青岛版八年级上册《数学》电子课本教材（全册pdf电子书）-免费下载.pdf

1 亲爱的同学： 祝贺你进入新的学年，登上一个新的起点. 这本新的数学教科书， 将继续伴你成长，与你一起走进新的数学天地，探索数学世界中新的 奥秘. 你的数学视野会进一步扩大，你将迎接一些新的挑战，进一步体 验、感受、品味数学的美妙，享受学习数学的乐趣. 在生活中，你见过各式各样的图形，你知道什么是全等形吗？全 等是进一步研究图形及其性质的基础. 你将经历观察、实验、归纳、猜 想、探索过程，掌握三角形全等的性质和条件. 轴对称图形与成轴对称的现象随处可见，给我们带来美的享受. 你知道轴对称图形的性质吗？你会作线段的垂直平分线与角的平分线 吗？本册将帮你解答这些问题. 在已学过的平面图形的基础上，你将开始学习推理和证明. 从几个 基本事实出发，证明有关角、平行线、三角形等一些简单几何图形的 性质和判定方法，进一步学会合乎逻辑的思考，理解证明的必要性， 做到言之有理，落笔有据. 你知道怎样描述一组数据的集中趋势吗？你能用平均数、中位数 和众数对实际问题作出解释吗？一组数据的离散程度怎样描述？在本 册中你将会用方差对数据的波动大小进行判断，帮助你在掌握这些知 识的同时，初步形成统计的观念. 你知道分式吗？在学习了整式和一元一次方程的基础上，本册将 带你结识新的朋友——分式和分式方程. 通过与分数类比，你将学到许 多有趣而有用的分式知识，并会利用分式方程解决一些实际问题. 数学世界是五彩缤纷的百花园，它的大门对每一位同学都是敞开 的. 一分耕耘，一分收获，只要你肯付出辛勤的劳动，勤于观察，勤于 思考，勤于交流，勤于动手，你将会得到丰厚的回报. 现在就让我们走进八年级数学的新天地，继续探索数学的奥秘 吧！ 目 录 1 2 4 8 18 25 28 30 34 40 45 51 55 63 68 70 75 78 82 85 93 101 109 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 目 录 第 1 章 全等三角形 1.1 全等三角形 1.2 怎样判定三角形全等 1.3 尺规作图 回顾与总结 第 2 章 图形的轴对称 2.1 图形的轴对称 2.2 轴对称的基本性质 2.3 轴对称图形 2.4 线段的垂直平分线 2.5 角平分线的性质 2.6 等腰三角形 回顾与总结 第 3 章 分 式 3.1 分式的基本性质 3.2 分式的约分 3.3 分式的乘法与除法 3.4 分式的通分 3.5 分式的加法与减法 3.6 比和比例 3.7 可化为一元一次方程的分式方程 回顾与总结 112 114 120 124 130 134 142 144 148 152 154 157 161 166 170 176 189 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 4 章 数据分析 4.1 加权平均数 4.2 中位数 4.3 众 数 4.4 数据的离散程度 4.5 方 差 4.6 用计算器计算平均数和方差 回顾与总结 综合与实践 由 1 拃长引发的探索 第 5 章 几何证明初步 5.1 定义与命题 5.2 为什么要证明 5.3 什么是几何证明 5.4 平行线的性质定理和判定定理 5.5 三角形内角和定理 5.6 几何证明举例 回顾与总结 目 录 2 第1章 全等三角形 2 3 第1章 全等三角形 4 （1）观察下面的三组图片，你有什么发现？如果分别将每组中的两张图片 用适当的方式叠合在一起，它们能够完全重合吗？ 1.1 全等三角形 图 1-1 （2）观察图 1-2，你发现图中左、右两个图的形状和 大小分别有怎样的关系？ 如果我们用纸将这两个图形复制后剪下来，把其中的 一个放到另一个上，使它们适当地叠合在一起，那么可以 发现这两个图形也能够完全重合. 也就是说，这两个图形的形状相同，大小相等. （3）在现实生活中，你能举出能够完全重合的两个平面图形的例子吗？与 同学交流. 能够完全重合的两个平面图形，叫做全等形（congruent figures） . 全等形 的形状相同，大小相等. 图 1-2 （1）用硬纸片任意剪一个三角形，记为△ABC . 然后用它做模板，沿着它的边 观察与思考 实验与探究 邮票剪纸印章 上面每组图片中的两 个图形都能够完全重合. 