股定理: :直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：在RtABC中 ，C=90，a2+b2=c2（勾股定理）.
4、aABCbc归归 纳纳勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.温馨提示：温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用上述这种验证勾股定理的方法是用面积法面积法 “赵爽弦图赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽年在北京召开的国际数学大会的会徽.abcS大正方形c2S小正方形(b-a)S大正方形4S三角形S小正方形赵爽弦图赵爽弦图证明：证明：b-aaaaabbbbcccc方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结
5、合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理大正方形的面积可以表示为 ;也可以表示为 .(a+b)2c2 +4ab/2 (a+b)2 = c2 + 4ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2ab a2+b2=c2 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理. 做一做做一做求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）： ?225100 x1517已知直角三角形两边，求第三边.练一练当堂练习当堂练习1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积 为 .15 cm17 cm64 cm2.判断题 ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( )
6、ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 3.填空题 在ABC中, C=90,AC=6,CB=8,则ABC面积为_,斜边为上的高为_.244.8ABCD4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少? ABC解：在RtABC中，根据勾股定理，得：BC2=AB2-AC2 =2.52-2.42 =0.49，所以BC=0.7.5.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4 km处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km.这一过程中飞机飞过的距离是多少千米？4554CBA解：在RtABC中，答：飞机飞过的距离是3km.222BC =5 -4 =9B
7、C0BC=3(km)，6.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高?12 m12 m9 m9 m解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m，根据勾股定理，得x=15, 15+9=24(m).答：旗杆原来高24 m.222912x认识勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2 课堂小结课堂小结利用勾股定理进行计算14.1 勾股定理第14章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（HS） 教学课件2.直角三角形的判定情境引入学习目标1.了解直角三角形的判定条件（重点）2.能够运用勾股数解决简单实际问题（难点
8、）* * *(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)*(1)*(2)*(3)*(4)*(5)*(6)*(7)*(8)*(9)*(10)*(11)*(12)*(13)你想知道这是什么道理吗? 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角： 他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角?导入新课导入新课讲授新课讲授新课直角三角形的判定一问题：试画出三边长度分别为如下数据的三角形，
9、看看它们是一些什么样的三角形： (1)a=3,b=4,c=5; (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10.试一试试一试 可以发现，按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按（2）所画的三角形不是直角三角形.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 在这三组数据中，（1）、（3）两组数据恰好都满足a2+b2=c2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个 三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 对于任意一个三角形，若三边长满足 a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形吗？BC 例1 已知：如图，在ABC中，AB
10、=c, BC=a, AC=b，a+b=c，求证：C=90.ABCA证明：如图，作ABC,使C=90 AC=b，BC=a， 则AB=a+b=c， 即AB=c. 在ABC和ABC中， BC=a=BC， AC=b=AC， AB=c=AB， ABCABC. C=C=90.典例精析 分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方. 例2 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形? (1) a=7，b=25，c=24; (2) a=13，b=11，c=9. 解:(1)最长边为25， a2+c2=72+242 =49+576 =625
11、，b2=252 =625， a2+c2=b2. 以7, 25, 24为边长的三角形是直角三角形. (2)最长边为13， b2+c2=112+92 =121+81 =202，a2=132 =169， b2+c2a2. 以13, 11, 9为边长的三角形不是直角三角形.例 3 一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中A和DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,你说这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图1图2在BCD中， 所以BCD 是直角三角形，DBC是直角.因此，这个零件符合要求.解：在ABD中， 所以ABD 是直角三角形，A是直角. 例4 已知ABC，AB=
12、n-1，BC=2n，AC=n+1（n为大于1的正整数）.试问ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由解：AB+BC=(n-1)+(2n) =n4 -2n+1+4n =n4 +2n+1 =(n+1) =AC，ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.先确定AB、BC、AC、的大小 能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.例如3 ,4 ,5 ；6, 8, 10； n-1,2n,n+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数.勾股数二例5 下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132A方法点拨：根据勾股数
13、的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.当堂练习当堂练习1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是( ) A.3 4 7 B.5 12 13 C.1 2 4 D.1 3 52. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形BA4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么? 解：是直角三角形，因为a2+b2=c2,满足勾股定理的逆定理.3.以ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是
