1、6.2.4 组合数（三）讲课人：邢启强21 1、组合定义、组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成并成一组一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个个元素的所有组合的个数，叫做从数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnC2 2、组合数、组合数: :3、组合数公式、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm01.
2、nC我们规定：11 mn mmmmnnnnnCCCCC性质：，复习引入复习引入讲课人：邢启强3等分组与不等分组的分组分配问题等分组与不等分组的分组分配问题例例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；同的分法；（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；）分成三份，每份两本；（3）分成三份）分成三份,一份一份1本本,一份一份2本本,一份一份3本本;（4）分给甲）分给甲,乙乙,丙丙3人人,一人一人1本本,一人一人2本本,一人一人3本本;（5）全部分给甲分给甲,乙乙,丙丙3人人,每人至少一本每人至少一本
3、;例题讲评例题讲评2226421C C C（）222642332C C CA（ ）123653C C C（3）12336533C C C A（4）讲课人：邢启强4例例1六本不同的书（六本不同的书（1），问有多少种分法？，问有多少种分法？分析：每堆两本，分三步完成分析：每堆两本，分三步完成，第一步从六本中任取两本作为第一堆，有第一步从六本中任取两本作为第一堆，有 种取法种取法，第二步从剩下的四本中任取两本作为第二堆，有第二步从剩下的四本中任取两本作为第二堆，有 种取法种取法，第三步剩下的两本作为第三堆，有第三步剩下的两本作为第三堆，有 种取法种取法.据分步乘法原理，分堆方法数是据分步乘法原理，分
4、堆方法数是 种种.26C24C22C22264290CCC等分组与不等分组的分组分配问题等分组与不等分组的分组分配问题例题讲评例题讲评答：这样分堆会造成重复分堆，例如可以假设这六本书答：这样分堆会造成重复分堆，例如可以假设这六本书编号为编号为1，2，3，4，5，6号号，先取两本，取到，先取两本，取到作为第一堆，再取作为第一堆，再取两本作为第二堆，剩两本作为第二堆，剩下下作为第三堆，这是一种分堆的方法作为第三堆，这是一种分堆的方法.然后第二次分堆时，先取到然后第二次分堆时，先取到作为第一堆，再取到作为第一堆，再取到作为第二堆，剩下作为第二堆，剩下作为第三堆，很显然作为第三堆，很显然这种分堆方法跟
5、第一种分堆方法是这种分堆方法跟第一种分堆方法是一样的一样的.而且继续下去，这种分堆方法会重复而且继续下去，这种分堆方法会重复3次，即次，即 次次.33A怎么样才能去掉怎么样才能去掉重复的分堆呢重复的分堆呢？6次只算次只算1次，可以除以次，可以除以 得到，所以六本不同的书，平均分成三堆得到，所以六本不同的书，平均分成三堆，最后的分堆方法数是最后的分堆方法数是 种种.33A2226423315CCCA讲课人：邢启强5分析：例如，可以分析：例如，可以假设这六本书编号为假设这六本书编号为1，2，3，4，5，6号号，先取四本先取四本，取到取到1，2，3，4作为第一作为第一堆，堆，再取到再取到5作为第二堆
6、作为第二堆，剩下，剩下6作为第三堆作为第三堆，这是一种分堆的方法。然后第二次分堆时，先取到，这是一种分堆的方法。然后第二次分堆时，先取到1，2，3，4作为第一堆，再取到作为第一堆，再取到6作为第二堆作为第二堆，剩下，剩下5作为第三堆作为第三堆，这，这两种分堆方法是一样的两种分堆方法是一样的，所以有，所以有重复重复.会重复几次呢？会重复几次呢？分析：同样分三步，先取分析：同样分三步，先取4本，再取本，再取1本，剩本，剩1本，所以有本，所以有 种分法种分法.41162130CCC怎么样才能去掉重复的分堆呢？怎么样才能去掉重复的分堆呢？我们观察发现会重复两次，原因是我们观察发现会重复两次，原因是5与
7、与6那两堆那两堆.按照先按照先5作为一堆后作为一堆后6作为一堆与先作为一堆与先6一堆后一堆后5作为一作为一堆是一样的分堆方法堆是一样的分堆方法.1，2，3，4因为个数跟他们个数不一样，所以不会产生重复，所以按照因为个数跟他们个数不一样，所以不会产生重复，所以按照4，1，1分堆，有种分法分堆，有种分法 .4116212215CCCA例例1六本不同的书六本不同的书（2）如果）如果按照按照4，1，1分成三堆分成三堆，问有多少种分法？，问有多少种分法？等分组与不等分组的分组分配问题等分组与不等分组的分组分配问题例题讲评例题讲评讲课人：邢启强6，比如第一问中的均分，每堆有两个元素，堆比如第一问中的均分，