5 1.1 全等三角形 A BC A′ B′C′ 图 1-3 由画图过程可知，这两个三角形能够完全重合，所以它们是全等形. 能够完 全重合的两个三角形叫做全等三角形（congruent triangles） . （2）当图 1-3 中的两个全等三角形完全重合时，你能说出它们的哪些顶 点、哪些边、哪些角分别重合吗？ 当两个全等三角形完全重合时， 互相重合的顶点叫做对应顶点 （corresponding points） ，互相重合的边叫做对应边（corresponding sides） ，互相重合的角叫做 对应角（corresponding angles） . 在图 1-3 中，点 A 与点 A'，点 B 与点 B'，点 C 与点 C' 分别是对应顶点；边 AB 与 A'B'，AC 与 A'C'，BC 与 B'C' 分别是对应边；∠A 与∠A'，∠B 与∠B'，∠C 与∠C' 分别是对应角. B C A E F D 图 1-4 对应角的顶点是对应顶点，以 对应顶点为端点的边是对应边，对 应边所对的角是对应角. △ABC 与△A'B'C' 是全等三角形，记作△ABC ≌△A'B'C'，符号“≌”读作 “全等于”. 在书写两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的 位置上，这样可以比较容易地找出全等三角形的对应边和对应角. 例1 如图 1-4，已知△ABC ≌△DEF，试写出这两个三角形的对应边和 对应角. 缘在纸上画出一个三角形 ，记为△A'B'C'（图 1-3） ， △ABC 与△A'B'C' 是全等形吗？ 第1章 全等三角形 6 例2 如图 1-5，已知△ABC ≌△DEF，写出这两个三角形中相等的边和 相等的角. 解 由△ABC ≌△DEF 可知，这两个三角形的对应边分别相等，所以 AB = DE，AC = DF，BC = EF；它们的对应角分别相等，所以∠A =∠D，∠B =∠E，∠ACB =∠DFE . 1. 如图，已知△ABC ≌△DEF，写出这两个三角形中的对应边和对应角. 全等三角形的对应边 相等，对应角相等. 图 1-5 B C A F D E 解 在图 1-4 中，由△ABC ≌△DEF 可知，点 A 与点 D，点 B 与点 E， 点 C 与点 F 分别是对应顶点，从而边 AB 与 DE，AC 与 DF，BC 与 EF 分别是对应 边；∠A 与∠D，∠B 与∠E，∠C 与∠F 分别是对应角. （3）观察图 1-3，△ABC ≌△A'B'C'，这两个全等三角形的对应边之间有什 么大小关系？对应角呢？为什么？ 如图 1-6，已知△ABC ≌△DCB，且 AB = 7 cm， BD = 5 cm，∠A = 60° ，你能说出线段 DC，AC 的长和 ∠D 的大小吗？ 挑战自我 练 习 图 1-6 B C DA （第 2 题） BC D AE F O A B C D （第 1 题） 7 3. 填空： （1）如图，已知△ABC ≌△ADE，AB = 11 cm，CA = 5 cm，那么 AD = ____ cm， EA = ____ cm. （2）如图，已知△ABC ≌△CDA，∠BAC = 85° ，∠ABC = 30° ，那么∠DCA = ， ∠CDA = ， ∠BCA = ，∠DAC = . 1.1 全等三角形 2. 如图，AB 和 CD 相交于点 O，△AOC ≌△BOD，写出这两个三角形中相等的边和 相等的角. 1. 如图，已知△ABF ≌△DCE，试写出这两个三角形中的对应边和对应角. 2. 如图，已知△ABE ≌△ACD，试写出这两个三角形中相等的边和相等的角. 复习与巩固 CD E F BA （图 1 题） B C D A E （第 2 题） 习题1.1 4. 如图，已知△ADF ≌△BED，△BED ≌△CFE . 写出图中 相等的线段和相等的角. 5. 如图，已知△ABE ≌△ACD . （1）如果BE = 6，DE = 2，求 BC 的长； 拓展与延伸 A B C D E （第 3（1）题） A B C D （第 3（2）题） BC D A E F （第 4 题） 第1章 全等三角形 8 探索与创新 6. 