1、数学试题第 1页（共 5 页）准考证号_姓名_（在此卷上答题无效）工作秘密启用前2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题数学试题本试卷共 5 页满分 150 分注意事项：1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出
2、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设实数集为R,集合1,0,1,2A ,230Bx xx，则()AC B RA1,0B1,2C1,0,1D0,1,22已知复数z的共轭复数为z，1 iz （i为虚数单位），则(1)z z A1 3iB1 3iC3iD3i3若5sin5，则cos(2 )A35B25C25D354已知0a ，则“2a ”是“2aaa”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件数学试题第 2页（共 5 页）5已知0.11.1a ,ln4b，sin2c ，则AabcBacbCbacDcab6某校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组
3、活动，现有甲、乙、丙、丁四名同学拟参加篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制， 每人只能等可能的选择参加其中一项活动， 则恰有两人参加同一项活动的概率为A964B716C916D27327 已知数列 na的前n项和为nS， 若2122()nnSannN， 且20224048a， 则1a A8B3C2D88已知函数2( )lnxf xaxaxxe有两个零点，则实数a的取值范围为A1(0, )eB(0, ) eC1( ,)eD( ,)e 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选
4、对的得 2 分，有错选的得 0 分.91()nxx的二项展开式中，第5项和第6项的二项式系数相等，则A9n B常数项为84C各项系数的绝对值之和为512D系数最小项为第5项10将函数( )sin()f xx （2）的图象沿x轴向左平移14个单位后，得到一个偶函数的图象，则A4 B( )f x关于直线34x 对称C( )f x在区间3 1(, )4 4上单调递增D若( )f x在区间(2022, )a上存在零点和极值点,则整数a的最小值为202311已知直线:10l kxyk 与圆22:(2)(2)16Cxy相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是AAB的最小值为2 6B若圆C关于直线l
5、对称，则3k 数学试题第 3页（共 5 页）C若2ACBCAB ，则1k 或17k D若A，B，C，O四点共圆，则13k 12已知棱长为4的正方体1111ABCDABC D中，14AMAB ，点P在正方体的表面上运动，且总满足0MP MC ，则下列结论正确的是A点P的轨迹所围成图形的面积为5B点P的轨迹过棱11AD上靠近1A的四等分点C点P的轨迹上有且仅有两个点到点C的距离为6D直线11BC与直线MP所成角的余弦值的最大值为35三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知函数33 ,0,( )log,0 xxf xx x则 ( 2)f f ；14若单位向量a，b满足(2
6、 )aab，则a与b的夹角为；15已知双曲线22221xyab（0a ，0b ）的左、右焦点分别为1F、2F，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足110AF BF ，21tan3ABF，则该双曲线的离心率为；16 孙子算经是我国南北朝时期的数学著作.在孙子算经中有 “物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数.设这个整数为a，当102,2a时，符合条件的a的个数为_四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （10 分）已知等比数列 na满足
7、24a ，532a （1）求数列 na的通项公式；（2）设2211loglognnnbaa，求数列 nb的前n项和nS数学试题第 4页（共 5 页）18(12 分)如图，在ABC中，已知2AB ，4 2AC ，4BAC，Q为BC的中点（1）求AQ的长；（2）P是线段AC上的一点，当AP为何值时，4AQP19 （12 分）为弘扬中华传统文化，吸收前人在修身、处世、治国、理政等方面的智慧和经验，养浩然正气，塑高尚人格，不断提高学生的人文素质和精神境界，某校举行传统文化知识竞赛活动.竞赛共有“儒”和“道”两类题，每类各5题，其中每答对1题“儒”题得10分，答错得0分；每答对1题“道”题得20分，答错
8、扣5分每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4题回答（每个题抽后不放回） ，要求“道”题中至少抽2题作答已知小明同学“儒”题中有4题会作答，答对各个“道”题的概率均为25（1）若小明同学在“儒”题中只抽1题作答，求他在这次竞赛中得分为35分的概率；（2）若小明同学第1题是从“儒”题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，应从“道”题中抽取几道题作答？20(12 分)如图，在五面体ABCDE中，已知ACBC，/ED AC，且22ACBCAEED，3DCDB（1）求证：平面BCD 平面ABC；（2）线段BC上是否存在点F，使得二面角BAEF的余弦值为2 23，若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理