14、25, 144 , 169, 则这个三角形是_三角形.直角5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 与你的同伴交流.412243解:由题意可知ABE，DEF，FCB均为直角三角形. 由勾股定理，知 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5， BF2=32+42=25， BE2+EF2=BF2. BEF是直角三角形.一定是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.课堂小结课堂小结勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数14.1 勾股定理第14章 勾股定理导入新课讲授
15、新课当堂练习课堂小结八年级数学上（HS） 教学课件3.反证法情境引入学习目标1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.(重点)2.理解并体会反证法的思想内涵.（难点）3.通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念.导入新课导入新课 如图，在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（abc）有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？c ca ab bA AC CB B 解析：由a2 +b2 c2 ，根据勾股定理的逆定理可知C=90，这个三角形一定是直角三角形.复习引入讲授新课讲授新课反证法 若将上面的条件改为“在ABC中，AB=c，BC=a
16、,AC=b（abc）,a2 +b2 c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.c ca ab bA AC CB B 探究： （1）假设它是一个直角三角形;（2）由勾股定理，一定有a2 +b2 c2，与已知条件a2 +b2 c2矛盾；（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.问题探究 这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。探究发现像这样的证明方法叫“反证法”.例1 写出下列各结论的反面：（1）ab； （2）a0；（3）
17、b是正数；（4）ab.a60,B60,C60三角形的内角和为180ABC中至少有一个内角小于或等于60点拨：至少的反面是没有！A+B+C60+60+60=1801.试说出下列命题的反面：（1）a是实数; （2)a大于2;（3）a小于2; （4）至少有2个; （5）最多有一个; （6）两条直线平行;2.用反证法证明“若a2 b2,则a b”的第一步是 .3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 .a不是实数a小于或等于a大于或等于没有两个一个也没有两直线相交假设a=b假设这个三角形是等腰三角形当堂练习当堂练习4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角
18、”的结论的否定是（ ） A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角5.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ） A.a，b，c都是奇数 B. a，b，c都是偶数 C. a，b，c中至少有两个偶数 D. a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数CD6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a. 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”,因为a是整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. 假设不成
19、立，故2能整除a.原词语 否定词 原词语 否定词 等于任意的是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x成立对任何x不成立 7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式. 不是不都是不大于 不小于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某个x不成立存在某个x成立不等于某个反证法概念课堂小结课堂小结反证法证明的思路：假设命题不成立正确的推理,得出矛盾肯定待定命题的结论.证明步骤14.2 勾股定理的应用第14章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（HS） 教学课件情境引入学习目标1.能运用勾股
20、定理及其逆定理解决简单的实际问题.(重点)2.经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件.（难点） 如图所示，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm)导入新课导入新课问题情境问题情境ABC分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动，如果将这半个侧面展开，得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图长方形ABCD的对角线AC之长.ABCACBD解：如图，在RtABC中，BC=底面周长的 一半=10cm.由勾股定理，可得2222AC= A
21、B +BC= 4 +10= 11610.77 cm（）答:爬行的最短路程约为10.77cm. 把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题. 例1 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到0.01cm)讲授新课讲授新课勾股定理的应用一ABAB101010BCA2222= 20 +10cmABACBC22.36（）.解：最短路程即为长方形的对角线AB,答：爬行的最短路程约是22.36cm, 例2 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面由A爬到C1需要爬行的最短路程又是多少呢？ABC
22、DB1C1D1A1分析：蚂蚁由A爬到C1过程中较短的路线有多少种情况？(1)经过前面和上底面;(2)经过前面和右面;(3)经过左面和上底面.ABCDB1C1D1A123A1BB1C1D1A1321ABCB1C1A1321ADD1A1B1C1 (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为2233 解:AAB4.24（cm）.BCDB1C1D1A123A1BB1C1D1A1212BCAC (2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为2215 AAB5.10（cm）.BCDB1C1D1A1321ABCB1C1A1212CCAC (3)当蚂蚁经过左面和上底
23、面时，如图，最短路程为A2224 AC14.47（cm）.BCDB1C1D1A1321ADD1A1B1C1212121CBAB 最短路程约为4.24cm.4.244.475.10，例3 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由. ABCD2米2.3米CDCH0.62.32.9(米)2.5(米).答：卡车能通过厂门解：在RtOCD中，CDO=90,由勾股定理，得ABMNOCDH2米米2.3米米2221 0.80.6().OCOD米 1.如图，已知CD6cm，AD8cm， ADC90o，BC24cm，AB26cm，求
24、阴影部分面积.当堂练习当堂练习解：在RtADC中，AC2=AD2+CD2（勾股定理） =82+62=100，AC=10.AC2+BC2=102+242=676=262，ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理).S阴影部分=SACB-SACD =120-24 =96. 2.如图，在ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，求证：AD2-AB2=BDCDABCDE AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)证明：过A作AEBC于E.AB=AC，BE=CE.在Rt ADE中，AD2=AE2+DE2.在Rt ABE中，AB2=AE2+BE2.= DE2- BE2= (DE+BE)( DE- BE)= (DE+CE)( DE- BE)=BDCD.勾股定理的应用最短路程问题课堂小结课堂小结勾股定理与其逆定理的应用