用硬纸板任意剪一个三角形，用它做模板，在白纸上 画出两个不重合的三角形， 使它们分别满足： （1）有一条公共边； （2）有一个公共顶点； （3）有一个公共角. 它们都全等吗？ （1）只根据两个三角形有一对元素相等，能保证两个三角形全等吗？ 1.2 怎样判定三角形全等 如果两个三角形能够重合，那么就可以判定这两个三角形全等. 然而，判断 两个三角形能否重合，我们只会通过叠合的方法去验证，运用时毕竟不太方便. 是否有更简便、更适用的判定两个三角形全等的方法呢？ 一个三角形由六个元素组成，即三条边和三个角. 当两个三角形全等时，它 们的三条边分别对应相等，三个角也分别对应相等. 反过来，如果两个三角形的 三条边和三个角分别相等，那么把这两个三角形叠合后，它们能够重合，因此 这两个三角形全等. 这就是说，可以根据两个三角形中六对元素之间的相等关 系，判定这两个三角形全等. 问题是，最少几对元素相等，就可判定这两个三角 形全等？ 实验与探究 图 1-7 ② A' B'C' ③ B''C'' A'' ① A BC B C D A E （第 5 题） （2）如果∠BAC = 75° ，∠BAD = 30° ， 求∠DAE的度数. 9 1.2 怎样判定三角形全等 如图 1-7 ① ②，在△ABC 与△A'B'C' 中，BC = B'C'，将△ABC 放到△A'B'C' 上，使 BC 与 B'C' 重合，由于不能保证点 A 与点 A' 重合，因此不能保证△ABC 与 △A'B'C' 全等. 如图 1-7 ① ③，在△ABC 与△A''B''C'' 中，∠B =∠B''，将△ABC 放到 △A''B''C'' 上，使∠B 与∠B'' 重合，由于不能保证点 A 与点 A'' 重合，因此不能保 证△ABC 与△A''B''C'' 全等. （2）只根据两个三角形有两对元素分别相等能保证两个三角形全等吗？ 如图 1-8 ① ②，在△ABC 与△A'B'C' 中，AB = A'B'，BC = B'C'，将△ABC 放到△A'B'C' 上，使 AB 与 A'B' 重合，由于不能保证 BC 与 B'C' 重合，因此不能保 证△ABC 与△A'B'C' 全等. ① A BC ③ A'' B'C'' ④ A''' B'''C''' 图 1-8 如图 1-8 ① ③，在△ABC 与△A''B''C'' 中，BC = B''C''，∠B =∠B''，将 △ABC 放到△A''B''C'' 上，使 BC 与 B''C'' 重合，∠B 与∠B'' 重合，由于不能保证 BA = B'' A'' ，故不能保证点 A 与点 A'' 重合，因此不能保证△ABC 与△A''B''C'' 全 等. 如图 1-8 ① ④，在△ABC 与△A'''B'''C''' 中， ∠B =∠B'''， ∠C =∠C'''， 将 △ABC 放到△A'''B'''C''' 上，使∠B 与∠B''' 重合，由于不能保证 BC = B'''C'''，故 不能保证点 C 与点 C''' 重合，因此不能保证△ABC 与△A'''B'''C''' 全等. 能在两个三角形的两对元素分别相等的 条件下，再添加一个适当的条件，就能保证 这两个三角形全等吗？ ② B'C' A' 第1章 全等三角形 10 （3）观察图1-8①②，在 △ABC 与△A'B'C' 中，AB = A'B'， BC = B'C'，如果再添加一个条件 ∠B =∠B'（图 1-9） ，△ABC 与 △A'B'C' 全等吗？ 把△ABC 放到△A'B'C' 上，使点 B 与点 B' 重合，BC 落在 B'C' 上，点 A 与点 A' 在 BC 的同侧，因为 BC = B'C'，所以点 C 与点 C' 重合. 因为 ∠B = ∠B'，所以 边 BA 所在的射线与边 B'A' 所在的射线重合. 又因为 BA = B'A'，所以点 A 与点 A' 重合. 于是△ABC 与△A'B'C' 重合，从而△ABC 与△A'B'C' 全等. （4）由此你能得出什么结论？ 判定方法1 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 这个判定方法通常简写成“边角边” 或“SAS” . 例1 如图 1-10， 已知 AB = AD， ∠BAC =∠DAC，△ABC 与△ADC 全等吗？