9、由数学试题第 5页（共 5 页）21(12 分)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0)F，过直线l：4x 左侧且不在x轴上的动点P，作PHl于点H，HPF的角平分线交x轴于点M，且2PHMF，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）已知曲线C与x轴正半轴交于点1A，过点( 4,0)S 的直线1l交C于A，B两点，ASBS ，点T满足ATTB ，其中1，证明：12ATBTSO 22 （12 分）已知函数( )(1)1axf xx e（1）讨论( )f x的单调区间；（2）当0a ，(0, )x时，证明：( )cos2sin2f xxxxx2022 年三明市普通高中毕业班质量测
10、试数学试题参考答案 第 1页（共 12页）2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共
11、40 分1B2D3A4A5B6C7B8D二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分9AC10BCD11ACD12ACD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分132143151021610四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：（1）因为 na为等比数列，且24a ，532a ，设公比为q，所以3528aqa，所以2q ，12a .2 分所以112nnnaa q，.4 分（2）因为2211111loglog(1)1nnnbaan nnn.7 分所以，111111111223111nnSnnnn .10
12、分2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案 第 2页（共 12页）18解法一：（1）因为Q为BC的中点，所以1()2AQABAC . 1 分所以2221(2)134AQABAB ACAC .4 分即13AQ .5 分（2）在ABC中，由余弦定理得22222(4 2)2 2 4 2202BC ，所以2 5BC ，即5CQ .7 分在ACQ中，由余弦定理得2225 26cos226AQACQCQACAQ AC.8 分所以QACsin2626cos12QAC，因为QACAQPAPQ ，所以3 13sinsin()sin()413APQQACAQPQAC，.10 分在AQP中，由正弦定
13、理AQPAPAPQAQsinsin得133 132132AP，所以13 26AP ，即当13 26AP 时，4AQP. 12 分解法二：（1）在ABC中，由余弦定理得22222(4 2)2 2 4 2202BC ，2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案 第 3页（共 12页）所以2 5BC ，即5CQBQ.1 分在ABQ中,根据余弦定理得22221cos22 5AQBQABAQAQBAQ BQAQ.2 分在ACQ中,根据余弦定理得222227cos22 5AQCQACAQAQCAQ CQAQ.3 分因为coscos0AQBAQC，所以2212702 52 5AQAQAQAQ.
14、4 分解得13AQ .5 分（2）同解法一.19解法一：（1）记A“小明在竞赛中得35分”，则A表示 “儒”题答错，“道”题2对1错，所以6253653)52(51)(223CAP.4 分（2）当小明选择从“儒”题中抽取1题， “道”题中抽取2题作答时，设4题总得分为X，此时设“道”题中答对的题数为，则2(2, )5B，24( )255E，（i） “儒”题中的第二题答对时总得分1442020 ( )5(2( )20205 (2)3055XEE （ii） “儒”题中的第二题答错时总得分2441020 ( )5(2( )10205 (2)2055XEE 此时小明的总得分期望值5 .27)431 (
15、204330)(XE. 8 分当小明选择从“道”题中抽取3题作答，设答对题数为，4题总得分为Y，则2(3, )5B，26( )355E ,10205(3)255Y,2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案 第 4页（共 12页）所以6( )25 ( )5255255E YE.11 分因为()( )E XE Y,即小明应从“道”题中抽取2道题作答. .12 分解法二： （1）同解法一.（2）当小明选择从“儒”题中抽取1题， “道”题中抽取2题作答时，设4题总得分为X，则X的所有可能取值为：0,10,25,35,50,60.因为1009)52-1 (41)0(2XP，10027)5