8、每堆有两个元素，堆之间会有重复问题，还有就是第二问中之间会有重复问题，还有就是第二问中4，1，1的的1，1两堆之间会有重复两堆之间会有重复.思考：什么样的分堆会有重复呢思考：什么样的分堆会有重复呢？例例1六本不同的书六本不同的书（1），问有多少种分法？，问有多少种分法？（2）如果）如果按照按照4，1，1分成三堆分成三堆，问有多少种分法？，问有多少种分法？等分组与不等分组的分组分配问题等分组与不等分组的分组分配问题例题讲评例题讲评解：有解：有 种分法种分法.32163160CCC例例1六本不同的书六本不同的书（3）如果按照）如果按照，问有多少种分法？，问有多少种分法？讲课人：邢启强7例例2六本不
9、同的书六本不同的书（1）平均分给三个同学平均分给三个同学，问有多少种分法？，问有多少种分法？不同元素的分组与分配问题不同元素的分组与分配问题法法1：边取边分，有：边取边分，有 种分法种分法.22264290CCC法法2：分析，可以考虑先分组，：分析，可以考虑先分组， 再分配给三个同学，所以再分配给三个同学，所以有有 分法分法.222364233390CCCAA讲课人：邢启强8不同元素的分组与分配问题不同元素的分组与分配问题例例2六本不同的书六本不同的书（2）如果按照）如果按照4，1，1分给三个同学，问有多少种分法？分给三个同学，问有多少种分法？（3）如果按照）如果按照3，2，1分给三个同学，问
10、有多少种分法？分给三个同学，问有多少种分法？411362132290CCCAA32136313360CCCA（4）分给三个同学，每个同学至少有一本，问有多少种分法？）分给三个同学，每个同学至少有一本，问有多少种分法？2224113332136426213363133232540CCCCCCAACCCAAA讲课人：邢启强91. 当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化为加大宣传力度，当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某提高防控能力，某县疾控中心拟安排某4 4名医务人员到流动人口较多的某名医务人员到流动人口较多的某3
11、 3个乡个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有务人员，则不同的安排方法共有_种种2.将将5 5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？36150讲课人：邢启强10不同元素的分组与分配问题不同元素的分组与分配问题(1)完全平均分组：完全平均分组：在分组时，每组元素的个数都相等在分组时，每组元素的个数都相等.只分组无分配只分组无分配时，需要除以这几组的时，需要除以这几组的“全排列全排列”，以
12、确保，以确保消去重复消去重复；分组且分配分组且分配时，一种方法是时，一种方法是先分组再分配先分组再分配；另一种方法是可以用；另一种方法是可以用分步乘法分步乘法 计数原理计数原理解题解题.(2)部分平均分组：部分平均分组：在分组时，每组的个数是不均等的，而是有一部分个数相同在分组时，每组的个数是不均等的，而是有一部分个数相同 需要除以相同的组的需要除以相同的组的“全排列全排列”，保证没有重复，保证没有重复(3)非平均分组：非平均分组：每组所要分的元素个数是不相同的这种分组每组所要分的元素个数是不相同的这种分组。解题思想：解题思想：先分组、后分配先分组、后分配讲课人：邢启强11 例2：6本不同的书
13、全部送给5人，每人至少一本，有几种不同的送书方法？分析：这是一个常见的排列组合混合题，对于这样的题目，解题思想：先组后排，“每人至少一本”的含义是“必然有1人得2本所以，要分两步18005526AC变式： 6本不同的书全部送给5人，有几种不同的送书方法？例题讲评例题讲评讲课人：邢启强12(1)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分成件分成三份三份, 二份各二份各1件件,另一份另一份4件件, 有多少有多少种分法种分法?(2) 今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分件分给甲乙丙三人给甲乙丙三人,每人二件有多少种分每人二件有多少种分法法?解解: (1)(2)4116621
14、10223150CCCCA62221064218900CCCC巩固练习巩固练习讲课人：邢启强13混合问题，先混合问题，先“组组”后后“排排”例例4 对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件件不同的次品不同的次品,一一进行测试，至区分出所一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第有次品为止，若所有次品恰好在第5次次测试时全部发现测试时全部发现,则这样的测试方法有种则这样的测试方法有种可能？可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有： 种可能。种可能。576441634ACC例题讲