说明你的理由. 解 △ABC 与△ADC 全等. 理由是： 在△ABC 与△ADC 中，因为 AB = AD，AC 是 △ABC 与△ADC 的公共边，AC = AC，∠BAC 与∠DAC 分别是 AB 与 AC，DA 与 AC 的夹角，并且∠BAC = ∠DAC，由 SAS，所以△ABC ≌△ADC . 例2 如图 1-11， 为了测量池塘边上不能直接到达 的两点 A， B 之间的距离， 小亮设计了这样一个方案：先 在平地上取一个能够直接到达点 A 与点 B 的点 C，然后在 射线 AC 上取一点 D，使 CD = CA，在射线 BC 上取一点 E，使 CE = CB . 测量 DE 的长，那么 DE 的长就等于 A， B 两点之间的距离. 他的方案对吗？为什么？ 解 他的方案是对的. 理由是： 因为 CA = CD，CB = CE， ∠ACB =∠DCE，由 SAS，所以△ACB ≌△DCE . 因此，DE 与 AB 相等. 图 1-9 AA' BB'CC' S 是英文 side（边） 的第一个字母的大写，A 是英文 angle（角）的第 一个字母的大写. 小资料 D AC B 图 1-10 A B E D C 图 1-11 11 1.2 怎样判定三角形全等 1. 如图，已知 AB = DC，∠ABC =∠DCB，△ABC 与△DCB 全等吗？说明你的理由. 2. 如图，已知 AB = AD，AC = AE，△ABE 与△ADC 全等吗？说明你的理由. A B D C E （第 2 题） BC AD （第 1 题） 练 习 （1）再来观察图 1-8 ①③，在△ABC 与△A''B''C'' 中，BC = B''C''，∠B =∠B''，如果再添加一个条件∠C =∠C''（图 1-12） ，△ABC 与△A''B''C'' 全等 吗？ （2）把△ABC 放在△A''B''C'' 上，使点 B 与 B'' 重合，边 BC 落在 B''C'' 上， 点 A 与点 A'' 在 BC 的同侧. 因为点 B 与点 B'' 重合，BC 落在 B''C'' 上，由于 BC = B''C''，所以点 C 与点 C'' 重合. 又因为∠B =∠B''，所 以边 BA 所在的射线与边 B''A'' 所在的 射线重合. 添加条件∠C =∠C'' 后， 边 CA 所在的射线与边 C''A'' 所在的射线重合. 因为 C''A''（CA）与 B''A''（BA）相 交只有一个交点，所以点 A 与点 A'' 重合，即△ABC 与△A''B''C'' 重合. （3）由此你能得出什么结论？ 判定方法 2 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 这个判定方法通常简写成“角边角”或“ASA”. 例3 如图 1-13，已知∠ACB =∠DFE，∠B =∠E，BC = EF，那么 △ABC 与△DEF 全等吗？为什么？ 实验与探究 图 1-12 BC AA'' B''C'' 第1章 全等三角形 12 解 △ABC 与△DEF 全等. 理由是： 在△ABC 与△DEF 中，因为∠ACB =∠DFE， ∠B =∠E，BC，EF 分别是∠B 与∠ACB ，∠E 与 ∠DFE 的夹边，且 BC = EF，由 ASA， 所以△ABC ≌ △DEF . 因为∠B =∠B''， ∠A =∠A''，∠C = 180° - （∠A +∠B）， ∠C'' = 180° -（∠A'' +∠B''） ， 所以∠C =∠C'' . A BFCE D 图 1-13 交流与发现 （1）继续观察图 1-8 ① ③，在△ABC 与△A''B''C'' 中，BC = B''C''，∠B =∠B''，如果添加条件∠A =∠A''（图 1-14），这时边 BC 与∠A 什么关系？边 B''C'' 与∠A'' 呢？ （2）∠C 与∠C'' 相等吗？为什么？ （3）你能判定△ABC 与△A''B''C'' 全等吗？为什么？与同学交流. （4）由此你能得出什么结论？ 判定方法3 两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形 全等. 这个判定方法通常简写成“角角边”或“AAS”. 