16、2-1 (43)10(2XP，10012525341)25(12CXP，10036525343)35(12CXP，1004)52(41)50(2XP，10012)52(43)60(2XP，所以5 .271001260100450100363510012251002710)(XE. 8 分当小明选择从“道”题中抽取3题作答，设答对题数为，4题总得分为Y，则2(3, )5B，26( )355E ,10205(3)255Y,所以6( )25 ( )5255255E YE.11 分因为()( )E XE Y,即小明应从“道”题中抽取2道题作答. .12 分20.解法一： （1）取AC中点G，连接EG，
17、因为/ /EDAC，12CGACED，所以/EG CD，所以四边形EDCG为平行四边形， 所以3EGDC，又因为112AGAC，2AE ，所以222AGEGAE，所以AGEG，又因为/CD EG，所以ACCD. 2 分因为ACBC，BC，CD是平面BCD内的两条相交直线，所以AC 平面BCD，因为AC 平面ABC，所以平面ABC 平面BCD.2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案 第 5页（共 12页）.4 分（2） 在平面BCD内过点C作BC的垂线l， 因为AC 平面BCD，所以l、CA，CB两两相互垂直，故以C为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，则2,0,0A，0,
18、2,0B，0,1,2D，1,1,2E，.5 分设在线段BC上存在点(0, ,0) (02)Ftt ，使二面角BAEF的余弦值为2 23，则1,1,2AE ，2,2,0AB ，2, ,0AFt 设平面AEF的法向量1111,x y zn，则1100AEAF nn，即111112020 xyzxty，不妨令12y ，则1xt，12(2)2tz，所以122,2,2tt n，. 7 分设平面ABE的一个法向量为2222,xyzn，则222222220220AExyzABxy nn，即2222220220 xyzxy不妨令21x ，221,0yz，所以21,1,0n. 9 分所以22212121222
19、2cos,32222ttt n nn nnn.10 分化简得：21568600tt，解得61053t 或（舍去） ，故60,05F，所以65CF ，2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案 第 6页（共 12页）所以存在点F，当65CF 时，二面角BAEF的余弦值为2 23. 12 分解法二： （1）同解法一.（2）取BC、AB的中点O、H，连接OD，OH，因为DBDC，O是BC中点，所以DOBC，又因为DO 平面BCD，平面ABC 平面BCD且交于BC，所以DO 平面ABC，因为H是AB中点，即/OH AC，所以OHBC，故,DO OH BC两两互相垂直，则以O为坐标原点，,
20、OH OB OD 为, ,x y z轴,如图建立空间直角坐标系，则2, 1,0A，0,1,0B，0,0,2D，1,0,2E.5 分设在线段BC上存在点(0, ,0) ( 11)Ftt ，使二面角BAEF的余弦值为2 23，则1,1,2AE ，2,2,0AB ，2,1,0AFt .设平面AEF的一个法向量为1111,x y zn，则1100AEAF nn，即11111202(1)0 xyzxty，不妨令12y ，则11xt ，12(1)2tz，所以1211,2,2ttn.7 分又因为1/2EDAC，1/2OHAC，所以/OH DE，所以四边形DEHO为平行四边形，即/EH DO，因为DO 平面A
21、BC，所以EH 平面ABC，因为CH 平面ABC，所以EHCH，又因为ACBCH，是AB中点，2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案 第 7页（共 12页）所以CHAB, 因为,EH AB为平面ABE内的两条相交直线，所以CH 平面ABE，故CH是平面ABE的一个法向量，因为110CH ， ，. 9 分所以111222122 2cos,312122CHtCHCHtt nnn.10 分化简得：2153870tt， 解得1753t 或（舍去） ， 故10,05F， 所以16155CF ，所以存在点F，当65CF 时，二面角BAEF的余弦值为2 23. 12 分解法三： （1）同解
22、法一（2）取BC、AB的中点O、H，连接,OD OH，因为DBDC，所以DOBC，又因为DO 平面BCD，平面ABC 平面BCD且交于BC，所以DO 平面ABC，.5 分因为1/2EDAC，1/2OHAC，所以/OH DE，所以四边形DEHO为平行四边形，即/EH DO，因为DO 平面ABC，所以EH 平面ABC，.6 分因为CH 平面ABC，所以EHCH，又因为ACBC，H是AB中点，所以CHAB, 因为,EH AB为平面ABE内的两条相交直线，所以CH 平面ABE，.7 分假设在线段BC上存在点F，使二面角BAEF的余弦值为2 23，2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案
23、 第 8页（共 12页）过F作FMAB于点M，则FM 平面ABE，过M作MNAE于点N,连接NF，则FNM为二面角BAEF的平面角. . 8 分设2 (01)FBxt，则2FMBMx，2 22AMx，所以2NMx，在Rt FMN中，222344NFNMFMxx，所以cosMNFNMNF222 23344xxx.10 分化简得215440 xx， 解得2253x 或（舍去） ， 即45FB ， 所以625CFFB，所以存在点F，当65CF 时，二面角BAEF的余弦值为2 23. 12 分21解： （1）设( , )P x y（0y ） ，因为/PH x轴，所以HPMPMF ，因为PM为HPF的角
