1、7.4.1二项分布二项分布讲课人：邢启强21、条件概率：、条件概率：对于任何两个事件对于任何两个事件A和和B，在已知事件，在已知事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的概率发生的概率叫做条件概率。叫做条件概率。2、条件概率的概率公式：、条件概率的概率公式：P(B|A)= =3、相互独立事件：、相互独立事件： 事件事件A是否发生对事件是否发生对事件B发生的概率没有影响，这时我们称两个事件发生的概率没有影响，这时我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。4、相互独立事件的概率公式：、相互独立事件的概率公式：P(AB)=P(A)
2、P(B)()( )P ABP A()( )n ABn A复习引入复习引入讲课人：邢启强3 问题问题1：伯努利试验：伯努利试验 我们将一个伯努利试验独立地重复进行我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为次所组成的随机试验称为n重重伯努利试伯努利试验验。显然，显然，n重伯努利试验具有如下重伯努利试验具有如下共同特征共同特征：(1）同一个伯努利试验重复做）同一个伯努利试验重复做n次；次；（概率相同）（概率相同）(2) 各次试验的结果相互独立各次试验的结果相互独立. 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，
3、它们只包含两个包含两个可能结果可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等果为阳性或阴性等. 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).思考思考:下面下面3个随机试验是否为个随机试验是否为n重伯努利试验重伯努利试验?如果是如果是,那么其中的伯努利试验是什么那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验对于每个试验,定义定义“成功成功”的事件为的事件为A,那么那么A的概率是多大的概率是多大?重复
4、试验的次数是多少？重复试验的次数是多少？1.抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币10次次.2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击，连续射击3次次.3.一批产品的次品率为一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取，有放回地随机抽取20件件.学习新知学习新知讲课人：邢启强4追问追问1：下面下面3个随机试验是否为个随机试验是否为n重伯努利试验重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什如果是，那么其中的伯努利试验是什么么?对于每个试验，定义对于每个试验，定义“成功成功”的事件为的事件为A，那么，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？的概率是多
5、大？重复试验的次数是多少？1.抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币10次次.2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击，连续射击3次次.3.一批产品的次品率为一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取，有放回地随机抽取20件件.随机试验随机试验是否为是否为n重重伯努利试验伯努利试验伯努利试验伯努利试验P(A)重复试验的次数重复试验的次数123是是是是是是抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币某飞碟运动员某飞碟运动员进行射击进行射击从一批产品中随机抽取一件从一批产品中随机抽取一件0.50.80.9510320伯努利试验是一个伯努利试验是一个“
6、有两个结果的试验有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯重伯努利试验是对一个努利试验是对一个“有两个结果的试验有两个结果的试验”重复进行了重复进行了n次，所以关注点是这次，所以关注点是这n次重复次重复试验中试验中“发生发生”的次数的次数X.进一步地，因为进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.追问追问2 ：伯努利试验和：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同重伯努利试验有什么不同?讲课人：邢启强5 姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为姚明作为中锋，他职业生涯
7、的罚球命中率为0.80.8，假设，假设他每次命中率相同他每次命中率相同, ,请问他请问他4投投1中中的概率是多少的概率是多少?学习新知学习新知讲课人：邢启强6问题问题1：在在4次投篮中姚明恰好命中次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少次的概率是多少?分解问题：分解问题：1)在在4次投篮中他恰好命中次投篮中他恰好命中1次的情况有几种次的情况有几种? (1)(2)(3)(4) 表示投中表示投中, , 表示没投中表示没投中, ,则则4 4次投篮中投中次投篮中投中1 1次的情况有以下四种次的情况有以下四种: :2)说出每种情况的概率是多少说出每种情况的概率是多少? 3)上述四种情况能否同时发生上述四种情
8、况能否同时发生? 学习新知学习新知问题问题2：在在4次投篮中姚明恰好命中次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少次的概率是多少?问题：问题：在在4次投篮中姚明恰好命中次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少次的概率是多少?问题问题4：在在4次投篮中姚明恰好命中次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？次的概率是多少？问题问题5：在在n次投篮中姚明恰好命中次投篮中姚明恰好命中k次的概率是多少次的概率是多少?讲课人：邢启强7问题问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续连续3次射击，中靶次数次射击，中靶次数X的概的概率分布列是怎样的？率分布列是怎样的？用用Ai表示表
9、示“第第i次射击中靶次射击中靶”(i=1，2，3)，用如，用如下下图图的的树状图表示树状图表示试验的可能结果试验的可能结果：1A2A2A2A2A3A3A3A3A3A3A3A3A试验结果试验结果 X的值的值1A123A A A312A A A213A A A231A A A123A A A132A A A123A A A123A A A322121100.80.80.80.20.20.80.20.80.80.20.20.20.80.2讲课人：邢启强8由分步乘法计数原理，由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每种可能结果，它们两两互斥，每个结果
10、都是个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得于是，中靶次数于是，中靶次数X的分布列为：的分布列为：思考：思考：如果连续射击如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于等于2的结果有哪些？的结果有哪些？ 写出中靶次数写出中靶次数X的分布列的分布列.(2)中靶次数中靶次数X的分布列为：的分布列为：讲课人：邢启强91.二项分布中，各个参数的意义？二项分布中，各个参数的意义？n：重复试验的次数；：重复试验的次数；k：事件：事件A发生的次数；发生的次数；p：在一次试验中，事件：在一次试验中，事件A
11、发生的概率发生的概率.2.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点： 一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一； 二是重复性，即试验是独立重复地进行了二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次次.学习新知学习新知00nnC p q111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p qX X01knp讲课人：邢启强10学习新知学习新知00nnC p q111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p qX X01knp思考思考1：二项分布与两点分布有何关系：二项分布