因为∠B =∠B''， BC = B''C''，∠C = ∠C''，根据ASA，所 以△ABC ≌△A''B''C''. 图 1-14 AA'' BB''CC'' 13 挑战自我 例4 如图 1-15，在△ABD 与△CDB 中， 已知∠A =∠C，再添加一个什么条件，就可以判定 △ABD 与△CDB 全等？ 解 由已知∠A =∠C，再添加∠1 =∠2 （或∠3 =∠4） ，就可以判定△ABD 与△CDB 全等. 理由是： 在△ABD 与△CDB 中，因为∠A =∠C，∠1 =∠2（或∠3 =∠4） ，BD 分别 是∠A 与∠C 的对边，又是△ABD 与△CDB 的公共边，BD = DB，由 AAS，所 以△ABD ≌△CDB. 图 1-15 A B 1 D C 2 3 4 1. 在图 1-8 ①④ 中，∠B =∠B'''，∠C =∠C'''，你能适 当添加一个条件，使△ABC ≌△A'''B'''C''' 吗？你有 几种不同的添加方式？说明理由. 2. 如图，已知∠1 =∠2，∠3 =∠4，△ABC 与△ABD 全 等吗？为什么？ （第 2 题） A B C D 1 3 4 2 如果两个三角形的三条边分别相等，这两个三角形全等吗？ 练 习 1.2 怎样判定三角形全等 小亮在学习了全等三角形的判定方法 2 和判定方法 3 后，他发现在这两个 判定方法的条件中，相等的边可以是“两等角的夹边” ，也可以是“一组等角 的对边” ，于是，他认为可以把这两个判定方法概括成“满足两角及一边分别 相等的两个三角形全等”. 你同意他的意见吗？如果不同意，请举例说明. （1）用三根木条制作一个三角形的架子（图 1-16） ，再用四根木条钉一个 四边形的架子（图 1-17 ①）. 分别拉动这两个架子的边框，你有什么发现？ 三角形的架子由于它的三条边的长度固定，三个角的大小也随之固定，因此 它的形状、大小没有发生变化. 但四边形的架子虽然它的四条边的长度固定了， 实验与探究 第1章 全等三角形 14 三边分别相等的两 个三角形全等. 判定方法4 三边分别相等的两个三角形全等. 这个判定方法通常简写成“边边边”或“SSS”. 三角形的三条边的长度确定后，它的形状和大小就被确定了. 三角形的这种 特性叫做三角形的稳定性. 而四边形不具备这样的稳定性. 三角形的稳定性在生活及生产实际中很有用处. 如在盖房子时，为了使木门 框在砌墙的过程中不容易变形，先在门框上斜着钉上木条（图 1-18） . 自行车的 车架（图 1-19） 、斜拉式大桥的架构（章头图） 、 塔吊（图 1-20） 都采用三角形 结构，也是这个道理. （2）如果再取分别与图 1-16 中的三根木条相等的木条，再制作一个三角形 的架子，这两个三角形架子的形状、大小相同吗？如果把其中一个三角形架子 叠放在另一个三角形架子上，它们能重合吗？ （3）通过这个实验，你能得出什么结论？ 图 1-16 ①② 图 1-17 但它的四个角的大小并没能随之固定. 因而拉动边框时，它的形状、大小可以改 变（图 1-17 ②） . 图 1-18图 1-19图 1-20 塔吊 15 1.2 怎样判定三角形全等 例5 如图 1-21，已知 AD = CB，AB = CD . 那么 ∠A =∠C 吗？为什么？ 解 ∠A =∠C. 理由是： 因为AD = CB，AB = CD，BD = DB，由 SSS，所以 △ABD ≌△CDB . 因此，∠A 与∠C 相等. 图 1-21 DB AC 例6 如图 1-22，已知AB = ED，BC = DF，AE = CF . （1）AC 与 EF 相等吗？ （2）指出△ABC 与△EDF 中互相平行的边，并说明理由. 解（1）因为 AE = CF，所以 AE + EC = CF+ EC ，从而 AC = EF . （2）AB∥ED，BC∥DF. 理由是： 因为 AB = ED，BC = DF，AC = EF，由 SSS，所以△ABC ≌△EDF . 于是∠A =∠DEF，∠ACB =∠EFD，所以 AB∥ED， BC∥DF . 通过实验和探究，我们知道，判定两个三角形全等，除了用定义以外，还 有四个判定方法. 你发现这四个判定方法有什么共同特点？与同学交流. 在两个三角形中，已知两个三角形的六对元素中的下列三对元素分别相 等，即 SAS，ASA，AAS，SSS，就可判定它们全等. 