24、平分线，所以HPMFPM ，所以FPMPMF ，即MFPF，所以|1|2PFMFPHPH，即22(1)1|4|2xyx，化简整理得22143xy，因为P不在x轴上，即曲线 C 的方程为221(0)43xyy. 5 分（2）易知直线1l的斜率存在且不为0，设1l的方程为4xmy（0m ） ，2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案 第 9页（共 12页）联立方程组221434xyxmy，消 x 整理得22(34)24360mymy，所以22( 24 )4 (34) 360mm ，得2m 或2m ，设1122( ,),(,)A x yB xy，则1222434myym，122363
25、4y ym.7 分由ASBS 得12yy ，所以12yy，设00(,)T xy，由ATTB ，得0120()yyyy，所以21211201122236222334241134yyyy ymyymyymmy，所以003441xmymm ，.9 分所以点3( 1,)Tm在直线1x 上，且00y ，又因为( 4,0)S 与1(2,0)A关于直线1x 对称，所以1TSA是等腰三角形，（或者证明直线TS与直线1TA的斜率互为相反数）.11 分所以11TSATAS ，因为111ATBTSATAS ，所以12ATBTSO ，综上所述，12ATBTSO .12 分22解法一：（1）( )f x定义域为R，由(
26、 )(1)1axf xx e得( )e()e(1)eaxaxaxfxaxaaxa.1 分2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案 第 10页（共 12页）当0a 时，( )10fx ，所以( )f x在R上单调递增.2 分当0a 时，令( )(1)e0axfxaxa，即10axa ，所以1axa ，所以( )f x在1(,)aa上单调递增.令( )(1)e0axfxaxa，即10axa ，所以1axa ，所以( )f x在1(,)aa 上单调递减. 3 分当0a 时，令( )(1)e0axfxaxa，即10axa ，所以1axa ，所以( )f x在1(,)aa 上单调递增.令
27、( )(1)e0axfxaxa，即10axa ，所以1axa .所以( )f x在1(,)aa上单调递减.4 分综上所述：当0a 时，( )f x在R上单调递增；当0a 时，( )f x在1(,)aa 上单调递减，在1(,)aa上单调递增.当0a 时，( )f x在1(,)aa 上单调递增，在1(,)aa上单调递减. 5 分（2）当(0, )x时，10 x，1xe ，2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案 第 11页（共 12页）所以( )(1)1axg ax e在(0,)a上单调递增，所以( )(1)1(0)axg ax egx ，即当0a ，(0, )x时，( )f xx
28、，所以要证明( )cos2sin2f xxxxx，只要证明cos2sin0 xxxx， . 7 分令( )cos2sing xxxxx（(0, )x），则( )sincos1g xxxx ，令( )( )sincos1h xg xxxx （(0, )x），则( )cosh xxx ，当(0,)2x时，( )0h x，即( )h x单调递减，当(, )2x时，( )0h x，即( )h x单调递增，.9 分因为(0)0h，则( )02h，又因为( )20h ，所以( )h x在(0, )x存在唯一零点，设为0 x，当0(0,)xx时，( )0h x ，即( )0g x，即( )g x单调递减，当
29、0(, )xx时，( )0h x ，即( )0g x，即( )g x单调递增，因为(0)0g，则0()0g x，又因为( )0g ，所以( )0g x ，.11 分所以cos2sin0 xxxx，所以原不等式成立.12 分解法二：（1）同解法一；（2）令( )1xp xex，则( )1xp xe，所以( )p x在(,0)x 上单调递减，在(0,)x上单调递增，2022 年三明市普通高中毕业班质量测试数学试题参考答案 第 12页（共 12页）所以( )(0)0p xp，即1 0 xex ，即1xex，所以1axeax，所以当(0, )x时，2( )(1)1(1)(1) 1axf xx ex a
30、xaxaxx ，因为0a ，20 xx，所以2axaxxx，即( )f xx，所以要证明( )cos2sin2f xxxxx，只要证明cos2sin0 xxxx， . 7 分令( )cos2sing xxxxx（(0, )x），则( )sincos1g xxxx ，令( )( )sincos1h xg xxxx （(0, )x），则( )cosh xxx ，当(0,)2x时，( )0h x，即( )h x单调递减，当(, )2x时，( )0h x，即( )h x单调递增，.9 分因为(0)0h，则( )02h，又因为( )20h ，所以( )h x在(0, )x存在唯一零点，设为0 x，当0(0,)xx时，( )0h x ，即( )0g x，即( )g x单调递减，当0(, )xx时，( )0h x ，即( )0g x，即( )g x单调递增，因为(0)0g，则0()0g x，又因为( )0g ，所以( )0g x ，.11 分所以cos2sin0 xxxx，所以原不等式成立.12 分