15、评例题讲评讲课人：邢启强14练习：练习：1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名名男生和男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法人参加，则有不同参赛方法_种种.解：采用先分组后排方法解：采用先分组后排方法:312353431080CCCA2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生所学校为学生体检体检,每校分配每校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方不同的分配方法共有多少种法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组
16、队后分校（先分堆后分配）223364540C C A解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士生和护士.5401)()(24122613CCCC巩固练习巩固练习讲课人：邢启强15例例5、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出中，从中任意取出4只，试求满足如下条只，试求满足如下条件各有多少种情况：件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；只鞋子恰有两双；（2） 4只鞋子没有成双的；只鞋子没有成双的；（3） 4只鞋子只有一双。只鞋子只有一双。【点评】 本题解决的办法是将“事件”进行等价处理，如第一问“
17、4只鞋子没有成双的”相当于这四只鞋子来自于4双.因此分两步完成，第一步取四双鞋，第二步从每双鞋中各取一只.希同学们好好的体会这种思想方法例题讲评例题讲评讲课人：邢启强162、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参加一个座谈会，要位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为的选法种数为 。32328778.()()A CCCC32328778.()()B CCCC32328778.C C CC C3218711.DC C C3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一人组成一个医疗队，如果其中至少有个
18、医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少名男医生和至少有有2名女医生，则不同的选法种数为（名女医生，则不同的选法种数为（ ）1、把、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有不能分到二车间，则不同的分法有 种种 。99C巩固练习巩固练习讲课人：邢启强175、在如图、在如图74的方格纸上（每小方格均的方格纸上（每小方格均为正方形）为正方形）(1)其中有多少个矩形？其中有多少个矩形？(2)其中有多少个正方形？其中有多少个正方形？巩固练习巩固练习4、从、从7人中选出
19、人中选出3人分别担任学习委员、宣传人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（不同选法种数共有（ ）2353. AC A3353.2B C A35.C A233535.2D C AAD2258C C讲课人：邢启强183、从、从6人中选人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四人中选人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这一个城市，且这6人中甲乙不去巴黎游览，则不同的人中甲乙不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（选择方案共有（ ）种）
20、种 A.300 B.240 C.144 D.964、四棱锥的、四棱锥的8条棱分别代表条棱分别代表8种不同的化工产品，有种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为（一仓库是安全的。现打算用编号为（1）、（）、（2）、）、（3）、（）、（4）的四个仓库存放这）的四个仓库存放这8种化工产品，那么种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（安全存放的不同方法种数为（ ） A.96 B.48 C.24 D.0BB巩固练习巩固练习