但并不意味着两个三角 形中的任意三对元素分别相等，就能保证这两个三角形全等. 例如，如果一个 三角形的两边及其中一边的对角分别与另一个三角形的两边及其中一边的对角 相等，不能判定这两个三角形全等. 如图 1-23，在△ABC 与△A'B'C' 中，AC = A'C'，AB = A'B'，∠B =∠B'，但∠A≠∠A'， △ABC 与△A'B'C' 不可能完全重合. 显然它们 不全等. 另外，本章第 13 页“挑战自我”中 提出的问题，也是不能保证两个三角形全等 的例子. 三个角分别相等的两个三角形全等 吗？画出图形，试一试. 图 1-22 AF B C E D 图 1-23 A' B'C'BC A 判定两个三角形全等的条件，也是确定一个三角 形的条件. 这就是说，如果一个三角形两边一夹角， 两角一夹边，两角一对边或三边的大小确定后，那么 这个三角形的形状和大小也就完全确定了. 第1章 全等三角形 16 1.（1）底边及一腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？ （2）两腰分别相等的两个等腰三角形全等吗？为什么？ （3）一边相等的两个等边三角形全等吗？为什么？ 2. 如图，已知AB = CB，AD = CD . ∠A 与∠C 相等吗？为什么？ 3. 举出生活中应用三角形的稳定性的实例. 1. 如图，AC = DF，AC∥DF，BE = CF . （1）BC 与 EF 相等吗？为什么？ （2）△ABC 与△DEF 是否全等？为什么？ 2. 如图，已知点 E、F 在 BC 上，AF = AE，∠1 =∠2，BA = CA. △AFB 与△AEC 是否全等？为什么？ 3. 如图，已知∠B =∠C，AB = AC . △ABE 与△ACD 是否 全等？为什么？ 4. 如图，已知点 B，F，C，E 在同一条直线上，BC = EF，AB∥DE，AC∥DF，△ABC 与△DEF 是否全等？ 为什么？ 5. 如图，已知 D 是△ABC 的边 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE = FE，FC∥AB. △ADE 与△CFE 是否全等？为什么？ （第 1 题） AD BF EC A 12 BC EF （第 2 题） （第 3 题） A DE BC A B F E C D （第 4 题）（第 5 题） A F B D E C 复习与巩固 练 习 习题1.2 （第 2 题） B AC D 6. 在△ABC 与△A'B'C' 中，① AB = A'B'；② BC = B'C'；③ AC = A'C'；④∠A =∠A'；⑤∠B =∠B'；⑥∠C =∠C' . 具备上述条件中的哪三个条件就能保证 △ABC ≌△A'B'C' ？ 17 1.2 怎样判定三角形全等 7. 如图，AB = AC，AD 为△ABC 的 BC 边上的中线，△ABD 与△ACD 全等吗？为什么？ A B D C （第 7 题） 10. 如图，△ABC ≌△BAD. （1）指出这两个三角形中相等的边和相等的角； （2）△OAC 与△OBD 全等吗？为什么？ 拓展与延伸 （第 8 题） A BE C 1 2 D F （第 9 题） AB C D E AB CD O （第 10 题） 11. 如图，已知 AB⊥AC，AB = AC，DE 过点 A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为 点 D，E . （1）∠DCA 与∠EAB 相等吗？说明理由； （2）△ADC 与△BEA 全等吗？说明理由. 12. 如图，CD∥AB， （1）如果 AB = CD（图 ①），能判定△ABC 与△CDA 全等吗？为什么？ （2）如果 AD = BC，但 AB≠CD（图 ②） ，能判定△ABC 与△CDA 全等吗？ 为什么？ （3）O 是 AC 的中点，EF 过点 O 分别交 AB，CD 于点 E，F . 不论是否有AB = CD， △COF 与△AOE 全等吗？为什么？ 探索与创新 8. 如图，∠1 =∠2，BC = EF . 需要添加一个怎样的条件，才能使△ABC ≌△DEF ？ 9. 