12、与两点分布有何关系?两点分布是一种特殊的二项分布，即是两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.思考思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？1).公式适用的条件公式适用的条件2).公式的结构特征公式的结构特征knkknnppCkP )1()(（其中（其中k = 0，1，2，n ）实验总次数实验总次数事件事件 A 发生的次数发生的次数事件事件 A 发生的概率发生的概率发生的概率发生的概率事件事件A意义理解意义理解学习新知学习新知讲课
13、人：邢启强12例例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：次，求：（1）恰好出现）恰好出现5次正面朝上的概率；次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在）正面朝上出现的频率在0.4，0.6内的概率内的概率.典型例题典型例题分析:抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验,因此,正面朝上的次数服从二项分布。讲课人：邢启强13 例例2：如图是一块：如图是一块高尔顿板高尔顿板的示意图的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作
14、为通道，前面挡有一块玻璃，相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为格子从左到右分别编号为0，1，2，10，用，用X表示小球表示小球最后落入格子的号码，求最后落入格子的号码，求X的分布列。的分布列。典型例题典型例题分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果,设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两
15、种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分布。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10讲课人：邢启强14 例例2：如图是一块：如图是一块高尔顿板高尔顿板的示意图的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木
16、钉后都等可能地向左或向右落将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为格子从左到右分别编号为0，1，2，10，用，用X表示小球表示小球最后落入格子的号码，求最后落入格子的号码，求X的分布列。的分布列。典型例题典型例题0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X的概率分布图如下图所示：的概率分布图如下图所示：0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 012345678910讲课人：邢启强15 例例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为：甲、乙两选手
17、进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为乙获胜的概率为0.4，那么采用，那么采用3局局2胜制还是采用胜制还是采用5局局3胜制对甲更有利胜制对甲更有利?典型例题典型例题分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局,把n局比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。讲课人：邢启强16一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：（1）明确伯努利试验及事件）明确伯努利试验及事件A的意
18、义，确定事件的意义，确定事件A发生的概率发生的概率p；（2) 确定重复试验的次数确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；，并判断各次试验的独立性；（3）设）设X为为n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次数，则发生的次数，则XB(n，p）.方法归纳讲课人：邢启强171 1、 某射手每次射击击中目标的概率是某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射手在求这名射手在10次射击中，次射击中，（1）恰有）恰有8次击中目标的概率；次击中目标的概率；（2）至少有）至少有8次击中目标的概率。次击中目标的概率。 （结果保留两个有效数字）（结果保留两个有效数字）2、巩固练习巩固练习讲课人
19、：邢启强18探究：假设随机变量探究：假设随机变量X服从二项分布服从二项分布B（n,p）,那么那么X的均值和方差是什么？的均值和方差是什么？学习新知学习新知一般地，如果一般地，如果XB（n,p）,那么那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).讲课人：邢启强19一般地，如果一般地，如果XB（n,p）,那么那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).E (X) =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0P(X=k)= Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-
20、1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np( k Cnk =n Cn-1k-1)kP(X=k)= kCnkpkqn-k= npCn-1k-1pk-1qn-k讲课人：邢启强201、有一批数量很大的商品，其中次品占、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现从中任意地连，现从中任意地连续取出续取出200件商品，设其次品数为件商品，设其次品数为X，求，求E(X)和和D(X)。2，1.98巩固练习巩固练习3.一次英语单元测验由一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个选个选项，其中有且只有一个选
21、项是正确答案，每题选择正确答案得项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学分，学生甲选对任一题的概率为生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩成绩的期望。的期望。讲课人：邢启强21篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得分，罚不中得0分已分已知某运动员罚球命中的概率为知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球，他连续罚球3次
22、；次；（1）求他得到的分数）求他得到的分数X的分布列；的分布列；（2）求）求X的期望。的期望。X0123P33 . 0解解：(1) XB（3,0.7）2133 . 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0(2)322321337 . 033 . 07 . 023 . 07 . 013 . 00 CCEX1 . 2 EX7 . 03 讲课人：邢启强22巩固练习巩固练习讲课人：邢启强23巩固练习巩固练习E(X)=np2讲课人：邢启强24巩固练习巩固练习讲课人：邢启强25讲课人：邢启强26课堂小结课堂小结1.二项分布的定义：二项分布的定义：2.确定一个二项分布模型的步骤确定一个二项
23、分布模型的步骤:（1）明确伯努利试验及事件）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件的意义，确定事件A发生的概率发生的概率p；（2) 确定重复试验的次数确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；，并判断各次试验的独立性；（3）设）设X为为n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次数，则发生的次数，则XB(n，p）.3.一般地，如果一般地，如果XB（n,p）,那么那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).讲课人：邢启强27课后感悟(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：其一是独立性实验之间互不影响且一次试验中事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是在相同条件下重复了n次(2)二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体概率值的过程，因此我们应熟练掌握二项分布利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布讲课人：邢启强28投球投球核心核心分类讨论分类讨论特殊到一般特殊到一般二项分布二项分布独立重复试验独立重复试验 概念概念概率概率 应用应用