如图，已知 DA⊥AB，EA⊥AC，且 DA = BA，EA = CA，△ADE 与△ABC 全等吗？ 为什么？ D C B AE （第 11 题）（第 12 题） AB DC F E O ②① AB DCF E O 第1章 全等三角形 18 交流与发现 1.3 尺规作图 （1）在七年级上册我们学习过“用直尺和圆规作一条线段，使它等于已知 线段”. 如图 1-24，已知线段 a，回忆一下，你是怎样用不带刻度的直尺和圆规 作出线段 AB = a 的？做一做. （2）你能说明上面作图的道理吗？与同学交流. 用直尺作射线 AC，以点 A 为圆心，线段 a 为半 径画弧，可以作出弧与射线 AC 的交点 B，因为这 条弧上的所有点到点 A 的距离都等于 a 的长，所以 AB = a . 因此线段 AB 即为所求作的线段. a 图 1-24 （3）再用刻度尺画一条线段使它等于已知线段a，比较你先后得到的两条线 段，你认为用哪种方式绘制的图形是精确的，哪种方式是近似的？ 研究几何图形，就离不开画图. 人们发现利用刻度尺、量角器等工具所绘制 的图形都只能是近似的. 为了精确作图，古代数学家提出了在画几何图形时， 只 允许用直尺（没有刻度）和圆规这两种工具的限制. 这一类问题，叫做尺规作图 （construction with ruler and compasses） . 在尺规作图时，用直尺可以作经过任意一点的直线；也可以以任意一点为 端点作射线；用直尺连接两个点可以作一条线段；可以作经过这两点的直线； 可以以其中一点为端点作经过另一点的射线；也可以用直尺把线段向两个方向 任意延长. 以任一点为圆心，以任意长为半径，用圆规可以作一个圆或一段弧. 直尺和圆规交替使用，可以解决许多几何作图问题. 上 面（1）中的“用直尺和圆规作一条线段，使它等于已 知线段” ，就是一个范例. （4）如图 1-25，已知∠AOB，你能用直尺和圆规 作一个角∠A'O'B'，使∠A'O'B' =∠AOB 吗？ OA B 图 1-25 19 1.3 尺规作图 要作∠A'O'B' =∠AOB，就要设法利用直尺和圆规将∠AOB 放到一个三角形 中，使它成为三角形的一个内角，然后再利用直尺和圆规作出一个与它所在的 三角形全等的三角形，该三角形中∠AOB 的对应角，就是所求作的角. 已知：∠AOB（图 1-25） . 求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B' =∠AOB . 作法 ① 任取一点 O'，作射线 O'A' ； ② 以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D （图 1-26 ①） ；以点 O' 为圆心，以 OC 为半径作弧，交射线 O'A' 于点 C' （图 1-26 ②） ； ③ 以点 C' 为圆心，以 CD 为半径作弧，与前弧交于点 D'（图 1-26 ③） ； ④ 过点 D' 作射线 O'B' . ∠A'O'B' 就是所求作的角（图 1-26 ④） . （5）你能说出∠A'O'B' =∠AOB 的理由吗？与同学交流. 图 1-26 OA B D C ①② ③④ O' A' B' D' C' O' A' C' O' A' D' C' 最基本、最常用的尺规作图，称为基本作图.“作一条线段等于已知线段” 和“作一个角等于已知角” 都是基本作图. 1 分别连接 CD 与 C'D' . 由 SSS可知， △COD ≌△C'O'D'，所以∠A'O'B' =∠AOB. 1 本教科书中的基本作图共有 5 种，另外三种基本作图将在本册第 2 章中给出. 第1章 全等三角形 20 α β O A C D （第 1 题）（第 2 题） 1. 如图，在∠AOD 的内部作射线 OB，使∠AOB =∠COD 1 . 2. 如图，已知∠α 和∠β，求作∠γ，使∠γ = ∠α +∠β . 1 本书练习、习题中所有作图题，只保留作图痕迹，不要求写出作法. 尺规作图 早在公元前 5 世纪左右，古希腊的数学家们就提出了尺规作图问 题，即几何作图只允许使用任意开度的圆规和无刻度的、任意长的直 尺. 古希腊数学家、哲学家、教育学家柏拉图（Plato，公元前 427 年－ 前 347 年）也主张几何作图的工具应只限于尺规，他认为用其他工具 作图很难达到训练抽象思维的目的. 由于这种限制，产生了著名的几何 作图三大问题：三等分角问题、倍立方体问题、化圆为方问题. 两千多 年来，一代又一代的数学家们曾为解决这三大问题绞尽脑汁，伤透脑筋，但都不得其 解. 直至19世纪才有人证明了这三个问题都是尺规作图的不可能问题，即不可能有限次 地使用尺规画出符合要求的图形. 但是历史上对这些问题的探究，也推动了数学的进步 和发展，开创了许多新的数学理论. 柏拉图 史海漫游 练 习 （1）如图 1-27，△ABC 中有六个元素，只要已知其 中的哪几个元素就可作出这个三角形呢？与同学交流. 实验与探究 A B c b aC 图 1-27 21 1.3 尺规作图 利用基本作图 1，可以先作出一条线段，例 如 BC = a，这样便确定了所求作的三角形的两个 顶点，如何确定第三个顶点呢？ 第三个顶点到 B 点的距离是 c，到 C 点的距离是 b，所 以它既在以点 B 为圆心，以 c 为半径的圆上，又在以 C 为 圆心，以 b 为半径的圆上，两圆的交点便是第三个顶点 A . 已知：线段 a，b，c（图 1-28） . 求作：△ABC，使 BC = a，AB = c，AC = b . 作法 如图 1-29 . ① 作线段 BC = a ； ② 分别以 B，C 为圆心，以 c，b 为半径在 BC 的同侧 作弧，记两弧的交点为 A ； ③ 连接 AB，AC . △ABC 就是所求作的三角形. （3）图 1-29 是以 B，C 为圆心，c，b 为半径作弧在 BC 所在直线的上方相交的情况，是否可能在 BC 所在直 线的下方相交？如果可能，所得到的三角形与△ABC 全 等吗？为什么？ 知道△ABC 的六个元素中的某三个元素，根据 确定三角形的条件，以下四种情况可作出△ABC： ① 已知三边； ② 已知两边及其夹角； ③ 已知两角及其夹边； ④ 已知两角和其中一角的对边. （2）利用你学过的基本作图，已知三边如何作三角形？与同学交流. A BC 图 1-29 a b c 图 1-28 第1章 全等三角形 22 （4）利用尺规和你学过的基本作图，已知两边及其夹角，例如已知 a，c 和 ∠α，如何作△ABC，使∠B =∠α，AB = c，BC = a 呢？与同学交流. 已知三条线段 a，b，c，作△ABC，使 AB = c，BC = a，AC = b 时，对 a，b，c 三条线段的大小有没有限制？如果有，a，b，c 的大小应当满足什么条件？ 利用尺规作图： 1. 如图，已知线段 a，求作边长等于 a 的等边三角形. 2. 如图，已知线段 a，∠α，求作△ABC，使∠A =∠α，AB = AC = a . aa α （第 2 题）（第 1 题） 先作 ∠B = ∠α，这样便确定了所 求作的三角形的一个顶点. 以 B 为线段 的一个端点，在∠B 的两边上分别截 取线段 AB = c， BC = a，便得到另外 两个顶点，于是△ABC 便可作出. 练 习 挑战自我 已知：线段 a，c，∠α，（图 1-30） . 求作：△ABC，使 BC = a，∠B =∠α，AB = c . 作法 如图 1-31. ① 作∠B =∠α ； ② 在 ∠B 的一边上截取 BC = a，在另一边上截取BA = c； ③ 连接 AC . △ABC 就是所求作的三角形. （5）在上面的作图步骤中，分别用到了哪些基本作图？ B A C 图 1-31 a c 图 1-30 α 23 1.3 尺规作图 图 1-32图 1-33 B A D E C 实验与探究 （1）利用基本作图，已知两角及它们的夹边， 例如已知∠α，∠β 和线段 a， 如何作△ABC，使∠B =∠α，∠C =∠β，BC = a 呢？与同学交流？ 利用基本作图 1，先作线段 BC = a，便确定 了三角形的两个顶点. 然后分别以 B，C 为角的顶 点，BC（或CB）为一边，在 BC 同侧分别作角， 两角的另一边的交点就是三角形的第三个顶点 . 作法 如图 1-33. ① 作线段 BC = a； ② 在 BC 的同侧作∠CBD =∠α，∠BCE =∠β，BD 与 CE 的交点为 A . △ABC 就是所求作的三角形. （2）利用基本作图，如果已知两角及其中一角的对边，例如已知∠α，∠β 和线段 c ，如何作△ABC，使∠B =∠α，∠C